江苏省扬州市2020届高三上学期期中调研数学试题及参考答案

2019-2020学年度第一学期高三期中调研测试
数学试题
2019.11
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1.已知集合{}3,4A =，{}1,2,3B =，则A B =______.
2.若(3)2i z i +=-（i 为虚数单位），则复数z =______.
3.函数||3()x m y m -=∈R 是偶函数，则m =______.
4.双曲线2
214
y x -=的渐近线方程为______. 5.抛物线2
4y x =上横坐标为4的点到焦点的距离为______. 6.设函数2ln ,0,()1,0,2x x x f x x >⎧⎪=⎨<⎪⎩则()()
2f f e -=______. 7.直线260ax y ++=与直线2(1)10x a y a +-+-=平行，则两直线间的距离为______.
8.函数1()x
x f x e +=的极大值是______. 9.将函数cos y x =的图像向右平移2
π个单位后，再将图像上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得到数()f x 的像，则6f π⎛⎫=
⎪⎝⎭______. 10.梯形ABCD 中，AB CD ，90BAD ∠=︒，33AD AB DC ===，若M 为线段BC 的中点，则AM BD ⋅的值是______.
1l.在ABC ∆中，角A ，B ，
C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b =，222sin sin 3sin A B C -=，1cos 3
A =-，则ABC ∆的面积是______.
12.已知点()1,0A -，()2,0B ，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得2229PA PB +=成立，则实数k 的取值范围是______.
13.已知实数x ，y 满足32
y >且69240xy x y -+-=，则3x y +的最小值是______. 14.已知关于x 的不等式2(1)0x x k e e --+<有且仅有三个整数解，则实数k 的取值范围是______.
二、解答题：（本大题共6道题，计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.已知关于x 的不等式
103x x +<-的解集为集合A ，函数()f x =B （其中m ∈R ）.
（1）若0m =，求A B ；
（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围.
16.已知0,2πα⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 5
α=. （1）求tan 4πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
的值； （2）求sin 26πα⎛⎫+
⎪⎝⎭的值. 17.已知圆C ：22(2)4x y +-=，直线l 过点(3,0)A -.
（1）若l 与圆C 相切，求l 的斜率k ；
（2）当l 的倾斜角为
4π时，l 与y 轴交于点B ，l 与圆C 在第一象限交于点D ，设AB BD λ=，求实数λ的值.
18.为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为1米，AC ，BD 是圆的直径，E ，F 在弦AB 上，H ，G 在弦CD 上，圆心O 是矩形EFGH 的中心，若23EF =米，2AOB θ∠=，5412
ππθ≤≤.
（1）当3π
θ=时，求“杠铃形图案”的面积；
（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值.
19.如图，已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以线段12F F 为直径的圆与椭圆交
于点P ⎝⎭.
（1）求椭圆的方程；
（2）过y 轴正半轴上一点(0,)A t 作斜率为(0)k k >的直线l .
①若l 与圆和椭圆都相切，求实数t 的值；
②直线l 在y 轴左侧交圆于B 、D 两点，与椭圆交于点C 、E （从上到下依次为B 、C 、D 、E ），且AB DE =，求实数t 的最大值.
20.已知函数2()ln 22()f x x ax ax a a =--++-∈R .
（1）当1a =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程；
（2）是否存在非负整数a ，使得函数()f x 是单调函数，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；
（3）已知()()3g x f x x =+-，若存在(1,)b e ∈，使得当(0,]x b ∈时，()g x 的最小值是()g b ，求实数a 的取值范围.（注：自然对数的底数e 2.71828=⋅⋅⋅）
2019—2020学年度第一学期高三期中调研测试
数学试题Ⅱ
2019.11
21.已知向量11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
是矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值λ的一个特征向量. （1）求实数a ，λ的值；
（2）求2A .
22.一个盒子中装有大小相同的2个白球、3个红球；现从中先后有放回地任取球两次，每次取一个球，看完后放回盒中.
