理塘县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

理塘县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知f （x ）为偶函数，且f （x+2）=﹣f （x ），当﹣2≤x ≤0时，f （x ）=2x ；若n ∈N *，a n =f （n ），则a 2017等于（ ）
A ．2017
B ．﹣8
C ．
D ．
2． 函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2.3） D ．（3，4）
3． 某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用框图表示，这种框图通常称为（ ）
A ．程序流程图
B ．工序流程图
C ．知识结构图
D ．组织结构图 4． 如图所示为某几何体的正视图和侧视图，则该几何体体积的所有可能取值的集合是（ ）
A ．{， }
B ．{，， }
C ．{V|≤V ≤}
D ．{V|0＜V ≤}
5． 记集合{}
2
2
(,)1A x y x y =+?和集合{}(,)1,0,0B x y x y x y =+３
?表示的平面区域分别为Ω1，Ω2，
若在区域Ω1内任取一点M （x ，y ），则点M 落在区域Ω2内的概率为（ ） A ．
12p B ．1p C ．2
p
D ．13p
【命题意图】本题考查线性规划、古典概型等基础知识，意在考查数形结合思想和基本运算能力． 6． 已知全集为R ，集合{}
|23A x x x =<->或，{}2,0,2,4B =-，则()R A B = ð（ ）
A ．{}2,0,2-
B ．{}2,2,4-
C ．{}2,0,3-
D ．{}0,2,4 7． 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知在S n 中有S 17＜0，S 18＞0，那么S n 中最小的是（ ） A ．S 10 B ．S 9 C ．S 8
D ．S 7
8． 已知集合M={x|x 2＜1}，N={x|x ＞0}，则M ∩N=（ ）
A ．∅
B ．{x|x ＞0}
C ．{x|x ＜1}
D ．{x|0＜x ＜1}
可．
9． 如图所示，函数y=|2x ﹣2|的图象是（ ）
A．B．C．D．
10．设m是实数，若函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x）的性质叙述正确的是（）
A．只有减区间没有增区间 B．是f（x）的增区间
C．m=±1 D．最小值为﹣3
11．若函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则（x﹣2）f（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（2，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣3，0）∪（2，+∞）
12．某程序框图如图所示，该程序运行输出的k值是（）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
13x和所支出的维修费用y（万元）的统计资料如表：
根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程=0.7x+，据此模型估计，该机器使用年限为14年时的维修费用约为万元．
14．已知函数f （x ）=有3个零点，则实数a 的取值范围是 ．
15．一个棱长为2的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
16．命题“(0,)2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．
17．已知f （x ）=
，则f （﹣）+f （）等于 ．
18．已知直线l 过点P （﹣2，﹣2），且与以A （﹣1，1），B （3，0）为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．
三、解答题
19．一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V 与x 的函数关系式，并求出函数的定义域．
20．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2+y 2=4，A （，0），A 1（﹣，0），点P 为平面内一动点，以
PA 为直径的圆与圆C 相切．
（Ⅰ）求证：|PA 1|+|PA|为定值，并求出点P 的轨迹方程C 1；
（Ⅱ）若直线PA 与曲线C 1的另一交点为Q ，求△POQ 面积的最大值．
21．（本小题满分12分）已知圆()()2
2
:1225C x y -+-=,直线
()()():211740L m x m y m m R +++--=∈.
（1）证明: 无论m 取什么实数,L 与圆恒交于两点; （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时L 的方程.
