MIMO干扰信道下基于自适应复合代价函数的干扰对齐预编码设计

MIMO干扰信道下基于自适应复合代价函数的干扰对齐预编
码设计
景小荣;凌荣桢
【摘要】在多输入多输出(multiple-input multiple-output,MIMO)干扰信道中,针对传统的单边干扰对齐(interference alignment,IA)算法不能有效地保留期望信号而导致系统容量受限的问题,提出一种利用辅助中间变量实现单边IA的设计思想,并以此为基础,给出一种基于自适应复合代价函数(adaptive composite cost function,ACCF)的IA预编码设计方法.该方法首先定义期望子空间内的残留干扰和有用信号功率的自适应加权差作为代价函数;进而通过一辅助函数,将干扰抑制矩阵转化为中间变量,以构造复合代价函数;最后利用格拉斯曼(Grassmann)流形上的梯度下降法实现复合代价函数的优化求解.数值仿真结果验证了基于ACCF的IA方法在MIMO干扰信道中的有效性.
【期刊名称】《系统工程与电子技术》
【年(卷),期】2016(038)010
【总页数】8页(P2420-2427)
【关键词】多输入多输出;干扰对齐;自适应复合代价函数;梯度下降法
【作者】景小荣;凌荣桢
【作者单位】重庆邮电大学通信与信息工程学院,重庆400065;移动通信技术重庆市重点实验室,重庆400065;重庆邮电大学通信与信息工程学院,重庆400065【正文语种】中文
【中图分类】TN92
多小区多输入多输出(multiple-input multiple-output,MIMO)系统中存在的同道干扰(co-channel interference,CCI)严重地制约了系统的容量,干扰对齐(interference alignment,IA)作为近年来提出的一种能有效提高干扰系统可达容量的干扰管理技术而备受关注,其核心思想是通过设计发送预编码矩阵,将干扰信号压
缩到特定的低维子空间内,以保留尽可能大的无干扰子空间用于期望信号的传输。

根据预编码矩阵获取方式的不同,现有的IA算法可分为两类:直接法[1-2]和迭代法[3-10]。

直接法通过解析计算实现完全IA,其复杂度较低,但通常对系统天线配置和信道状态信息(channel state information,CSI)有严格的要求;而迭代法需多次循环迭代以逼近完全IA,复杂度较高,但往往能获得较好的系统性能,且算法设计更加灵活。

因此,目前针对IA算法的研究主要集中于迭代法。

文献[3]首次将IA迭代法引入到K收-发对MIMO干扰信道中,提出最具代表性的
最小干扰泄漏(minimize interference-leakage,Min-IL)算法和最大信干噪比(maximize signal-to-interference noise ratio,Max-SINR)算法,其主要设计思想为:利用上下行信道的互易性,通过收发两端交替优化预编码矩阵和干扰抑制矩阵来
实现干扰消除。

基于该设计思想,Householder变换IA算法[4]、最小加权核范数
IA算法[5]、非线性IA算法[6]、快速收敛Max-SINR算法[7]等被陆续提出,该类
算法的设计需要收发两端的紧密配合,虽然在理论上能获得较好的系统性能,却难以
应用于实际系统[8]。

主要原因包括:首先,实际系统很难满足该类算法对收发两端完全同步的要求;其次,收发两端的反复迭代会产生大量的反馈与同步信息,不仅给通信系统带来沉重的冗余负担,而且不适用于移动终端等计算能力有限的情形;最后,算法过分依赖信道互易性,只可能应用在时分双工(time division duplexing,TDD)系统中。

针对上述迭代IA算法的诸多不足,文献[8]利用特征值求和,克服了IA算法对干扰抑
制矩阵的依赖,提出了一种由发送端独立完成的迭代IA预编码方法,将适用场景从TDD系统扩展到频分双工(frequency division duplexing,FDD)系统;文献[9]延续该设计思想,利用空间距离理论,通过最小化干扰子空间到期望子空间的投影距离,实现预编码矩阵的优化。

