高考数学一轮复习第五章数列课时作业36数列求和与数列的综合应用课件理新人教A版

答案
n 2n＋4
9．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记 Sn 为{an}的前 n 项 和，则 S2 018＝________。
解析 由 a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0， a5＝1，a6＝－2，a7＝－1，…，故该数列为周期是 4 的数列，所以 S2 018＝ 504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a1＋a2＝504×(－2)＋1－2＝－1 009。
(2)bn＝2n＋11log222n－1＋22n－1 ＝2n＋112n－1＋22n－1
＝122n1－1－2n1＋1＋22n－1，
则
Tn
＝12
1－13＋13－15＋…＋2n1－1－2n1＋1
＋
(2
＋
23
＋
25
＋
…
＋
22n
－
1)
＝
1 2
1－2n1＋1＋211－－44n＝223n＋1＋2nn＋1－23。
之和是( )
A．16
B．20
C．33
D．120
解析 由已知得 a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7， a6＝2a5＝14，所以 S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33。
答案 C
3．(2019·南宁、柳州联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一
个问题：三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至
则4aa11＋＋26dd＝2＝14a1，a1＋6d，
解得ad1＝＝12，
答案 A
二、填空题 7．若数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n(3n－2)，则 a1＋a2＋…＋a10＝ ________。
解析 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝－1＋4－7＋10－13 ＋16－19＋22－25＋28＝5×3＝15。
答案 15
8．在等差数列{an}中，a2＝8，前 6 项和 S6＝66，设 bn＝n＋21an，Tn ＝b1＋b2＋…＋bn，则 Tn＝________。
答案 C
4．化简 Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1 的结果是
()
A．2n＋1＋n－2
B．2n＋1－n＋2
C．2n－n－2
D．2n＋1－n－2
解析 因为 Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1①，2Sn ＝n×2＋(n－1)×22＋(n－2)×23＋…＋2×2n－1＋2n②，所以①－②得，－Sn ＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以 Sn＝2n＋1－n－2。
12．(2019·天一大联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，首项 a1＝1，
且2S2001188 －2S2001177 ＝1。
(1)求 Sn；
1
(2)求数列

的前 SnSn＋1
n
项和
Tn。
解 (1)设数列{an}的公差为 d， 因为Snn＝na1＋nnn－ 2 1d＝a1＋(n－1)d2， 所以Snn为一个等差数列，且公差为d2， 所以2S2001188 －2S2001177 ＝d2＝1，所以 d＝2， 故Snn＝n，所以 Sn＝n2。 (2)因为 Sn1Sn＋1＝nn1＋1＝1n－n＋1 1， 所以 Tn＝1－12＋12－13＋…＋1n－n＋1 1＝1－n＋1 1＝n＋n 1。
1，n＝1， ＝n－1，n≥2，
当 n≥2 时，bnb1n＋1＝n－11n＝n－1 1－1n，所以b11b2＋b21b3
＋…＋b2
1 017b2
018＝1＋1－12＋12－13＋…＋2
0116－2
0117＝2－2
0117＝42
003137。故
选 B。
答案 B
6．(2019·福州市期末测试)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，an＋1＋an＝2n＋
课时作业(三十六) 数列求和与数列的综合应用
一、选择题
第一次作业 基础过关组
1．已知数列{an}的通项公式是 an＝2n－315n，则其前 20 项和为(
)
A．380－351－5119 B．400－251－5120
C．420－341－5120 D．440－451－5120
三、解答题 11 ． 设 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn ＝ 2n ＋ 1 － 2 ， 数 列 {bn} 满 足 bn ＝ 2n＋11log2a2n－1＋22n－1。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn。
解 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝2。 由 Sn＝2n＋1－2 得 Sn－1＝2n－2(n≥2)， 所以 an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n(n≥2)。 当 n＝1 时，a1＝2 满足上式，所以 an＝2n(n∈N*)。
其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还。其意：有一个人走 378 里路，第
一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6
天后到达目的地，问此人每天走多少里路。则此人第五天走的路程为( )
A．48 里
B．24 里
C．12 里
D．6 里
解析 由题意知该人每天走的路程数构成公比为12的等比数列，记为 {an}，设其前 n 项和为 Sn，由 S6＝378，得a111－－12126＝378，解得 a1＝192， 所以 a5＝192×214＝12(里)。故选 C。
解析 令数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S20＝a1＋a2＋…＋a20＝
2(1
＋
2
＋
…
＋
20)
－
3
1×
20×20＋1 2
－
3×
151－5120 1－15
＝
420－341－5120。 答案 C
2．已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝a2na＋n，1，n为n为正正奇偶数数，， 则其前 6 项
