江苏南京联合体2019年初三中考第二次重点试卷-数学

江苏南京联合体2019年初三中考第二次重点试卷-数学
【一】选择题(每题2分，共12分) 1、9的平方根是( ▲ )
A 、3
B 、－3
C 、±3
D 、 3 2、计算(a 2) 3的结果是( ▲ )
A 、a 5
B 、a 6
C 、a 8
D 、a 9
3、以下事件中，必定事件是( ▲ ) A 、没有水分，种子发芽
B 、打开电视，它正在播篮球竞赛
C 、抛掷一枚均匀的硬币，硬币落地后正面朝上
D 、一只不透明的袋中只装有3个白球，从中摸出一个球是白球 4、两圆相交，圆心距为12，那么两圆半径能够是( ▲ )
A 、15，20
B 、 10，30
C 、1，10
D 、 5，7
5、在显微镜下，一种细胞的截面能够近似地看成圆，它的半径约为5×10－７ｍ， 假设π ≈3.14，那么这种细胞的截面面积用科学记数法表示大约是( ▲ ) A 、78.5×10－14ｍ B 、7. 85×10－14ｍ C 、7. 85×10－13ｍ D 、0.785×10－12
ｍ
6、如图，矩形纸片ABCD 中，AD ＝3cm ，点E 在BC 上， 将纸片沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点F 处，且 ∠AEF ＝∠CEF ，那么AB 的长是( ▲ )
A 、1 cm
B 、 3 cm
C 、2 cm
D 、 5 cm
【二】填空题(每题2分，共20分) 7、－2的倒数是___▲___、
9、如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB 、AC 的中点，假设DE ＝4，那么BC ＝___▲___、
(第9题图)(第10题图)(第11题图)
10、如图，□ABCD 中，A (－3，0)，B (1，0)，D (0，2)，那么点C 的坐标是___▲___、 11、如图，正六边形中，∠α＝___▲___°、
12、利民公司2017年的利润是10万元，依据右边的统计
图，可知该公司2017年的利润是___▲___万元、 13、当x 为实数时，代数式x 2－2x －3的
最小值是___▲___、
14、不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧ 3x ≥－3，
x ＋22 ＞x 的整数解是___▲___、
15、如图，把等腰直角三角形ABC 沿直线BC 方向向右平移到△DEF 的位置，AC 交DE 于点O ，
连接AD ，假如AB ＝2 2 ，BF ＝6，那么△AOD 的面积为___▲___、
(第15题图)(第16题图)
16、如图，菱形ABCD 的边长是13，点O 是两条对角线的交点，且OB ＝12、约定：三角形三
边上的任意一点到圆上的任意一点距离的最小值叫做三角形与圆的距离、依据那个约定，可知当⊙C 的半径是
___▲___时，△ABD 与⊙C 的距离为3、 【三】解答题(共88分)
17、(6分)先化简，再求值：(2x ＋2 ＋x －2)•1
x 2
－2 ，其中x ＝ 3 －2、
18、(6分)如图，点A (－1，0)为二次函数y ＝1
2 x 2＋bx －2的图象与x 轴的一个交点、
(1)求该二次函数的表达式，并说明当x ＞0时，y 值随x 值变化而变化的情况； (2)将该二次函数图象沿x 轴向右平移1个单位，请直截了当写出平移后的图象与x 轴的交点坐标、
19、(6分)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点O 在∠BAC 的平分线上，假如直线AB 与⊙O 相切，
切点为B ，试判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并说明你的理由、
20、(7分)如图，等边三角形ABC 的边长为5，点P 在边AC 上，且AP ＝2，点D 在直线BC
上，且PD ＝PB ，作AE ∥BC ，交BP 于点E 、请你求出AE
CD 的值、
A
B
C
D
P
E
21、(7分)某旅游商店共有单价分别为10元、30元和50元的三种绢扇出售，该商店统计了
2018年4月份这三种绢扇的销售情况，并绘制统计图如下：
图①图②
请解决以下问题：
(1)计算4月份销售了多少把单价为50元的绢扇，并在图②中把条形统计图补充完整； (2)该商店所销售的这些绢扇的平均价格是多少呢？小亮认为：那个平均价格为1