文献[10]以系统和速率的最大化为优化目标,利用该目标函数的结构特性对优化问题进行重组,最后采用凸优化方法获得IA预编码矩阵的局部最优解。

上述IA算法均由发送端独立完成,本文将其统称为单边IA算法。

为达到发送端独立设计的目的,已有的单边IA算法刻意忽略了干扰抑制矩阵的影响,导致算法在对齐干扰的过程中,不能同时而有效地抑制期望信号的损失,虽然简化了实现机制,却限制了算法的设计灵活性和系统可达容量的提升空间,同时,其算法性能也很难与采用收发端联合设计的IA算法比肩[11]。

如果仅从数学角度观察,后者中的干扰抑制矩阵仅仅是辅助完成预编码设计的工具,其更新与接收端并没有必然的联系。

然而,已有的单边IA算法简单地认为干扰抑制矩阵的更新仅能通过接收端完成,因而以直接回避干扰抑制矩阵计算的方法来简化IA算法的实现机制,这是极不明智的。

为了突破传统单边IA算法在设计灵活性和可达容量提升空间上的限制,本文针对多收-发对MIMO干扰信道,提出了一种利用辅助变量优化预编码矩阵的单边IA设计思想。

该设计思想将干扰抑制矩阵作为辅助中间变量,以函数映射的方式引入到发送端的IA预编码设计中,使其在优化预编码矩阵的同时得到更新,而无需接收端的参与,这样既保证了算法的单边可实现性,又拓宽了单边IA算法的设计空间和系统可达容量的提升空间。

基于该设计思想,本文以期望子空间内的残留干扰与有用信号功率的自适应加权差为代价函数,以干扰协方差矩阵的部分特征向量构造干扰抑制矩阵,并利用格拉斯曼(Grassmann)流形上的梯度下降法实现了预编码矩阵的优化求解。

仿真表明,该方法较好地改善了系统性能。

如图1所示，在包含K个收-发对的MIMO干扰信道中,K个发送端同时独立地向各自对应的接收端发送数据,接收端同时接收到期望信号和来自非期望发送端的干
扰信号。

假设第k个收-发对分别配置Nk和Mk根天线,发送端k发送的数据流数为dk,满足dk≤min(Mk,Nk),则第k个输出信号矢量yk∈CNk×1可表示为
式中，K={1,2,…,K};Hkj∈CNk×Mj表示发送端j到接收端k的平坦衰落信道矩阵,为简单起见,文中假设各发送端已确知每一个信道矩阵;sk∈Cdk×1表示发送信号矢量,经矩阵Vk∈CMk×dk预编码后,满足功率约束E{‖Vksk‖2}≤Pk/dk,‖·‖表示矢量的2-范数，E{·}表示数学期望求取操作;nk∈CNk×1表示接收端k接收到的复高斯白噪声矢量,其分布满足nk～CN(0,σ2I)。

信号yk经接收干扰抑制矩阵
Uk∈CNk×dk处理后,可表示为
式中，(·)H表示矩阵的共轭转置。

该信道模型下,系统和速率可由式(3)表示
式中，Rk表示第k个收-发对的数据传输速率;det{·}表示矩阵的行列式;Qk为干扰协方差矩阵,其表达式为
对于多收-发对MIMO干扰信道,文献[3]首次给出线性IA实现的条件如下:
式中，rank{·}表示矩阵的秩。

式(5)表示期望子空间}内的干扰为0;式(6)表示}内的期望信号维度为dk,这里span{·}表示矩阵的生成子空间;式(7)是酉矩阵归一化约束条件[12]。

由矩阵理论可知,对于独立同分布的信道矩阵{Hkj, ∀k∈K},若式(5)成立,则式(6)必定以概率1成立[3]。

因此,式(5)是直接IA算法是否可行的判断标准。

然而,迭代IA算法通常难以实现干扰的完全对齐,即不能保证式(5)的绝对成立,因此判断迭代IA算法是否可行的指标不再是式(5)的成立与否,而是接收期望子空间内的残留干扰量是否能逼近到0。

残留干扰功率的表达式为
式中，=‖为残留在第k个期望子空间内的来自发送端j的干扰功率；‖·‖F表示矩阵的Frobenius范数。

已有的迭代IA算法多以最小化残留干扰作为优化目标[3,8],虽然能很好地抑制干扰,却不可避免地造成期望信号的损失,而期望信号强度与噪声功率是低信噪比(signal-
to-noise ratio,SNR)下影响系统性能的主要因素,所以该类算法仅能在高SNR下能获得较好的系统性能,而低SNR下的性能较差。