(2)由(1)可知 an＝2n－2nn－1，设数列2nn－1的前 n 项和为 Tn， 则 Tn＝210＋221＋232＋…＋2nn－1 ①， 12Tn＝211＋222＋233＋…＋2nn ②， ①－②得12Tn＝210＋211＋212＋…＋2n1－1－2nn＝11－－2112n－2nn＝2－n＋2n 2， 所以 Tn＝4－n2＋n－21 。 易知数列{2n}的前 n 项和为 n(n＋1)， 所以 Sn＝n(n＋1)－4＋n2＋n－21 。
答案 －1 009
10．(2019·安徽质量检测)数列{an}满足：a1＝13，且 an＋1＝3na＋n＋1nan(n∈ N*)，则数列{an}的前 n 项和 Sn＝________。
解析
an
＋
1
＝
n＋1an 3an＋n
，
两
边
同
时
取
倒
数
得
1 an＋1
＝
3an＋n n＋1an
＝
3 n＋1
1，且 Sn＝1 350。若 a2<2，则 n 的最大值为( )
A．51
B．52
C．53
D．54
解析 因为 an＋1＋an＝2n＋1，所以 an＋2＋an＋1＝2n＋3，a2n－1＋a2n＝
2(2n－1)＋1＝4n－1，所以 an＋2－an＝2，且数列{a2n－1＋a2n}是公差为 4 的
等
差
数
列
，
S52
＝
26[3＋4×26－1] 2
＝
1
378>1
350 ，排除
B
项 ； S54 ＝
27[3＋42×27－1]＝1 485>1 350，排除 D 项；S53＝S52＋a53＝1 378＋a1＋
26×2＝1 430＋a1。因为 a2<2，所以 3－a1<2，所以 a1>1，所以 S53>1 431， 排除 C 项。故选 A。
答案 D
5．(2019·益阳、湘潭调研考试)已知 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 a1＝2
且
Sn＋1＝2Sn，设
bn＝log2an，则b11b2＋b21b3＋…＋b2
1 017b2
的值是(
018
)
A．42
035 018
B．42
033 017
C．22
017 018
D．22
016 017
解析 由 Sn＋1＝2Sn 可知，数列{Sn}是首项为 S1＝a1＝2，公比为 2 的等 比数列，所以 Sn＝2n。当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1。bn＝log2an
13．(2019·石家庄质量检测)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝n＋n 1an ＋n＋2n 1。
(1)设 bn＝ann，求数列{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn。
解 (1)由 an＋1＝n＋n 1an＋n＋2n1，可得na＋n＋11＝ann＋21n， 又 bn＝ann，所以 bn＋1－bn＝21n，由 a1＝1，得 b1＝1， 累加可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝211＋212＋…＋2n1－1， 即 bn－b1＝1211－－212n1－1＝1－2n1－1， 所以 bn＝2－2n1－1(n≥2)。 又 b1＝1 也适合上式，所以 bn＝2－2n1－1。
＋
n＋n1an，整理得na＋n＋11 ＝ann＋3，所以na＋n＋11 －ann＝3，所以数列ann 是以a11＝3
为首项，3 为公差的等差数列，所以ann＝3n，所以 an＝13，所以数列{an}是
常数列，所以 Sn＝n3。
答案
n 3
解析：用归纳法求解，a1＝13，根据 an＋1＝3na＋n＋1nan，可得 a2＝13，a3＝13， a4＝13，所以猜想 an＝13，经验证 an＋1＝13，从而 Sn＝n3。
(2)因为 cn＝ana1n＋1＝2n＋112n＋3， 所以 cn＝122n1＋1－2n1＋3。 所以 Tn＝1213－15＋15－17＋…＋2n1＋1－2n1＋3＝1213－2n1＋3＝6nn＋9。
2．(2019·南宁、柳州联考)已知 a1＝2，a2＝4，数列{bn}满足：bn＋1＝ 2bn＋2 且 an＋1－an＝bn。
第二次作业 能力提升组 1．已知等差数列{an}满足 a3＝7，a5＋a7＝26。 (1)求等差数列{an}的通项公式； (2)设 cn＝ana1n＋1，n∈N*，求数列{cn}的前 n 项和 Tn。
解 (1)设等差数列的公差为 d，则由题意可得a21a＋1＋2d1＝0d7＝，26， 解得ad1＝＝23。， 所以 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1。
3．已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和为 14，且 a1，a3，a7 恰为等比数列{bn}的前三项。
(1)分别求数列{an}，{bn}的前 n 项和 Sn，Tn； (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Kn，设 cn＝SKnTnn，求证：cn＋1>cn(n∈N*)。
解 (1)设数列{an}的公差为 d，
解析 设等差数列{an}的公差为 d，由题意得a61a＋1＋d＝ 158d， ＝66， 解得
a1＝6， d＝2，
则 an＝2n＋4，因此 bn＝n＋122n＋4＝n＋1 1－n＋1 2，所以 Tn＝
12－13＋13－14＋…＋n＋1 1－n＋1 2＝12－n＋1 2＝2nn＋4。
(1)求证：数列{bn＋2}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式。
解 (1)证明：由题知，bbn＋n＋1＋22＝2bnb＋n＋2＋2 2＝2， 因为 b1＝a2－a1＝4－2＝2，所以 b1＋2＝4， 所以数列{bn＋2}是以 4 为首项，2 为公比的等比数列。
(2)由(1)可得，bn＋2＝4·2n－1，故 bn＝2n＋1－2。 因为 an＋1－an＝bn，所以 a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，a4－a3＝b3，…，an－an －1＝bn－1。 累加得，an－a1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1(n≥2)， an＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n－2)＝2＋2211－－22n－1－2(n－1) ＝2n＋1－2n， 故 an＝2n＋1－2n(n≥2)。 因为 a1＝2＝21＋1－2×1 符合上式， 所以数列{an}的通项公式为 an＝2n＋1－2n(n∈N*)。