浙江省诸暨中学2017-2018学年高二上学期期中考试卷数

诸暨中学2017学年高二第一学期期中数学试卷
一. 选择题：(4分10)⨯本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是 （ ） A 若x y +是偶数，则x 与y 不都是偶数 B 若x y +是偶数，则x 与y 都不是偶数 C 若x y +不是偶数，则x 与y 不都是偶数 D 若x y +不是偶数，则x 与y 都不是偶数 2.
边长为 （ ）
A
4
B 1
C D 8 3.椭圆2254600x y +-=的焦点坐标为 （ ）
A (±
B (
C (0,±
D (0, 4.在矩形ABCD 中,1AB =
,
BC =PA ⊥平面ABCD,1PA =,则PC 与平面ABCD 所
成的角是 （ ） A
30 B
45 C
60 D
90
5.点P (51,12)a a +在圆2
2
(1)1x y -+=的内部，则a 的取值范围是 （ ） A 1a < B 113a <
C 15a <
D 113
a < 6．设12,F F 分别是椭圆
2214924
x y +=的左,右焦点，P 是椭圆上一点， 且12:4:3,
PF PF =则
12PF F ∆的面积为 （ ）
A ．24 B. 25 C. 30 D. 40 7．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A ．
38 B ．3
4
C ．43224++
D ．63224++
8．已知直线l 为圆2
2
4x y +=
在点处的切线，点P 为直线
l 上一动点，点Q 为圆22
(1)1x y ++=上一动点，则||PQ 的最小值为 （ ）
第7题图
B.
12
+ C. 1 D. 1 9．椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若
AF BF ⊥，设,ABF α∠=且,124ππα⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）
A ,12⎫⎪⎪⎣⎭
B 2⎣⎦
C ⎫⎪⎪⎣⎭
D 2⎣⎦
10.如图，四边形ABCD 中，1,AB AD CD BD ===BD CD ⊥.将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A BCD '，使2
A DC π
'∠=
，则下列结论不正确的是 （ ）
A ．A
B CD '⊥ B ．2
BA C π
'∠=
C ．二面角A BC
D '-- D ．异面直线A C '与BD 所成角的大小为
3
π
二．填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.
11．与双曲线22
149
x y -=共渐近线且经过点(,6)M 的双曲线的标准方程为 ．
12.已知,αβ是两个不同的平面,,m n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:(1)
m n ⊥;(2);αβ⊥(3);n β⊥(4)m α⊥.以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,
写出你认为正确的一个命题: ．
13.如图所示，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为矩形，
3=AB ，1==CP CB ，且PA PC ⊥，记二面角
B A
C P --的平面角为θ，若]2
1
,94[cos ∈θ，
则PB 的取值范围是 .
14．已知两圆2
2
2
1:(4)13C x y -+=，2
2
2
2:(4)3C x y ++=，动圆在圆1C 内部且和圆1
C 第13题图
相内切，和圆2C 相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为 。

15．设集合
A
222(,)(2),,2m x y x y m x y R ⎧⎫
=≤-+≤∈⎨⎬⎩⎭
，集合
B
{}(,)221,,x y m x y m x y R =≤+≤+∈，若A B φ≠，则实数m 的取值范围 ．
三、解答题：本大题共5小题，55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．(本大题10分) 设条件P:2
2310x x -+≤,条件q :2(21)(1)0x a x a a -+++≤,若P ⌝是
q ⌝的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.
17.本小题满分 10 分）在直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 中，AC=3，BC=4，AB=5，AA 1=4，点 D 是
AB 的中点．
（I ）求证： A 1C 1⊥BC 1 ； C 1
B 1
（II ）求证：AC 1∥平面 CDB 1； A 1
C
18.(本大题满分11分)已知圆C:2
2
(1)5x y +-=,直线:10.l mx y m -+-= (1)求证:对m R ∈,直线l 与圆C 总有两个不同的交点;
(2)设直线l 与圆C 交于,A B 两点,
若AB =求直线l 的方程.
A B
D
19．（本题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是菱形，M 是AD 的中点，
3
DAB π
∠=
，点P 在底面的射影H 恰好在MB 上，且2MH HB =
（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面PBM ； （Ⅱ）如果二面角P AD B --的大小为
3
π
，求直线
PC 与平面ABCD 所成二面角的正切值。