因此,为了进一步改善系统性能,本文同时考虑干扰信号与期望信号,以期望子空间内的残留干扰与有用信号功率的自适应加权差作为IA算法优化设计的代价函数,从而将残留干扰的最小化和期望信号功率的最大化有效地融合进同一优化问题中,同时通过权值αk的选择在二者之间找到一个可改善系统性能的最佳折中点。

此时,IA问题可描述为
式中，V={Vk,k∈K},U={Uk,k∈K}分别为预编码矩阵集和干扰抑制矩阵集;αk为非负权重系数代表第k个期望子空间内的有用信号功率,即接收端k接收到的期望信号功率,可按式(10)计算:
由于在MIMO干扰信道中,几乎不可能实现残留干扰与期望信号功率的同时最优化[4],因此,正如前文所述,如何在两者之间找到一个最有利于改善系统性能的折中点是本文的重要问题之一,而式(9)中的αk便是解决该问题的关键:αk为的权重系数,用于调节残留干扰与期望信号在代价函数(V,U)中所占的比重,并通过平衡残留干扰与期望信号功率在数量级上的差异来保证(V,U)的非负性。

由于干扰信号对期望信号和噪声的相对强度决定了干扰对系统性能的影响程度,而系统收-发对个数与天线数和发送数据流数之间的关系又决定了对齐干扰的难易程度,因此,采用固定加权值显然不符合实际情况。

本文借鉴最大比合并的思想,将αk定义为一个可随发送功率和收-发对个数变化的自适应权值,其取值方式如下：
式中，分别表示第k个发送端的期望信号发送功率与(K-1)个发送端的平均发送功率,即干扰发送功率;ωk为一可调参数,当,只需用表征和对权值αk的影响,即取
ωk=0;而当时,利用项表征期望信号功率对权值αk的影响,并通过调节ωk的值来实现对权值αk的合理调控,而此时最优αk取值将受收-发对个数、收发天线数、发送功率分配方式等多种因素的影响,其优化取值过程非常复杂,因此,很难通过统一的数学公式对其进行定量描述。

同时,在多收-发对干扰信道系统中,每一个传输信号
都同时扮演着期望信号和干扰信号的双重角色,通常情况下不会通过调整发送功率分配方式来减轻干扰对期望信号的影响,除非特殊场景需要。

基于这一考虑,同时也为了简化数学分析模型,本文仅讨论的情形,即ωk=0;而对于特殊情形,将在后续研究中进行深入探讨。

式(11)中,σ2为噪声功率;a和b分别表示特定场景下,αk的初始值和衰减指数。

通过大量数值仿真,当系统天线数与发送数据流数恒定时,a和b可建模表示为
式中，a0，b0分别为a和b的初始值;ΔK表示收-发对数的变化量;η1，η2分别表示a和b随ΔK的变化速率,根据仿真,选择η1≈0.1,|η2|≈1。

由式(11)得到的可调权值αk使得式(9)中的代价函数,U)可随发送端的信号功率、噪声功率以及系统收-发对个数的变化进行自适应地调节,即(V,U)为自适应代价函数。

由于(V,U)中包含了干扰抑制矩阵集{Uk, k∈K},若沿用文献[8]的思路,用特征值求和取代{Uk, k∈K},并不能保证使得干扰最小的期望子空间与使期望信号最大的期望子空间恰好重叠,也就无法实现(V,U)的最优化。

因此,(V,U)的优化过程必需靠{Uk,
k∈K}的辅助,而根据以往的IA算法设计思路,{Uk, k∈K}只能在接收端获得更新,所以必须联合收发两端才能实现(V,U)的优化。

为了打破这种思维局限,本文将{Uk, k∈K}看作预编码矩阵集V的函数,即(V), k∈K},则{Uk, k∈K}可根据该函数关系由发送端直接求取,既可保证算法在发送端单边实现,又可确保(V,U)的最优求解。

Uk与V的函数关系可以根据实际需求和系统场景灵活设定,但必须与接收端的解码方式一一对应,本文为了尽可能地降低复杂度代价,将其与最为简单的干扰迫零解码对应起来,即
式中，(·)表示矩阵的前dk个最小特征值所对应的特征矢量。