（1）求两次取得的球颜色相同的概率；
（2）若在2个白球上都标上数字1，3个红球上都标上数字2，记两次取得的球上数字之和为X ，求X 的概率分布列与数学期望()E X .
23.如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，点E 、F 分别在棱1AA 、1BB 上移动，且1AE AA λ=，1(1)BF BB λ=-.
（1）若12
λ=，求异面自线CE 与1C F 所成角的余弦值；
（2）若二面角A EF C --的大小为θ，且sin 5θ=
，求λ的值.
24.设111(1)
n k k n n k S C k
+==-∑，*,n k ∈N . （1）求21S S -，32S S -；
（2）猜想11n
n k S k =-∑的值，并加以证明. 扬州市2019—2020学年度第一学期期中调研测试试题
高三数学参考答案
一、填空题：
1.{}1,2,3,4
2.1
1
22i - 3.0 4.2y x =±
5.5
6.16
8.1
10.32-
12.1515⎡-⎢⎣⎦
13.12 14.
21,3e e ⎛⎤
+ ⎥⎝⎦
二、解答题：
15.解：（1）由1
03x x +<-得{}|13A x x =-<<
0m =时，
由240x -+≥得[]2,2B =-，
∴(]1,2A B =-，
（2）由22240x mx m -+-+≥得：{}|22B x m x m =-+剟.
∵{}|13A x x =-<<∴(][),13,R A =-∞-+∞ð.
∴R B A ⊆ð∴23m -≥，或21m +≤-，
∴5m ≥或3m ≤-.
∴实数m 的取值范围为(][),35,-∞-+∞
16.解：0,2πα⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，34cos sin 55αα=⇒=，4tan 3
α= 41tan tan
34tan 7441tan tan 1143παπαπα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-⋅-⋅ （2）24sin 22sin cos 25
ααα==， 227cos 2cos sin 25ααα=-=-
. 则sin 2sin 2cos cos 2sin 666πππ
ααα⎛
⎫+=+ ⎪⎝⎭
247125252⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭ 17.解：（1）因为l ：(3)y k x =+与圆C 相切，所以圆心C 到直线的距离，
2d ==，
解得0k =或125
k = 所以斜率k 为0或
125 （2）法一：当l 的倾斜角为45︒时，l ：3y x =+，令0x =，得3y =，所以(0,3)B
由223(2)4y x x y =+⎧⎨+-=⎩
，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
舍去，或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以1322D ⎛-+ ⎝
⎭ 则(3,3)AB =
，1122BD ⎛-+-+= ⎝⎭，
所以1
λ==.
法二：当l的倾斜角为45︒时，l：3
y x
=+，令0
x=，得3
y=，所以(0,3)
B
过点C作AB的垂线交AB于点M
，则
2
CM BM
===，
2
MD==
，
22
BD=-
又AB==
所以1
λ==
法三：当l的倾斜角为45︒时，l：3
y x
=+，令0
x=，得3
y=，所以(0,3)
B
设()
00
,
D x y
因为AB BD
λ
=，点D在第一象限，所以()
00
(3,3),3
x y
λ
=-，0
λ>
则()
3
33
x
y
λ
λ
=
⎧
⎨
=-
⎩
，得
3
3
3
x
y
λ
λ
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，即
33
,3
D
λλ
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
又点D在圆上，所以
22
33
324
λλ
⎛⎫⎛⎫
++-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，解得1
λ=-
1
λ=
18.解：设EF中点为M，连结OM，则cos
OMθ
=，2sin
ADθ
=
（1）当
3
π
θ=时，杠铃形图案的面积
12
22sin cos cos
323333
S
ππππ
⎛⎫
=-⨯⨯+
⎪
⎝⎭
22
323
π
=-+
答：当
3
π
θ=
时，杠铃形图案的面积为
22
323
π
-+平方米.
