人教A版数学必修四1.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数

1.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
一、填空题
1．若－π
2
＜α＜0，则点P (cos α，sin α)位于第________象限．
解析 由－π
2＜α＜0，得cos α＞0且sin α＜0，所以点P (cos α，sin α)
位于第四象限． 答案 四
2．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x
的值为________． 解析
y
x
＝tan 300°＝－tan 60°＝－ 3. 答案 － 3
3.已知锐角α终边上一点A 的坐标是(2sin 3π,2cos )3
π
,则α的弧度数是_______．
解析 tan 2cos 3332sin 3y x παπ==
=, ∵α为锐角,∴6
απ=. 答案
6
π 4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π
3
弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．
解析 点Q 的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，32. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，32
5．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________________． 解析 若角α的终边落在x 轴上方，则2k π<α<2k π＋π，k ∈Z. 答案 {α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z}
6．已知一扇形的中心角α＝60°，所在圆的半径R ＝10 cm ，则扇形的弧长为________cm ，面积为________cm 2.
解析 α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，l ＝10π3(cm)，S 扇＝12×10π3×10＝50π3
(cm 2
)． 答案
10π3 50π
3
7.设α角属于第二象限,且|cos 2α|=-cos 2α,则2
α角属于________．
解析:2k π22
k απ
+
<<π+π(k ∈Z ), k π22k απ+<<π(2
k π
+∈Z ),
当2(k n n =∈Z )时2α,在第一象限;
当21(k n n =+∈Z )时2α,在第三象限;
而|cos 2α|=-cos 2α⇒cos 02α≤,
∴2
α在第三象限.
答案 第三象限
8．已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛
⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为________．
解析 将点的坐标化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，－12，它是第四象限的点，
所以α最小正值为2π－π6＝11π6
. 答案
11π
6
9．若0＜α＜2π，sin α＞3cos α，则α的取值范围是________． 解析 如图所示，当α角终边位于直线AB 左上侧时，有π3＜α＜4π
3
.
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
，4π3
10．已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin 3，－2cos 3)，则角α的弧度数为________．
解析 由已知tan α＝－2cos 32sin 3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－3＝tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫3－π2.
因为0＜3－π2＜π2，所以α＝3－π
2
. 答案 3－
π2
11．已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2. 解析 设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝8，
S ＝1
2rl ＝12
r ×(8－2r )＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4，所以S max ＝4 (cm 2)． 答案 4
12．已知集合E ＝{θ|cos θ<sin θ，0≤θ≤2π}，F ＝{θ|tan θ<sin θ}，那么E ∩F 的区间是________．
解析 由单位圆的正、余弦线，容易得E ＝⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫
θ
⎪
⎪⎪
π4<θ<54π，又由F 可知，θ应在第二、第四象限，所以E ∩F ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
θ⎪⎪⎪
π
2<θ<π
. 答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π
13．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－4
5，则m 的值
为________．
解析 因为r ＝64 m 2＋9，所以cos α＝
－8m 64m 2＋9
＝－4
5，所以m ＞0，
所以4m 264m 2＋9＝125，即m ＝±12.又m ＞0，故m ＝1
2.
答案
1
2
二、解答题
14.已知角α的终边经过P(4,-3). (1)求2sin α-cos α的值;
(2)求角α的终边与单位圆的交点P 的坐标. 解析 (1)∵22224(3)5r x y =+=+-=,
∴sin 3355
y r α-=
==-,cos 45x r α==.
∴2sin α-cos 342()255α=⨯--=-.
(2)角α的终边与单位圆的交点P 的坐标为(cos α,sin )α,即34()55
,-.
15．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ≠0)，角β终边上的点Q 与
A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．
解析 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )． sin α＝－2a a 2＋－2a
2＝－2a
5a
2， cos α＝
a a 2＋－2a 2
＝a 5a 2
，
tan α＝－2a
a
＝－2，
sin β＝a a 2＋a 2＝a
5a 2，
cos β＝
2a
a
2
＋a
2
＝2a
5a
2， tan β＝
a 2a ＝12
， 故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝
－2a 5a 2·a 5a 2＋a 5a 2·2a 5a 2
＋(－2)×1
2＝－1.
16．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且 cos α＝3
6
x ，求sin α，tan α的值．
解析 因为P (x ，－2)(x ≠0)，所以P 到原点的距离r ＝x 2＋2，
又cos α＝
36x ，故cos α＝x x 2＋2＝3
6
x ， 因为x ≠0，所以x ＝±10，故r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数定义，有sin α＝－
66，tan α＝－5
5
； 当x ＝－10时，P 点坐标为(－10，－2)，
所以sin α＝－66，tan α＝5
5
.
17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，25
5
. (1)
求tan(α＋β)的值；
(2)求α＋2β的值．
解析 由题意，得cos α＝210，cos β＝255，α，β∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，所以sin α
＝1－cos 2
α＝7210，sin β＝1－cos 2
β＝55
，因此tan α＝7，tan β＝
1
2
. (1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝
7＋
12
1－7×
1
2
＝－3.
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝
－3＋
12
1－
－
12
＝－1，。