根据该函数关系设计出预编码矩阵后,仅需在接收端采用干扰迫零解码即可。

由式(14)得到的Uk自动满足约束条件。

因此,结合式(9)与式(14),可将包含
2KMkdk个自变量的自适应代价函数转换为包含KMkdk个自变量的自适应复合
代价函数(adaptive composite cost function,ACCF)f(V),即,从而式(9)的IA优化
问题可等价描述为
式(15)定义了一个在欧氏空间Vk∈CMk×dk内有特定约束的优化问题。

为了减小该问题的求解难度,本文首先考虑去掉约束条件,由于对任意酉矩阵G,干扰协方差矩阵Qk都满足:
则利用Qk求得的干扰抑制矩阵{Uk, k∈K}也满足(V),因此,对于代价函数f(V),必然有
即f(V)满足酉不变性,这启发本文引入Grassmann流形简化式(15)给出的优化问题。

Grassmann流形是内嵌在更高维欧氏空间的一个集合,可定义为[12]
显然,满足式(15)的矩阵{Vk, k∈K}也恰好满足Grassmann流形的定义,因此,将式(15)定义的欧氏空间上的约束优化问题重组到Grassmann流形上便可去掉约束条件,转化为无约束问题。

由于Grassmann流形Gr(Mk,dk)的维度为dk(Mk-dk)[13],远低于相应欧氏空间
Vk∈CMk×dk的维度Mkdk,因此,引入Grassmann流形的另一个作用是大大降低了f(V)的解空间维度,从而极大地减小了算法的复杂度。

确定了优化空间,接下来是f(V)的求解问题。

由于式(15)描述的优化问题不存在凹
凸特性,不能通过解析计算直接求解,因此,本文利用经典的梯度下降法[14]来逐步逼近其最优解。

梯度下降法是指代价函数的测试点在其约束集内,沿着其最陡下降沿
方向上的某一轨迹不断移动,直到梯度为零的线性优化方法。

该方法的关键是计算
f(V)的梯度。

由于f(V)是定义在Grassmann流形上的实值函数,根据文献[15],其梯度可按式(19)计算。

式中，(·)*表示矩阵的复共轭操作;∂(·)/∂(·)表示偏导数求取操作。

为方便计算式(19),定义两个运算符和trv(mp)(·)。

其中,表示矩阵列向量化运算
vec(·)的逆运算,即将列矢量lmp×1按列转变成为一个m×p维的矩阵;而运算符trv(mp)(An×mp)表示如下操作:将矩阵An×mp的每一个行矢量
{ai∈C1×mp,i∈[1,n]}按列转变为矩阵{Bi∈Cm×p,i∈[1,n]},再将每一个Bi按行转化为行矢量{bi∈C1×mp,i∈[1,n]},最后将n个bi重组为一个新的矩阵。

如:
根据式(14)可知,{Uk, k∈K}的取值由干扰协方差矩阵{Qk, k∈K}决定,仅与干扰发送端的预编码矩阵{Vi, i≠k；k, i∈K}有关,所以当k≠i时,必有,因此。

所以梯度必须拆分为k=i和k≠i下的两个部分的进行计算,即
由于,因此有
当k=i时,根据矩阵运算公式[16]：
可得
当k≠i时,利用矩阵运算公式[16] :
可得
式中,(·)T表示矩阵的转置;⊗表示矩阵的Krone-cker乘积;
式中，(·)†表示矩阵的Moore-Penrose广义逆矩阵分别表示干扰协方差矩阵Qk 的第r个最小特征值及其所对应的特征矢量。

则k≠i时,有
综上,梯度计算的最终结果为
由于可微函数的值沿其负梯度方向减小速度最快,因此梯度下降法的最陡下降沿方向为
接下来,解决最后一个关键问题,即最优迭代步长的选取。

步长是梯度下降法中的一个重要参数,若取值太小会导致f(V)减小过慢,从而影响算法收敛速率;而取值过大又极有可能错过f(V)的最优解,并且最优的步长值往往会随着迭代进行而不断变化。