（2）杠铃形图案的面积2()2sin cos cos 3S θθθθθ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
()222()21cos sin sin 3S θθθθ⎡⎤'=---⎢⎥⎣⎦2222sin sin 3θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
因为5412π
πθ≤≤，所以2212sin sin 2sin sin 033θθθθ⎛⎫-=-> ⎪⎝
⎭， ()0S θ'>，()S θ单调递增. 所以当4π
θ=时，()S θ的最小值为22sin cos cos 4
4434S ππππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
. 12π
=-.
答：杠铃形图案的面积的最小时为
12π-. 19.解：（1）设椭圆的焦距为2c 因为线段12F F
为直径的圆与椭圆交于点55P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
所以25c =
法一：()1F
，)2
F ，则1226a PF PF =+=，3a =
所以2b === 则椭圆的方程为22
194
x y +=
法二：又点P ⎝⎭
在椭圆上
所以22
222215a b a b ⎧⎛⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨==++⎪⎪⎩
，解得2294a b ⎧=⎨=⎩
所以椭圆的方程为22
194
x y += （2）①因为直线y kx t =+
=()2251t k =+（ⅰ） 由2219
4y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22294189360k x ktx t +++-= 因为直线与椭圆相切，
所以()()
222(18)4936940kt t k ∆=--+=即22940k t -+=（ⅱ） 联立（i ）（ⅱ）得1252
k t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩负值舍去 ②取BD 中点M ，连结OM ，则OM AB ⊥，
又AB DE =，所以M 为AE 中点 法一：由1y kx t y x k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得22,11kt t M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 所以()22212,11t k kt E k k ⎛⎫- ⎪- ⎪++⎝⎭
代入椭圆方程化简得()()2422242423621361929929k k k t k k k k +++=
=-+-+
设211m k =+> 则2236
112042t m =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当2m =时，t 取最大值3，此时1k =.
又1k =，3t =时，(0,3)A ，(1,2)B -，1524,1313C ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，(2,1)D -，(3,0)E - 符合题意，故t 的最大值为3.（不检验扣1分）
法二：则OM AB ⊥，M 为AE 中点所以OE OA t == 由22222194x y t x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
，解得()22945t x -=，则22549x t =+ 又29x ≤，所以3t ≤，t 的最大值为3，此时1k =
又1k =，3t =时，(0,3)A ，(1,2)B -，1524,1313C ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，(2,1)D -，(3,0)E - 符合题意，故t 的最大值为3.（不检验扣1分）
20.解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.
当1a =时，2()ln 21f x x x x =--++，1()22f x x x
'=--+.∴(1)1f '=-. 所以，函数()f x 在1x =处的切线方程为2(1)y x -=--
即30x y +-=
（2）∵2
()ln 22f x x ax ax a =--+-+，∴2221()ax ax f x x -+'=-，(0)x >. 当0a =时，1()0f x x
'=-<.∴()f x 是单调减函数.符合 当0a >时，若()f x 是单调增函数，则2221()0ax ax f x x
-+'=-≥， 即2
2210(0)ax ax x -+≤>恒成立，这不可能； 若()f x 是单调减函数，则2221()0ax ax f x x
-+'=-≤， 即22210(0)ax ax x -+≥>恒成立，令2
()221h x ax ax =-+，其开口方向向上，对称轴方程为 12x =，(0)10h =>，故2
min 111()2210222h x h a a ⎛⎫⎛⎫==-⋅+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∴02a <≤ 又a Z ∈，1,2a =.
综上，满足条件的非负整数a 的值是0，1，2
（3）∵()()3g x f x x =+-
∴2
()ln (21)1g x x ax a x a =--++--
∴1()221g x ax a x '=--++22(21)1ax a x x -++=-(1)(21)
x ax x
--=-
①当a ，，0时，
21
0ax x
-<. 当01x <<时，()0g x '<，()g x 在()0,1上为减函数； 当1x >时，()0g x '>，()g x 在()1,+∞上为增函数.
