2019年陕西省西安市高三上学期期末考试数学(文)试题有答案

数学（文）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{123}A =，，，{|(1)(2)0}B x x x =+->∈Z ，，则A
B =（ ）
A ．{1}
B ．{12}，
C ．{0123}，，，
D ．{10123}-，，，， 2.复数1cos isin z x x =-，2sin icos z x x =-，则12z z ⋅=（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 3.若0a b >>，01c <<，则（ ）
A ．log log a b c c <
B ．log log c c a b <
C ．c c a b >
D ．a b c c >
4.设函数2
2
2(2)
()log (2)x x f x x x ⎧-⎪=⎨<⎪⎩≥，若()7f m =，则实数的值为（ ）
A ．0
B ．1 C.3- D ．3
5.设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C.充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
6.执行如图所示的程序框图，如果运行结果为5040，那么判断框中应填入（ ）
A ．6?k >
B ．7?k > C.6?k < D ．7?k <
7.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足1a ，3a ，4a 成等比数列，n S 为数列{}n a 的前项和，则32
53
S S S S --的值
为（ ）
A ．2-
B ．3- C.2 D ．3
8.三棱锥P ABC -的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且
PA =1PB =
，PC =的外接球的体积是（ ） A
B
D
． 9.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B
两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）
A
．4 D ．8
10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）
A ．
23π B ．3π C.29π D ．169
π 11.我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，12，13，14，…，1
n
.①第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为）1a ，2a ，3a ,…，n a .
则12231n n a a a a a a -+++等于（ ）
A ．(1)n n -
B ．2(1)n - C.2n D ．(1)n n + 12.已知函数()sin()f x x ωϕ=+，（0A >，0ω>，2π
ϕ<
）满足()()22
f x f x ππ
+=-，且
()()66
f x f x ππ
+=-，则下列区间中是()f x 的单调减区间的是（ ）
A ．[]63ππ5-
-， B ．45[]36ππ--， C.27[]36ππ， D ．[0]3
π
-， 第Ⅱ卷
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量a ，b 的夹角为
23
π
，1a =，3b =，则a b += ． 14.设，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪
-+⎨⎪--⎩
≤≤≥则2z x y =-取得最大值时的最优解为 ．
15.一根长度为3米的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1米的概率为 ． 16.若对于曲线()x f x e x =--上任意点处的切线1l ，总存在()2sin g x ax x =+上处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 若向量(3sin sin )a x x ωω=，，(cos sin )b x x ωω=，，其中0ω>.记函数1
()2
f x a b =⋅-
，若函数()f x 的图象上相邻两个对称轴之间的距离是2
π. （1）求()f x 的表达式；
（2）设ABC △三内角A 、B 、C 的对应边分别为、b 、，若3a b +=，c ，()1f C =，求ABC △的面积.
18. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点.
（1）证明：1BC ∥平面1
ACD ；
（2）设12AA AC CB ===，AB =1C A DE -的体积.
19. 为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95.
（1）作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数；
（2）从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人恰有一人成绩不低于90分的概率.
20. 已知P 是圆C ：224x y +=上的动点，P 在轴上的射影为P '，点M 是线段PP '的中点，当P 在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E .
（1）求曲线E 的方程；
（2）经过点(02)A ，的直线l 与曲线E 相交于点C ，D ，并且3
5
AC AD =，求直线l 的方程. 21. 已知函数()m
f x mx x
=-
，()2ln g x x =. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （2）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间(1)+∞，上有无实根； （3）若(1]x e ∈，时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A 、B 的极坐标分
别为(1)3π，、2(3)3π
，，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）.
（1）求直线AB 的直角坐标方程；
（2）若直线AB 和曲线C 只有一个交点，求的值. 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()1f x x λ=+-，λ∈R ，且(1)0f x -≤的解集是[11]-，. （1）求λ的值；
（2）若，s ∈R ，且0r >，0s >，11
2r s
λ+=，求2r s +的最小值.
数学（文）参考答案
一、选择题
1-5ADBDC 6-10BCACD 11、12：AA
二、填空题
(52)， 15.13 16.1
[0]2
，
三、解答题
17.解：（1）∵(3sin sin )a x x ωω=，
，(cos sin )b x x ωω=，
∴211()cos sin sin(2)226
f x a b x x x x π
ωωωω=⋅-
=+-=- 由题意可知其周期为，22π
ωπ
=，即1ω=，
∴()sin(2)6
f x x π
=- （2）由()1f C =，得sin(2)16C π
-=
∵0C π<<，∴1126
6
6
C π
π
π
-<-
<
， ∴ 26
2
C π
π
-
=
，解得3
C π
=
又∵3a b +=，c =，由余弦定理得2222cos
3
c a b ab π
=+-，
∴2()33a b ab +-=，即2ab =
∴由面积公式得ABC △面积为1sin 2ab C =
18.解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点，又D 是AB 中点，连结DF ，则1BC DF ∥.
