旋转体体积公式

旋转体体积公式
⼀、公式的发现
个⼈06年~07年独⽴提出问题并总结的旋转体体积公式（前⼈也给出过）：
V=2π·G·S
其中2π表⽰旋转⼀整周，G为旋转的⼆维平⾯的重⼼到旋转轴的距离（需要把所有⾯积归算到旋转轴的同⼀侧），S为旋转的⼆维平⾯的⾯积（同G的要求）。

⼆、公式的拓展
个⼈还对这个公式做了⼀些拓展，⽅便应⽤和记忆。

（⼀）旋转任意⾓度：
V=α·G·S
其中α为旋转的弧度（超过2π则按照2π计算）
（⼆）⼀维到⼆维的旋转
S=α·G·L
其中需要旋转轴变成了⼀个点，旋转的对象变成了⼀维曲线，需要将以为曲线全部投影到径向的长度L（指向旋转点），G为L的重⼼。

（三）0维到⼀维的旋转
这种情况下，旋转对象和旋转轴全都是⼀个点，G就是作为旋转对象的点到旋转点的距离。

L=α·G
（四）三维到四维的旋转
会不会就是α·G·V呢？这有点难以想象。

三、公式的应⽤
圆环的体积
⼆维的圆形围绕垂直于平⾯的轴旋转360°即为3D圆环（类似于⼿镯），可以直接套公式2π·G·S就可以得到体积。

四、公式的⼏何证明
任何形状都可以被不同⼤⼩形状的三⾓形完全填满，任何三⾓形⼜可以被直⾓三⾓形填充。

在直⾓三⾓形围绕旋转轴旋转成体问题中，直⾓三⾓形和旋转轴可以分为三种情况，⼀条边与旋转轴重合，⼀个点在旋转轴上，以及完全分离。

⽽⼀条斜边与旋转轴重合的情况，可以分解成两个直⾓三⾓形的直⾓边与旋转轴重合，其他两种情况都可以转化成加法或者减法，变成直⾓边与旋转轴重合的情况（具体过程就没记了）。

因此只需要证明这⼀种情况，整个问题就被证明了。

以上情况旋转360°变成了圆锥，体积公式：
V=1/3·π·r^2·h=2π·1/3 r·1/2 rh=2π·G·S
当然，这种证明⽅法有问题，需要先有重⼼的性质和圆锥体积公式（圆锥体积实际可以绕过）。

常见的是积分⽅法，⽹上都有。