22．已知函数f （x ）=（log 2x ﹣2）（log 4x ﹣） （1）当x ∈[2，4]时，求该函数的值域；
（2）若f （x ）＞mlog 2x 对于x ∈[4，16]恒成立，求m 的取值范围．
23．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．
24．已知函数（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的值域．
理塘县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
即f（x+4）=f（x），
即函数的周期是4．
∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1），
∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x，
∴f（1）=f（﹣1）=，
∴a2017=f（1）=，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．
2．【答案】A
【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，
∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．
故选A
【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．
3．【答案】D
【解析】解：用来描述系统结构的图示是结构图，
某单位综合治理领导小组成员之问的领导关系可以用组织结构图表示．
故选D．
【点评】本题考查结构图和流程图的概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
4．【答案】D
【解析】解：根据几何体的正视图和侧视图，得；
当该几何体的俯视图是边长为1的正方形时，它是高为2的四棱锥，其体积最大，为×12×2=；
当该几何体的俯视图为一线段时，它的底面积为0，此时不表示几何体；
所以，该几何体体积的所有可能取值集合是{V|0＜V≤}．
故选：D ．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出几何体的结构特征是什么，是基础题目．
5． 【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，Ω1表示以原点为圆心， 1为半径的圆及其内部，Ω2表示OAB D
及其内部，由几何概型得点M 落在区域Ω2内的概率为1
1
2P ==p 2p
，故选A.
6． 【答案】A 【解析】
考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集. 7． 【答案】C
【解析】解：∵S 16＜0，S 17＞0， ∴
=8（a 8+a 9）＜0，
=17a 9＞0，
∴a 8＜0，a 9＞0， ∴公差d ＞0． ∴S n 中最小的是S 8． 故选：C ．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．【答案】D
【解析】解：由已知M={x|﹣1＜x＜1}，
N={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}，
故选D．
【点评】此题是基础题．本题属于以不等式为依托，求集合的交集的基础题，9．【答案】B
【解析】解：∵y=|2x﹣2|=，
∴x=1时，y=0，
x≠1时，y＞0．
故选B．
【点评】本题考查指数函数的图象和性质，解题时要结合图象进行求解．
10．【答案】B
【解析】解：若f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，
则f（0）=|m|﹣1=0，则m=1或m=﹣1，
当m=1时，f（x）=|x﹣1|﹣|x﹣1|=0，此时为偶函数，不满足条件，
当m=﹣1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|，此时为奇函数，满足条件，
作出函数f（x）的图象如图：
则函数在上为增函数，最小值为﹣2，
故正确的是B，
故选：B
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，根据条件求出m的值是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．
11．【答案】A
【解析】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，
∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数，
又∵f（﹣3）=0，
∴f（3）=0
∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0；
∴（x﹣2）•f（x）＜0的解集是（﹣3，0）∪（2，3）
故选：A．
12．【答案】C
【解析】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
S k 是否继续循环
循环前100 0/
第一圈100﹣20 1 是
第二圈100﹣20﹣21 2 是
…
第六圈100﹣20﹣21﹣22﹣23﹣24﹣25＜0 6 是
则输出的结果为7．
故选C．
【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．
二、填空题
13．【答案】7.5
【解析】解：∵由表格可知=9，=4，
∴这组数据的样本中心点是（9，4），
根据样本中心点在线性回归直线=0.7x+上，