20．（本题满分12分）设椭圆方程22
221(0)x y a b a b
+=>>，12,F F 是椭圆的左右焦点，以
12,F F 及椭圆短轴的一个端点为顶点的三角形是面积为三角形。

（I ）求椭圆方程；
（II ）过12,F F 分别作直线12,l l ，且12l l ⊥，设1l 与椭圆交于,A C 两点，2l 与椭圆交于,D B 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围.
诸暨中学2017学年高二第一学期期中数学试卷参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
二．填空题：本大题共5小题，每题5分，共25分.
11.
22
1818
x y -= 12.(1),(3),(4)(2)⇒或(2),(3),(4)(1)⇒
13.⎤
⎥⎣⎦
14.
22
16448
x y += 15.122⎡⎤⎢⎥⎣⎦
三、解答题：本大题共5小题，55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.解:2
1
:2310(21)(1)012
p x x x
x x -+
≤⇒--≤⇒≤≤ []:()(1)01q x a x a a x a
--+≤⇒≤≤+ 则1
:,2
p x ⌝<
或1x > :q x a ⌝<或1x a >+,由p ⌝是q ⌝成立的必要不充分条件,即只能q p ⌝⇒⌝,故必
须满足1102211
a a a ⎧
≤⎪
⇒≤≤⎨⎪≤+⎩.
17.证明()I 法一:1111
3,AC BC A B ===故有22
2
1111A C B C A B
+=,A 111.AC BC ⊥法二:222
AB AC BC AC BC =+⇒⊥ ;由直三棱柱111CC AC ⇒⊥;
1111B C CC C =;11B C ⊂平面11BB C C ;1CC ⊂平面11BB C C ,11AC ⇒⊥平面11BB C C ,1BC ⊂平面11BB C C ,111.AC BC ⇒⊥
()II 连接11,B C BC 相交于点O,连OD,易知OD //1AC ,OD ⊂平面CD 1B ,1AC ⊄平面
1CDB ,故1AC //平面1CDB .
;
18.()I 证明:直线(1)10m x y --+=,经过定点(1,1),221(11)5+-<,∴定点在圆内,故对
m R ∈,直线l 与圆C 总有两个不同的交点.
()II 由圆心(0,1)到直线10mx y m -+-=
的距离2
0111
d m -+-=
=
+,而
圆的弦
长AB ==,
即=,21174(4)1m =++,
23m =,解
得m =,故所求的直线方程
为
10y -+=
或
10.y -+=
19.解:（Ⅰ）∵ABD ∆为等边三角形，M 是AD 的中点，∴AD MB ⊥
又∵PH ⊥底面ABD ，∴A D P H ⊥⇒⊥平面ABM
∵AD ⊂平面PAD ，∴平面PAD ⊥平面
PBM
（Ⅱ）点P 在底面ABCD 上的射影是H ，
PH ∴⊥底面ABCD ,
又底面ABCD 是菱形，且M 为AD 的中点，BM AD ∴⊥,连PM ,则PM AD ⊥( 由三垂线定理可知)，故PMH ∠为二面角P AD B --的平面角,即60PMH ∠=。

不妨设
22MH HB a ==，
则PH =
，AB BC ==,又90MBC ∠=
，
CH ∴==，故直线PC 与底面ABCD 所成的角为PCH ∠,在PCH ∆
中，
tan PH PCH HC ∠=
==。

20.解（I
）由题设可得：2a c bc =⎧⎪⎨
=⎪⎩，222
a b c -=，224,3a b ∴==，
故椭圆方程为22
143
x y +=
（2）当直线斜率不存在时，6S =
当直线斜率存在时，设直线:()i l y k x m =+，代入椭圆方程得：
22222
(34)84120
k x k mx k m +++-=,
则
222121222
8412
,3434k m k m x x x x k k
--+=-=+
+
所以弦长
12|x x
=-==，设直线AC 的斜率为k ，不妨设0k >，则
2212(1)|AC |43k k +=+，22
12(1)|BD |43k k +=+
222222
2224222
112(1)12(1)72(1)72(1)S 2434312251212(1)ABCD
k k k k k k k k k k ++++∴=⋅⋅==
++++++ 2
22
2
72
72288
[,6)1
49
1212
1(1)()
k k k k
=
=
∈++++ 综上，四边形ABCD 面积的取值范围是288
[
,6]49.。