因此本文采用具有自适应功能的Armijo步长选择机制[14]。

该机制下,算法可根据f(V)的变化自动选择最合适的步长,具体选择步骤见表1。

文献[14]已证明满足Armijo准则的步长一定存在。

表1中，①由于下降沿方向i在Grassmann流形的切向空间内,使得游离在Grassmann流形之外。

为了确保f(V)的自变量始终保持在Grassmann流形内移动,必须利用空间投影操作将约束回流形。

步骤(3)中的qfp{·}则表示欧氏空间向对应Grassmann流形的投影计算,即
qfp:CMk×dk→Gr(Mk,dk)
其定义及具体计算方法在文献[13]中有详细介绍,此处不再赘述;
②步骤(4)中的〈·〉表示矩阵内积计算。

由于本算法在Grassmann流形上执行,因此满足如下关系[13]:
③步骤(4)中的步长搜索参数ε,β取值为ε=1,β=0.5,步骤(7)中的δ是终止迭代的门限因子,通常取值约为10-4。

总结上述分析,最终得到Grassmann流形上基于ACCF的单边IA算法,其算法流程如表1所示。

由于{αk,k∈K}可以保证f(V)非负并以零为下界,而步骤(4)能保证每次迭代后f(V)都会减小,因此该IA预编码算法必然收敛,但f(V)最终能收敛到一个局部最优点还是全局最优点,至今仍是一个有待研究的开放性问题[8]。

需要指出的是,以上IA预编码算法过程只需在线操作就可实现。

同时,该干扰对齐预编码设计算法与收发两端联合优化的设计机制[3-7]不同,其优化过程由发送端单独完成,从而有效避免了联合优化机制因收发两端的反复交替迭代操作而带来的大量反馈与同步信息开销等问题。

因此,该过程理论上不会对通信效率造成影响。

本节利用Matlab仿真,考察Grassmann流形上基于ACCF的IA预编码算法(为方便图中标识,简称为ACCF算法)的性能。

考虑一含有K个收-发对MIMO干扰系统,每个收-发对分别配置N、M根收发天线,传送d个数据流,设定其所有信道都是独立同分布的瑞利平坦衰落信道,服从零均值单位方差的复高斯分布,下面以(M×N, d)K对该系统进行标识。

首先讨论ACCF算法中的权重系数αk的取值对系统和速率的影响。

图2对比了
(2×2,1)4和(2×2,1)5系统在不同SNR下,归一化平均和速率随αk的变化关系。

为方便比较,本文定义归一化平均和速率的计算式为
式中，sum表示1 000次仿真得到的系统和速率的平均值。

由图2可知,归一化平均和速率随αk的改变有较大变化;且同一系统下,与最大和速率对应的最优权值随SNR的增大而减小;相同SNR下,与最大和速率对应的最优权值随收-发对个数K的增多而减小。

由于SNR越大,干扰对系统性能的影响程度也越大;系统收-发对个数越多,干扰信号也增多,使得对齐干扰的难度随之增大。

因此,应减小αk的取值以提高干扰信号在f(V)中的比重,从而更加有效地抑制干扰信号。

显然,由式(11)给出的αk的自适应取值方式完全遵循了上述变化规律。

进一步,将ACCF算法与经典的Min-IL算法[3]、Max-SINR算法[3]以文献[8]给出的最小干扰强度(minimize interference-strength,Min-IS)算法进行比较分析。

其中，Min-IS算法属于单边IA算法,而Min-IL算法和Max-SINR算法的实现需要收发端的联合优化。

为保证公平性,本文将这4种IA算法在相同环境下进行仿真,即仿真的系统配置、信道系数矩阵、初始预编码矩阵以及迭代次数均相同,并且均取100次仿真的平均值。

图3～图5在分别比较了上述4种IA算法在期望信号保留、干扰抑制和可达和速率方面的性能。

图3与图4分别给出(2×2,1)4系统在不同SNR下,接收期望信号功率相对于期望信号发送功率的值和接收残留干扰功率相对于干扰信号发送功率的值随迭代次数的变化曲线。

从图3可以看出,随着迭代进行,期望信号功率随迭代次数增加而减小,原因在于IA算法在对齐干扰的同时,不可避免地将部分期望信号也对齐到了干扰子空间内,造成期望信号的损失。

图3还显示,相同SNR下,ACCF算法获得的期望信号相对功率高于Min-IL算法和Min-IS算法,低于Max-SINR算法,且ACCF算法在SNR=0 dB时保留期望信号的能力比在SNR=30 dB时更强。