∴4=0.7×9+，
∴=﹣2.3，
∴这组数据对应的线性回归方程是=0.7x﹣2.3，
∵x=14，
∴=7.5，
故答案为：7.5
【点评】本题考查线性回归方程，考查样本中心点，做本题时要注意本题把利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的过程省掉，只要求a的值，这样使得题目简化，注意运算不要出错．
14．【答案】（，1）．
【解析】解：∵函数f（x）=有3个零点，
∴a＞0 且y=ax2+2x+1在（﹣2，0）上有2个零点，
∴，
解得＜a＜1，
故答案为：（，1）．
15．【答案】
【解析】【知识点】空间几何体的三视图与直观图 【试题解析】正方体中，BC 中点为E ，CD 中点为F ，
则截面为
即截去一个三棱锥其体积为：
所以该几何体的体积为：
故答案为：
16．【答案】()
0,2x π
∃∈，sin 1≥
【解析】
试题分析：“(0,)2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是()
0,2
x π
∃∈，sin 1≥
考点：命题否定
【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题. 17．【答案】 4 ．
【解析】解：由分段函数可知f （）=2×=．
f （﹣）=f （﹣+1）=f （﹣）=f （﹣）=f （）=2×=，
∴f （）+f （﹣）=+．
故答案为：4．
18．【答案】 [，3] ．
【解析】解：直线AP 的斜率K==3，
直线BP 的斜率K ′=
=
由图象可知，则直线l的斜率的取值范围是[，3]，
故答案为：[，3]，
【点评】本题给出经过定点P的直线l与线段AB有公共点，求l的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm，
在Rt△EOF中，，
∴，
∴
依题意函数的定义域为{x|0＜x＜10}
【点评】本题是一个函数模型的应用，这种题目解题的关键是看清题意，根据实际问题选择合适的函数模型，注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围．
20．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：设点P （x ，y ），记线段PA 的中点为M ，则
两圆的圆心距d=|OM|=|PA 1|=R ﹣|PA|， 所以，|PA
1|+|PA|=4＞2
，
故点P 的轨迹是以A ，A 1为焦点，以4为长轴的椭圆，
所以，点P 的轨迹方程C 1为：
=1． …
（Ⅱ）解：设P （x
1，y 1），Q （x 2，y 2），直线PQ 的方程为：x=my+，…
代入=1消去x ，整理得：（m 2
+4）y 2+2
my ﹣1=0，
则y 1+y 2=﹣
，y 1y 2=﹣
，…
△POQ 面积S=|OA||y
1﹣y 2|=2…
令t=
（0
，则S=2
≤1（当且仅当t=时取等号）
所以，△POQ 面积的最大值1． …
21．【答案】（1）证明见解析；（2）250x y --=． 【解析】
试题分析：（1）L 的方程整理为()()4270x y m x y +-++-=，列出方程组，得出直线过圆内一点，即可
证明；（2）由圆心()1,2M ,当截得弦长最小时, 则L AM ⊥，利用直线的点斜式方程，即可求解直线的方程.
1111]
（2）圆心()1,2M ,当截得弦长最小时, 则L AM ⊥, 由1
2
AM k =-
得L 的方程()123y x -=-即250x y --=. 考点：直线方程；直线与圆的位置关系.
22．【答案】
【解析】解：（1）f （x ）=（log 2x ﹣2）（log 4x ﹣）
=（log 2x ）2﹣log 2x+1，2≤x ≤4
令t=log 2x ，则y=t 2
﹣t+1=（t ﹣）2﹣，
∵2≤x ≤4， ∴1≤t ≤2．
当t=时，y min =﹣，当t=1，或t=2时，y max =0．
∴函数的值域是[﹣，0]．
（2）令t=log 2x ，得t 2
﹣t+1＞mt 对于2≤t ≤4恒成立．
∴m ＜t+﹣对于t ∈[2，4]恒成立，
设g （t ）=t+﹣，t ∈[2，4]，
∴g （t ）=t+﹣=（t+）﹣，
∵g （t ）=t+﹣在[2，4]上为增函数， ∴当t=2时，g （t ）min =g （2）=0， ∴m ＜0．
23．【答案】
【解析】解：（1）依题意，
根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得， 10（2a+0.02+0.03+0.04）=1， 解得a=0.005． ∴图中a 的值0.005．
（2）这100名学生语文成绩的平均分为： 55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05 =73（分），
【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解
24．【答案】
【解析】解：（1）∵函数是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）
∴，
∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0（3分）
又函数f（x）的图象经过点（1，3），
∴f（1）=3，∴，∵b=0，
∴a=2（6分）
（2）由（1）知（7分）
当x＞0时，，当且仅当，
即时取等号（10分）
当x＜0时，，∴
当且仅当，即时取等号（13分）
综上可知函数f（x）的值域为（12分）
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．。