3 (10＋30＋50)＝30(元)，你认为小亮的计算方法正确吗?如不正确，请你计算出那个平均价格、
22、(7分)如下图的地面被分成8个全等的三角形区域，其中，标有字母a 、b 、c 、d 的4
个三角形区域基本上空地，另外4个三角形区域基本上草坪、
(1)一只自由飞行的小鸟，将随意地落在如下图的地面上，求小鸟
落在草坪上的概率；
(2)现预备从如下图的4块空地中任意选取两块种花，请你计算标
有字母a 、b 的两块空地种花的概率(用树状图或列表法求解)、
23、(7分)反比例函数y 1＝k
x 图象上的一些点的坐标如下表所示：
(1)那个反比例函数的表达式是；
(2)一次函数的表达式是y 2＝mx －1(其中，m 是常数，且m ≠0)、 ①求证：不论m 为何值，该一次函数的图象都通过一个定点；
②一次函数的图象与反比例函数图象交于点(－6，1)和点(3，－2)，请你直截了当写出使式子
k
x ＞mx －1成立的x 的取值范围、
24、(7分)如图，小明打算测量旗杆AH 的高度，他首先在教学楼四楼的点B 处测得旗杆顶
端A 的仰角为15°，然后在三楼的点D 处测得A 的仰角为37°、每层楼的高度为3.2m(例如BD ＝3.2m)，请关心小明求出旗杆AH 的高度(精确到0.1m)、(参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin37°≈0.60，
cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
25、(7分)端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽
子，卖出1只粽子的利润是1元、经调查发明，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子、为了使每天猎取的利润更多，该店决定把零售单价下降m (0＜m ＜1)元、
(1)零售单价下降m 元后，该店平均每天可卖出___▲___只粽子，利润为___▲___元、
(2)在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使该店每天猎取的利润是420元同时卖出的粽子更多？
26、(8分)小明的爸爸骑自行车从家动身，沿一条直路到相距2400m的风景区送货，他动身
的同时，小明以80m/min速度从风景区沿同一条道路步行回家，设他们动身后通过t min 时，小明的爸爸与家之间的距离为s1m，小明与家之间的距离为s2m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间函数关系的图象、
(1)求s2与t之间的函数关系式；
(2)小明的爸爸在风景区停留2min后沿原路返回，并计划比小明早6min到家为小明预
备洗澡水，请你关心小明的爸爸确定返回时的骑车速度，并计算距离家还有多远时小明的爸爸在返回途中追上小明、
27、(9分)，直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，BC＝6、
(1)如图1，动点P从点E动身，沿直线DE方向向右运动，那么当EP＝___▲___时，四
边形BCDP是矩形；
(2)将点B绕点E逆时针旋转、
①如图2，旋转到点F处，连接AF、BF、EF、设∠BEF＝α°，求证：△ABF是直角三
角形；
②如图3，旋转到点G处，连接DG、EG、∠BEG＝90°，求△DEG的面积、
图1图2图3
28、(11分) 情境一
我们明白：顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角、
我们还明白：①圆心角的度数等于与它所对的弧的度数，②同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半、由此，小明得到一个正．确．的结论：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半、如图1，∠LMN ＝12 LN ⌒ 、
问题1填空：如图1，假如LN ⌒ 的度数是80，那么∠LMN 的度数
是___▲___、
图1
情境二