因为DF ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， 所以1BC ∥平面1
ACD . （2）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1AA CD ⊥. 由已知AC CB =，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥. 又1
AA AB A =，于是CD ⊥平面11ABB A .
由12AA AC CB ===，AB =
90ACB ∠=︒，CD ，1A D =，DE =，13A E =，
故22211A D DE A E +=，即1DE A D ⊥.
所以111
132
C A DE V -=⨯=.
19.解：（1）以十位数为茎，以个位数为叶，作出抽取的15人的成绩，茎叶图如图所示，
由样本得成绩在90分以上的频率为2
15
，故志愿者测试成绩在90分以上（含90分）的人数约为2
150020015
⨯=人. （2）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为A ，B ，C ，D ，E ，F ，其中E ，F 的成绩在90分以上（含90分），
成绩在80分以上（包含80分）志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有：{}A B C ，，，{}A B D ，，，
{}A B E ，，，{}A B F ，，，{}A C D ，，，{}A C E ，，，{}A C F ，，，{}A D F ，，，{}A D E ，，，{}A E F ，，，{}B C D ，，，{}B C E ，，，{}B C F ，，，{}B D E ，，，{}B D F ，，，{}C D E ，，，{}C D F ，，，{}D E F ，，，{}B E F ，，，{}C E F ，，，共20种.
其中选取的3人恰有一人成绩在90分以上的不同取法有：
{}A B E ，，，{}A B F ，，，{}A C E ，，，{}A C F ，，，{}A D F ，，，{}A D E ，，，{}A E F ，，，{}B C E ，，，{}B C F ，，，{}B D E ，，，{}B D F ，，，{}C D E ，，，{}C D F ，，，共12种.
∴选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率为
123
205
= 20.解：（1）设()M x y ，，则(2)P x y ，在圆2
2
44x y +=上，所以2
2
44x y +=，即2
214
x y +=
（2）（ⅰ）当直线l 斜率不存在时，经检验，不满足题意；
（ⅱ）设直线l 斜率为k ，则其方程为2y kx =+，则22
221
(14)161204
2x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩
令22(16)4(14)120k k =-+⋅>△，得234
k > 设11()C x y ，，22()D x y ， 122
1614k
x x k +=-+①
122
12
14x x k
=
+②
又由35AC AD =
，得1235x x =，将它代入①，②，得21k =，1k =±（满足234
k >） 所以直线l 的斜率为1k =±，所以直线l 的方程为2y x =±+ 21.解（1）2m =时，2()2f x x x =-，22
()2f x x
'=+，(1)4f '=，切点坐标为(10)，， ∴切线方程为44y x =-
（2）1m =时，令1
()()()2ln h x f x g x x x x
=-=-
-， ()2
22112()10x h x x x x -'=+-=≥，∴()h x 在(0)+∞，上为增函数 又(1)0h =，所以()()f x g x =在(1)+∞，内无实数根 （3）2ln 2m
mx x x
-
-<恒成立，即()
2122ln m x x x x -<+恒成立. 又210x ->，则当(1]x e ∈，时，222ln 1
x x x
m x +<
-恒成立，
令222ln ()1
x x x
G x x +=
-，只需小于()G x 的最小值.
222
2(ln ln 2)
()(1)x x x G x x -++'=-，∵1x e <≤，∴ln 0x >，∴(1]x e ∈，时，()0G x '<，
∴()G x 在(1]e ，上单调递减，∴()G x 在(1]e ，的最小值为2
4()1
e
G e e =-， 则的取值范围是241e e ⎛
⎫-∞ ⎪-⎝
⎭，
22.解：（1）∵点A 、B 的极坐标分别为(1)3π，、2(3)3
π
，，
∴点A ，B
的直角坐标分别为1(2
、3(2-，
∴直线AB
的直角坐标方程为40yi +-=；
（2）由曲线C 的参数方程cos sin x r y r α
α
=⎧⎨=⎩（为参数），化为普通方程为222x y r +=，
∵直线AB 和曲线C 只有一个交点，
∴半径14
r =
= 23.解：（1）因为()1f x x λ=+-，所以(1)f x x λ-=-. 而(1)0f x -≤，即x λ≤的解集是[11]-，，所以1λ=. （2）由（1）可得1112r s
λ+==.
因为0r >，0s >，所以1122(2)()1122422r s
r s r s r s s r
+=++=+++≥+=，当且仅当，即2r =，1s =时
等号成立，所以2r s +的最小值为4.。