所以当(]0,x b ∈(1)b e <<时，min ()(1)0()g x g g b ==<，不符合题意.
②当0a >时，12(1)2()a x x a g x x
⎛
⎫-- ⎪
⎝⎭'=-. （i ）当
112a <，即1
2
a >时，当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下：
若满足题意，只需满足1()2g g e a ⎛⎫
>
⎪
⎝⎭
，整理得()21ln 22204a e e a e a ++-+->. 令()211()ln 22242F a a e e a e a a ⎛
⎫=+
+-+-> ⎪⎝
⎭， 当12a >
时，2211()24F a e e a a '=-+-241
(2)04a e e a
-=+->， 所以()F a 在1,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上为增函数，
所以，当12a >
时，()2
111()22222
F a F e e e ⎛⎫>=+-+- ⎪⎝⎭211(2)022e =-+>. 可见，当12a >
时，1()2g g e a ⎛⎫> ⎪⎝⎭
恒成立，故当12a >，(]0,x b ∈(12)b <<时，函数()g x 的 最小值为()g b .；所以1
2
a >
满足题意. （ⅱ）当112a =，即1
2
a =时，2(1)()x g x x -'=-
，，0，当且仅当1x =时取等号. 所以()g x 在()0,+∞上为减函数.从而()g x 在(]0,b 上为减函数.符合题意.
（ⅲ）当
112a >，即1
02
a <<时，当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如下表：
若满足题意，只需满足()(1)g e g <，且
12e a <（若
1
2a
..e ，不符合题意）， 即2
2(1)e a e ->
-，且1
2a e
>. 又22221(1)20(1)22(1)e e e e e e ----=>--，22221(2)10(1)22(1)e e e e -----=<--∴221(1)2
e a e -<<-.
综上，2
2
(1)e a e ->
-.
所以实数a 的取值范围是2
2,(1)e e ⎛⎫
-+∞
⎪-⎝⎭
. 21.解：（1）因为矩阵103a A ⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦属于特征值λ的一个特征向量为11α-⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，
所以1110311a λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即1,3,a λλ-+=-⎧⎨=⎩所以4,
3.
a λ=⎧⎨=⎩ （2）由（1）知4103A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以2
4141167030309A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
22.解：（1）每次取得白球的概率是
25，取得红球的概率是3
5
， 两次都取得白球的概率是2
25⎛⎫ ⎪⎝⎭，两次都取得红球的概率是2
35⎛⎫
⎪⎝⎭，
故两次取得的球颜色相同的概率为：2
2
23491355252525
⎛⎫⎛⎫
+=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）X 可能的取值为2，3，4.
224
(2)5525P X ==⨯=
， 233212
(3)555525P X ==⨯+⨯=，
339
(4)5525
P X ==⨯=
. 所以X 的分布列为：
所以X 的数学期望412916()2342525255
E X =⨯
+⨯+⨯=. 23.解：在正三棱柱111ABC A B C -中，取AB 中点O ，取11A B 中点1O ，连OC 、1OO ，则
11OO AA ，AB OC ⊥，又正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AB 、OC ⊂平面
ABC ，所以1AA OC ⊥，1AA AB ⊥，所以1OO OC ⊥，1OO AB ⊥.
以O 为坐标原点，OA 、1OO 、OC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系
O xyz -，
则()0,0,0O ，()1,0,0A
，(C ，
(10,C ，()1,2,0E λ，()1,22,0F λ--，
(1,2,CE λ=
，(11,2,C F λ=--，
（1）若1
2
λ=
，(1,1,CE =
，(11,1,C F =--， 1111
cos ,5
||||5CE C F CE C F CE C
F ⋅=
==⋅，故异面直
线CE 与1C F 所成角的余弦值为
1
5
. （2）由（1
）可得(
1,22,CF λ=--，
设平面CEF 的一个法向量(),,n x y z =，则20
(22)0
n CE x y n CF x y
λλ⎧⋅
=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取1z =得：
(
)
3n
=
-，
取平面AEF 的一个法向量(OC =，
由二面角A EF C --的大小为θ，且sin θ=
，得
cos ,||||
OC n
OC n OC n ⋅〈〉=
⋅5
=
=， 化简得21
(21)3
λ-=
，所以36λ=.