小明把顶点在圆外，同时两边都和圆相交的角叫圆外角，并接着探究、 如图2，∵∠PTQ 是△OPT 的一个外角， ∴∠PTQ ＝∠O ＋∠P 、 ∴∠O ＝∠PTQ －∠P 、
∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半(已在情境一中 证明)，
∴∠PTQ ＝12 PQ ⌒ ，∠P ＝12 RT ⌒ 、
∴∠O ＝∠PTQ －∠P ＝12 PQ ⌒ －12 RT ⌒ ＝12 (PQ ⌒ －RT
⌒ )、 图2
经历了上述探究、证明过程，小明发明了“圆外角的度数等于它所夹的较大弧的度数减
去较小弧的度数所得差的一半”那个正确结论、
问题2填空：如图2，假如PQ ⌒ ＝80°，RT
⌒ ＝20°，那么∠O ＝___▲___°、 问题3类比情境二的内容，请你就角的顶点在圆内的情况进行探究、写出你的发明，并证明
你的结论、
备用图
T
R
Q
P
O
N
M
L
参考答案与评分标准
【一】选择题(每题2分，共12分) 1、C 2、B 3、D 4、A 5、C 6、B
【二】填空题(每题2分，共20分)
7、－1
2 8、假9、810、(4，2)11、6012、14.413、－414、－1，0，115、116、2或16 【三】解答题(共88分)
17、原式＝(x －2) (x ＋2)＋2x ＋2
•1
x 2
－2 ……2分 ＝x 2－4＋2x ＋2 •1x 2－2 ＝1
x ＋2 ……4分
当x ＝ 3 －2时，原式＝1
3 －2＋2 ＝1
3 ＝ 3
3 、……6分 18、(1)∵点A (－1，0)在抛物线y ＝1
2 x 2＋bx －2上，
∴12 ×(－1)2
＋b ×(－1)–2＝0，解得b ＝－3
2 、……1分
∴抛物线的解析式为y ＝12 x 2
－3
2 x －2、……2分
∴抛物线的对称轴为过点(3
2 ，0)与y 轴平行的直线，
∴当0＜x ≤32 时，y 值随x 值增大而减小；当x ＞3
2 时，y 值随x 值增大而增大、……4分
(2)∵原抛物线与x 轴的交点坐标分别为(－1，0)，(4，0)， ∴平移后的图象与x 轴的交点坐标分别为(0，0)，(5，0)、……6分(不写理由不扣分)
19、直线AC 与⊙O 相切、………………1分
解：连接OC 、
∵直线AB 与⊙O 相切，∴∠ABO ＝90°、………………2分 在△ABO 和△ACO 中，
∵点O 在∠BAC 的平分线上， ∴∠BAO ＝∠CAO 、 又∵AB ＝AC ，AO ＝AO 、
∴△BAO ≌△CAO 、………………4分
∴OB ＝OC ，∠ACO ＝∠ABO ＝90°，∴AC ⊥OC 、…………5分 法一：
∵直线AC 过⊙O 半径OC 的外端点C ，………………6分 ∴直线AC 与⊙O 相切、 法二：
∴圆心O 到直线AC 的距离是OC 、 又∵OC ＝OB ，………………6分 ∴直线AC 与⊙O 相切、
20、∵等边三角形ABC ，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°、
∵AE ∥BC ，∴∠BAE ＝120°、……1分 ∵∠ACB ＝60°，∴∠PCD ＝120°、 ∴∠PCD ＝∠BAE 、……2分
∵PB ＝PD ，∴∠PBD ＝∠D 、……3分
∵AE ∥BC ，∴∠E ＝∠EBD 、∴∠E ＝∠D 、……4分 ∴△BEA ∽△PDC 、……5分
∴AB CP ＝AE
CD 、……6分
∵AC ＝5，AP ＝2，∴CP ＝3、又∵AB ＝5，∴AE CD ＝AB CP ＝5
3 、……7分
21、(1)180÷30%＝600，……1分
600×15%＝90；……2分 如图：……4分
(2)小亮的计算方法不正确、……5分 正确计算为：
10×30%＋30×55%＋50×15%＝27(元)、……7分 22、(1)小鸟落在草坪上的概率为1
2 ；………2分 (2)列表如下(树状图解法略)
依据列表，从4块空地中选取两块，共有12种结果，且每种结果基本上等可能出现的，其中选取标有字母a 、b 的两块空地共有2种结果，……………6分
∴P ＝1
6 、……………………7分 23、(1)y 1＝－6
x ；……2分
(2)①把x ＝0代入y 2＝mx －1，得y 2＝0、……4分
∴不论m 为何值，该一次函数的图象都经 过定点(0，－1)；……5分
②(考察图形可得)－6＜x ＜0，或x ＞3、 (7)
分
