人教版2013届高三一轮复习课时训练69：(专题三)立体几何综合题的解答

人教版2013届高三一轮复习课时训练69
（专题三）立体几何综合题的解答
1．如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
(1)证明：平面A1B1C⊥平面A1BC1；
(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．
解：(1)证明：因为侧面BCC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1.
又已知B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，
所以B1C⊥平面A1BC1.
又B1C⊂平面A1B1C，
所以平面A1B1C⊥平面A1BC1.
(2)设BC1交B1C于点E，连接DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线，因为A1B∥平面B1CD，所以A1B∥DE.
又E是BC1的中点，所以D为A1C1的中点．
即A1D∶DC1＝1.
2．已知几何体A－BCDE如图所示，其中四边形BCDE为矩形，且BC＝2，CD＝3，△ABC是边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面BCDE.
(1)若F为AC的中点，求证：AE∥平面BDF；
(2)求此几何体A－BCDE的体积．
解：(1)证明：连接CE交BD于P，连接FP.
∵四边形BCDE为矩形，
∴P为EC的中点．
∵F为AC的中点，
∴在△ACE中，有AE∥FP.
又∵AE⊄平面BDF，FP⊂平面BDF，
∴AE∥平面BDF.
(2)取BC的中点Q，连接AQ，
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴AQ⊥BC且AQ＝ 3.
∵平面ABC⊥平面BCDE，AQ⊂平面ABC，平面ABC∩平面BCDE＝BC，AQ⊥BC，∴AQ⊥平面BCDE.
∴几何体A－BCDE的体积为V＝1
3S矩形BCDE×AQ＝
1
3×BC×CD×AQ＝
1
3×2×3×3＝2.
3．如图，在三棱锥A－BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝π
6，AB＝AC＝2，BC
＝2，D、E分别为AB、OB的中点．
(1)求证：CO⊥平面AOB；
(2)在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，试确定F的位置；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：因为AO⊥平面COB，所以AO⊥CO，AO⊥BO，
即△AOC与△AOB为直角三角形．
又因为∠OAB＝∠OAC＝π
6，AB＝AC＝2，
所以OB＝OC＝1.
由OB2＋OC2＝1＋1＝2＝BC2，
可知△BOC为直角三角形．
所以CO⊥BO，又因为AO∩BO＝O，
所以CO⊥平面AOB.
(2)在线段CB上存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，此时F为线段CB的中点．
如图，连接DF，EF，因为D、E分别为AB、OB的中点，所以DE∥OA.
又DE⊄平面AOC，OA⊂平面AOC，
所以DE∥平面AOC.
因为E、F分别为OB、BC的中点，
所以EF∥OC.
又EF⊄平面AOC，OC⊂平面AOC，
所以EF∥平面AOC，
又EF∩DE＝E，EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，
所以平面DEF∥平面AOC.
4．已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
(1)若M 为CB 的中点，证明：MA ∥平面CNB 1； (2)求这个几何体的体积．
解：如图所示，取CB 1的中点P ，连接MP ，NP .
(1)证明：∵M 为CB 的中点，∴MP ∥BB 1，且MP ＝1
2BB 1.
由三视图可知，四边形ABB 1N 为直角梯形，
∴AN ∥BB 1且AN ＝1
2BB 1，
∴MP ∥AN 且MP ＝AN ，∴四边形ANPM 为平行四边形， ∴AM ∥NP .
又AM ⊄平面CNB 1，PN ⊂平面CNB 1， ∴AM ∥平面CNB 1.
(2)∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直， ∴BC ⊥平面ABB 1N .
∴BC 为三棱锥C －ABN 的高．取BB 1的中点Q ，连接QN .
∵四边形ABB 1N 为直角梯形且AN ＝1
2BB 1＝4， ∴四边形ABQN 为正方形，∴NQ ⊥BB 1. 又BC ⊥平面ABB 1N ，QN ⊂平面ABB 1N ， ∴BC ⊥NQ ，又BC 与BB 1相交于B ，
∴NQ ⊥平面C 1B 1BC ，NQ 为四棱锥N －CBB 1C 1的高． 则原几何体的体积V ＝V 三棱锥C －ABN ＋V 四棱锥N －CBB 1C 1 ＝13CB ·S △ABN ＋1
3NQ ·S 四边形BCC 1B 1
＝1
3×4×12×4×4＋13×4×4×8＝1603.
5．如图，在平面四边形ABCD 中，△ABD 是以A 为顶点的等腰直角三角形，△BCD 为正三角形，且BD ＝4，AC 与BD 交于点O ，现沿BD 将△ABD 折成三棱锥A －BCD ，使得折起后∠AOC ＝θ(0<θ<π)．
(1)证明：不论θ在(0，π)内为何值，均有AC ⊥BD ； (2)当三棱锥A －BCD 的体积为4时，求θ的值．
解：(1)证明：由于在平面图形中，AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，则折起后这种关系不发生变化，又在折起后形成的平面AOC 中，AO ∩CO ＝O ，所以BD ⊥平面AOC ，又AC ⊂平面AOC ，故
AC ⊥BD .
(2)由(1)知BD ⊥平面AOC ，又BD ⊂平面BCD ，所以平面AOC ⊥平面BCD ，当0<θ≤π
2时， 过点A 作AE ⊥OC 于点E ，因为平面AOC ∩平面BCD ＝OC ，所以AE ⊥平面BCD ，即AE
是三棱锥A －BCD 的高．
在Rt △AOE 中，AE ＝AO sin θ＝2sin θ(当θ＝π
2时也成立)，
S △BCD ＝3
×42＝43，
故三棱锥A －BCD 的体积为13×43×2sin θ＝83
sin θ.
因为83
3sin θ＝4，故sin θ＝32，所以θ＝π3；
当π
2<θ<π时，同理可得θ＝2π3.。