高中数学 8.1正弦定理活页训练 湘教版必修4

第8章 解三角形
8.1 正弦定理
双基达标 (限时20分钟)
1．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 若c ＝2，b ＝6，B ＝120°.则a 等于 ( )．
A. 6 B ．2 C. 3 D. 2
解析 由正弦定理得6sin 120°＝2sin C
，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°， ∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝2，故选D.
答案 D
2．在△ABC 中，已知a ＝52，c ＝10，A ＝30°，则B ＝
( )．
A ．105°
B ．60°
C ．15°
D ．15°或105° 解析 由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝csin A a ＝22
，a>csin A ，∴C ＝45° 或135°，故B ＝105°或15°，故选D.
答案 D
3．在△ABC 中，a ＝2，b ＝2，A ＝45°，此三角形的解的情况是 ( )．
A ．无解
B ．一解
C ．两解
D ．不定
解析 ∵a ＝b ，∴B ＝A ＝45°，因此该三角形只有一解．
答案 B
4．在△ABC 中，若sin A ∶sinB ∶sin C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝________． 答案 1∶2∶3
5．在△ABC 中，已知a ＝8，b ＝6，且S △ABC ＝123，则C ＝______.
解析 ∵S △ABC ＝12ab sin C ＝123，sin C ＝32，∴C ＝π3或2π3
. 答案 π3或2π3
6．在△ABC 中，b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求角A.
解 由正弦定理，得b ＝2Rsin B ，a ＝2Rsin A ，∵b ＝2a ，
∴sin B ＝2sin A.
又B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，
即－32sin A ＋32
cos A ＝0，∴sin(A －30°)＝0，∴A ＝30°. 综合提高 限时25分钟
7．已知△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a ，b ，c ，若a ＝
52b ，A ＝2B ，则cos B ＝
( )． A.53 B.54 C.55
D.56 解析 由题设和正弦定理得a b ＝52＝sin A sin B
＝2cos B ，
∴cos B ＝5
4，故选B.
答案 B
8．不解三角形，确定下列判断中正确的是 ( )．
A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有两解
B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解
C ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解
D ．b ＝9，c ＝10，B ＝60°，无解
解析 A ．a ＝bsin A 一解，B.A>90°，a>b 一解，C.a<bsin A 无解，D.c>b>csin B 两解
答案 B
9. 在△ABC 中，c ＋b ＝12，A ＝60°，B ＝30°，则c ＝________，b ＝__________． 解析 由正弦定理知sin B b ＝sin C c ，即b ＝1
2c ；又b ＋c ＝12；解得b ＝4，c ＝8.
答案 8 4
10．在△ABC 中，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________． 解析 由正弦定理得AC
sin B ＝AB
sin C ，sin C ＝ABsin B
AC ＝3
2.∵AB>AC ，∴C ＝60°
或120°.
当C ＝60°时，S △ABC ＝1
2AC ·ABsin A ＝1
2×2×23sin 90°＝23；
当C ＝120°时，S △ABC ＝1
2AC ·ABsin A ＝1
2×2×23sin 30°＝ 3.
答案 23或 3
11．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，且cos B
cos C ＝
－b 2a ＋c ，求角B 的大小．
解 ∵cos B cos C ＝－b 2a ＋c ， 由正弦定理，可得cos B cos C ＝－sin B 2sin A ＋sin C ，
即2cos Bsin A ＋cos Bsin C ＝－cos Csin B ，
即2cos Bsin A ＋(cos Csin B ＋cos Bsin C)＝0，
2cos Bsin A ＋sin(B ＋C)＝0，
2cos Bsin A ＋sin A ＝0，
∵sin A ≠0，故cos B ＝－1
2.
∴B ＝2π
3.
12．(创新拓展)在△ABC 中，c ＝22，a>b ，C ＝π4
，且有tan A ·tan B ＝6，试求a ，b 及此时三角形的面积．
解 ∵tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B)(1－tan Atan B)＝
－tan C ·(1－tan Atan B)＝－tan π4(1－6)＝5，
又∵tan A ·tan B ＝6且a>b ，则tan A>tan B ，
∴tan A ＝3，tan B ＝2，又可知0<A 、B<π2，
∴sin A ＝3
1010，sin B ＝2
5 5.由正弦定理得
b ＝csin B sin C ＝22
22
×255＝855，
a ＝csin A sin C ＝2222
×31010＝6
510，
∴S △ABC ＝12absin C ＝24
5。