24、过点B 作AH 的垂线，垂足为点C ，过点D 作AH 的垂线，垂足为点E ，易得BC ＝DE 、
由题意可得∠ABC ＝15°，∠ADE ＝37°、……1分
在Rt △ABC 中，∠ABC ＝15°，∴AC ＝BC ×tan15°，∴BC ＝AC ÷tan15°、……2分 类似地，在Rt △ADE 中，可得DE ＝AE ÷tan37°、……3分
∵BC ＝DE ，∴AC ÷tan15°＝AE ÷tan37°，∴AC ÷0.27≈AE ÷0.75、……4分 ∵AE ＝AC ＋3.2，∴AC ÷0.27≈(AC ＋3.2)÷0.75、……5分 解得AC ≈1.8、……6分 1.8＋9.6＝11.4、……7分
答：旗杆AH 的高度约为11.4m 、
25、(1)300＋100×m
0.1，(1－m )(300＋100×m
0.1)、……2分
(2)令(1－m )(300＋100×m
0.1)＝420、……3分
化简得，100m 2－70m ＋12＝0、……4分 即，m 2－0.7m ＋0.12＝0、 解得m ＝0.4或0.3、……5分
可得，当m ＝0.4时卖出的粽子更多、……6分 答：当m 定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子猎取的利润是420元同时卖出的粽子更多、…7分
26、(1)t ＝2400÷80＝30(min)、……1分
设s 2＝kt ＋b ，将(0，2400)和(30，0)代入得 ⎩⎨
⎧b ＝2400，30k ＋b ＝0．……2分
解得⎩⎨⎧b ＝2400，k ＝－80．
∴s 2＝－80t ＋2400；……3分 (2)30－14－6＝10、
2400÷10＝240m /min 、……4分 由题意得点D 坐标为(24，0)、
设直线BD 的函数关系式为：s 1＝pt ＋q ，其中，14≤t ≤24、
由⎩⎨
⎧14p ＋q ＝2400，24p ＋q ＝0．解得⎩⎨⎧p ＝－240，q ＝5760．
∴当14≤t ≤24时，s 1＝－240t ＋5760、……6分
由－80t ＋2400＝－240t ＋5760解得：t ＝21、……7分 当t ＝21时，s 2＝720、……8分
答：小明的爸爸返回时的骑车速度应为240m /min ，距离家还有720m 时小明的爸爸在返回途中追上小明、
27、(1)3；………………1分
(2)
①∵点E 是边AB 的中点，∴AE ＝BE 、
由题意可得，BE ＝EF 、∴BE ＝EF ＝AE 、………………2分
在△BEF 中，∠BEF ＝α°，可得∠EBF ＝∠BFE ＝90°－1
2α°、
在△AEF 中，可得∠EAF ＝∠AFE ＝1
2α°、………………4分
∴∠BFE ＋∠AFE ＝90°－12α°＋1
2α°＝90°、 ∴△ABF 是直角三角形；………………5分
②解法一如图4，将点D 绕点E 顺时针旋转90°，到达点H ，连接EH 、BH 、
图4图5图6
可证明△DEG ≌△HEB 、………………7分
求得△HEB 的面积为92，∴△DEG 的面积为9
2、………………9分
解法二如图5，过点E 作边BC 的垂线，垂足为点K ，过点G 作直线EK 的垂线，垂足为点H 、
可证明△EHG ≌△BKE 、………………7分 ∴EH ＝BK ＝3、
∴△DEG 的面积为9
2、………………9分
解法三如图6，过点E 作边BC 的垂线，垂足为点K ，过点G 作直线DE 的垂线，垂足为点M 、 可证明△GME ≌△BKE 、………………7分
∴GM ＝BK ＝3、 ∴△DEG 的面积为9
2、………………9分 28、
问题140、………………2分
问题230、………………4分 问题3顶点在圆内的角叫圆内角、(圆内角的名称能够用其他名称替代)………………5分
圆内角的度数等于它和它的对顶角所对两弧的度数和的一半、………………7分 证明：如图，延长BA ，交圆于点D ，延长CA ，交圆于点E ，连接CD 、 ∵∠BAC 是△ACD 的一个外角， ∴∠BAC ＝∠C ＋∠D 、……9分
∵圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半(已在情境一中证明)，
∴∠C ＝12 DE ⌒ ，∠D ＝12 BC
⌒ 、 ∴∠BAC ＝∠C ＋∠D ＝12 DE ⌒ ＋12 BC ⌒ ＝1
2 (DE ⌒ ＋BC
⌒ )、……11分 ∴命题成立、
C
B
A
D
E。