图4表明,Min-IS算法抑制干扰的能力最强,Min-IL算法次之,且两种算法抑制干扰的能力均与SNR无
关;ACCF算法抑制干扰的能力优于Max-SINR算法:Max-SINR算法在高SNR和低SNR下,抑制干扰的能力都比较弱;ACCF算法抑制干扰的能力随SNR的增大而增强,反之亦然。

文献[18]指出,Max-SINR算法并不收敛,即其抑制干扰的能力非常有限,因此,Max-SINR算法虽能较好地保留期望信号,却不能有效地抑制干扰;而本文给出的ACCF算法根据干扰对系统性能的影响特性,合理地调节权值,实现在低SNR下侧重于期望信号的保留,而在高SNR下强调干扰的抑制。

由文献[17]可知,根据(M+N)与(K+1)d的大小关系,可将MIMO干扰系统分为
IA“适合”系统和非“适合”系统,为了考察ACCF算法在这两种系统下和速率性能,图5(a)和图5(b)分别给出非“适合”系统(2×2,1)4 与(2×2,1)5和“适合”系统(3×3,1)4下,上述4种IA算法的平均可达和速率随SNR的变化曲线,仿真结果均为4种IA算法经过10次迭代所得。

观察图5(a)可知，Min-IL算法和Min-IS算法的和速率性能非常接近,均差于ACCF算法,因为ACCF算法不仅同时考虑了干扰信号和期望信号的影响,还考虑了最优权值与发送功率和收-发对个数的关系,较好地改善了系统性能;Max-SINR算法的和速率性能最优,因为除了期望信号与干扰信号,Max-SINR算法还兼顾了噪声的影响。

与图5(a)相比,图5(b)中4种算法的和速率性能对比关系基本保持一致,唯一不同的是,各算法在不同SNR下的可达和速率均大幅度提升,因为对于IA非“适合”系统,抑制干扰和保留期望信号将变得非常困难,也就是说，上述4种算法在IA非“适合”系统下,均不能将干扰完全消除(见图4),残留的干扰信号限制着系统和速率的提升;而在IA“适合”系统下,通过IA算法,很容易将残留干扰逼近为零,从而大幅度提高系统和速率[17]。

尽管图5(a)与图5(b)均显示Max-SINR算法的和速率性能最好,但其仅能作为理论上的极限,难以应用于实际系统,主要原因有3个:一是Max-SINR算法按数据流进行优化且求解过程涉及噪声导致计算复杂度过高;二是算法依赖于信道互易性,需要收发两端的大量反馈与严格同步;三是算法收敛性得不到保证,即不能有效地抑制干
扰。

因此,性能仅次于Max-SINR算法的ACCF算法将会是一个较好的选择。

虽然图2～图4均是针对非“适合”系统的仿真结果,但事实上,仿真表明,上述4种IA算法在“适合”系统下也能得到类似的结果,即ACCF算法的最优权值随SNR 和收-发对个数的变化规律与图2类似;4种IA算法获得的期望信号功率的大小对比关系和残留干扰功率的大小对比关系分别与图3和图4保持一致,区别仅在于,4种IA算法抑制干扰和保留期望信号的能力均大大增强。

本文针对传统单边IA算法在设计灵活性与系统性能上的受限问题,提出一种将干扰抑制矩阵作为中间变量,辅助发送端实现最优预编码的IA设计思想。

该思想将IA 算法的单边设计从预编码矩阵{Vk, k∈K}的独立优化扩展到干扰抑制矩阵{Uk, k∈K}与预编码矩阵{Vk, k∈K}的互助优化;并且不同于联合IA对{Vk, k∈K}和{Uk, k∈K}的对称更新设计,该设计思想下的{Vk, k∈K}和{Uk, k∈K}可以采用两种不同的方式获取,极大地提高IA算法设计的灵活性。

此外,干扰抑制矩阵参与到预编码设计中,有利于干扰抑制和期望信号保留的同时实现,拓宽了系统和速率的提升空间。

利用该思想,本文针对MIMO干扰信道,提出一种Grassmann流形上基于ACCF的单边IA预编码方法。

仿真及理论分析表明,该方法与Min-IS算法相比,有更低的解空间维度、更强的期望信号保留能力和更高的可达和速率;而相比于Min-IL算法和Max-SINR算法,该方法的实现机制更为简单,适用范围更加广泛。