24.解：（1）2
111
(1)11S C =-⨯⨯=，2
1221
1(1)k k k S C k +==
-∑2132
22
1(1)(1)2C C =-⨯+-⨯⨯13222=-=， 3
1331
1(1)k k k S C k +==-∑213243
33311(1)(1)(1)23C C C =-⨯+-⨯⨯+-⨯⨯313111323236=-+=+=，
所以2112S S -=
，3213
S S -= （2）猜想：1
10n
n k S k =-=∑，即11
1
123n S n
=++++
证法一：
下面用数学归纳法证明.
1︒当1n =时，由（1）知，11S =，成立；
2︒假设当n m =时，11
111
1
(1)123m
k k m m
k S C k m
+==-=++++
∑. 则当1n m =+时，1
1
121111
1
111(1)
(1)(1)1m m
k k k k m m m m k k S C C k k m +++++++===
-=-+-+∑∑ 1
12
111(1)(1)1
m
k k k m m m k C C k m +-+=⎡⎤=-++-⎣⎦+∑ 1
1121
1
111(1)
(1)(1)1m
m k k k k m m m k k C C k k m ++-+===-+-+-+∑∑ 1121
11
(1)(1)1m
k k m m m k S C k m +-+==+-+-+∑.
又因为1
1(1)k
k m m kC m C -+-+(1)!!
(1)0!(1)!(1)!(1)!
m m k m k m k k m k +=⋅
-+⋅=+---+，
则1
1(1)k k m m kC m C -+=+，所以
11111
k k m m C C k m -+=+， 所以1
2
11
1
11(1)(1)11
m
k k m m m m k S S C m m ++++==+
-+-++∑ 12
1
111(1)(1)11
m k k m m m k S C m m +++==+-+-++∑ 12111(1)(1)1m k k m m m k S C m +++=⎡⎤=+-+-⎢⎥+⎣⎦∑ 1111(1)(1)1m k k m m m k S C m ++=⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦
∑ 123
11
1111111(1)(1)(1)1
r r
m m m m m m m m m m m S C C C C C C m ++++++++⎡⎤=--+-++-+
+-+-⎣⎦+
11(11)11
m m S m +⎡⎤=---⎣⎦+ 11111
1123
1
m S m m m =+
=++++
+
++， 综上1︒2︒，11
1
123
n S n =+++
+，故110n
n k S k
=-=∑. 证明二：因为1
1(1)k
k n n
kC n C -+-+(1)!!
(1)0!(1)!(1)!(1)!
n n k n k n k k n k +=⋅
-+⋅=+---+，
则1
1(1)k k n n kC n C -+=+，所以
11111
k k n n C C k n -+=+， 所以1
1
111
1(1)
n k k n n k S C k ++++==
-∑1211
11(1)(1)1n
k k n n k C k n +++==-+-+∑ （同证法一中“归纳递推”中的过程，参考上面的评分标准给分）
1
1
n S n =+
+， 所以111n n S S n +-=
+，则111n n S S n +-=+，11n n S S n --=，…，2112
S S -=，
以上n 个式子相加得1111112
n S S n n
+-=
+++
+， 又由（1）知11S =，所以11111
123
1
n S n n +=+
+++
+
+， 当2n ≥时，111
123
n S n
=+
+++
，当1n =时，符合上式. 故11
1
123
n S n =+++
+，即110n
n k S k
=-=∑.。