2014年六年级数学思维训练：数论综合一

2014年六年级数学思维训练：数论综合一
一、兴趣篇
1．如果某整数同时具备如下3条性质:
①这个数与1的差是质数；
②这个数除以2所得的商也是质数;
③这个数除以9所得的余数是5．
那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．
2．一个五位数8□25□，空格中的数未知，请问：
（1）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？
（2)如果该数能被55整除，这个五位数是多少？
3．在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有个．4．一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如,按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数．原来的三位数是多少？5．26460的所有约数中,6的倍数有多少个？与6互质的有多少个？
6．一个自然数N共有9个约数，而N﹣1恰有8个约数，满足条件的自然数中,最小的和第二小的分别是多少？
7．一个自然数,它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是．8．有一个算式6×5×4×3×2×l．小明在上式中把一些“×”换成“÷"，计算结果还是自然数,那么这个自然数最小是多少？
9．一个两位数分别除以7、8、9，所得余数的和为20．问：这个两位数是多少？
10．信息在战争中是非常重要的,它常以密文的方式传送．对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用．有一天我军截获了敌军的一串密文：A3788421C,字母表示还没有被破译出来的数字．如果知道密码满足如下条件：
①密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；
②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数;
③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数．
你能破解此密文吗？
二、解答题（共12小题,满分0分)
11．已知×是495的倍数,其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：三位数是多少？
12．11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少?
13．有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×l．小明在上式中把一些“×"换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？
14．有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是1号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除"，3号接着说：“这个数能被3整除”…依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的)说得不对，其余同学都对．问：
（1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？
（2）如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？
15．有2008盏灯，分别对应编号为1至2008的2008个开关．现在有1至2008的2008个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍）,第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数．依此做下去，第2008个人按的开关的编号是2008的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的，那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？
16．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米,黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔米设有一个陷井,当它们之中有一个掉进陷井时，
另一个跳了多少米？
17．一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数．请问：这个偶数是多少?
18．一个合数，其最大的两个约数之和为1164．求所有满足要求的合数．
19．已知a与b是两个正整数,且a＞b．请问：
（1）如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？
(2)如果它们的最小公倍数是120,那么这两个正整数有多少种情况？
20．已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350．满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组？
21．已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5,除以6的余数之和是5，除以7的余数之和是1．求这两个两位数．
22．在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，如图．小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步,也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔．你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？
三、解答题（共8小题，满分0分）
23．有6个互不相同且不为0的自然数,其中任意5个数的和都是7的倍数，任意4个数的和都是6的倍数．请问：这6个数的和最小是多少？
24．设N=301×302×…×2005×2006,请问:
（1)N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？
(2)用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12？
25．老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数，这个四位数是5的倍数．贝贝计算出它与5！的最小公倍数，晶晶计算出它与10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍．锖问：这个四位数是多少？
26．一个正整数,它分别加上75和48以后都不是120的倍数，但这两个和的乘积却能被120整除．这个正整数最小是多少？
27．a、b、c是三个非零自然数．a和b的最小公倍数是300，c和a、c和b的最大公约数都是20，且a＞b＞c．请问：满足条件的a、b、c共有多少组?
28．有一类三位数,它们除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同（可以含0）．这样的三位数中最小的三个是多少？
29．有一个自然数除以15、17、19所得到的商与余数之和都相等,并且商和余数都大于1,那么这个自然数是多少？
30．有4个互不相同的三位数,它们的首位数字相同,并且它们的和能被它们之中的3个数整除,请写出这4个数．
2014年六年级数学思维训练：数论综合一
参考答案与试题解析
一、兴趣篇
1．如果某整数同时具备如下3条性质:
①这个数与1的差是质数；
②这个数除以2所得的商也是质数；
③这个数除以9所得的余数是5．
那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．
【分析】先找出满足(3）的这个数除以9的余数是5，即找出小于100的9的倍数减去5即可,然后再从(3)中找出满足（1）的即这个数与1的差是质数,最后在从满足（1）的数中找出满足（2）的这个数除以2所得的商也是质数，据此解答．
【解答】解：100以内9的倍数有：9、18、27、36、45、54、63、72、80、81、90、99，满足（3）这个数除以9的余数是5：14、23、32、41、50、59、68、77、86、95
满足（1)这个数与1的差是质数：14、32、68
满足（2）这个数除以2所得的商也是质数：14
答：这个幸运数是14．
2．一个五位数8□25□,空格中的数未知,请问：
（1）如果该数能被72整除，这个五位数是多少？
（2)如果该数能被55整除，这个五位数是多少？
【分析】(1）因为72=8×9,根据被8或9整除数的特征分析探讨得出答案即可；
（2)因为55=5×11，根据被8或9整除数的特征分析探讨得出答案即可．
【解答】解:（1）因为72=8×9，
所以8+□+2+5+□=15+2×□能被9整除,符合条件的只有6，而256恰好能被8整除,
所以这个五位数为86256．
（2）因为55=5×11,
所以能被5整除,末尾只能是5和0，8+□+2﹣(5+□）=5+□﹣□能被11整除，
当末尾是5时，没有答案；
当末尾是0时，
这个五位数为85250．
3．在小于5000的自然数中，能被11整除,并且数字和为13的数,共有18个．
【分析】能被11整除的数的性质:把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0）,那么,原来这个数就一定能被11整除．
结合题意，只有两种情况：①奇数位数字和=12,偶数位数字和=1．②奇数位数字和=1，偶数位数字和=12．
【解答】解：①奇数位数字和=12，偶数位数字和=1，为3190,3091，4180，4081共4种可能．
②奇数位数字和=1，偶数位数字和=12．为1309，1408，1507,1606，1705，1804，1903；319,418,517，616,715，814，913共14种可能．
共4+14=18种．
故答案为：18．
4．一个各位数字均不为0的三位数能被8整除，将其百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数（例如，按此方法由247将得到47、27、24）．已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数,还有一个是7的倍数．原来的三位数是多少?
【分析】设这个三位数的百位数为a，十位数字为b，个位数字为c，根据被8整除数的特征和被5、6、7整除的数的特征分析探讨得出答案即可．
【解答】解:设这个三位数的百位数为a，十位数字为b，个位数字为c，
因为三位数能被8整除，所以c为非0偶数，三个两位数中ab，bc，ac中bc与ac均为以c 结尾的数字，而c为非0偶数,所以能是5的倍数的就只能是ab了，所以b=5，
因为三位数能被8整除，所以设100a+10×5+c=8k（k为整数）,得C+50=4（25a+2k）为4的倍数,所以c只能为2或6，当c=2时，bc=52既不是6的倍数也不是7的倍数，
所以c=6，bc=56是7的倍数,所以ac是6的倍数，所以a是6,
所以原来的三位数是656．
5．26460的所有约数中，6的倍数有多少个?与6互质的有多少个?
【分析】首先将26460分解质因数，再进一步根据约数和的计算方法，找出含有6的质因数和不含6的质因数的数的个数即可．
【解答】解：26460=22×33×5×72，
26460所有约数中6的倍数的数,即求26460÷6=4410的所有约数
4410=2×32×5×72，
故约数个数为（1+1)（2+1）（1+1）(2+1）=36个,
也就是6的倍数有36个;
与6互质,即约数中不含质因子2和3
即所求为5×72=245的所有约数,
故与6互质的有(1+1)(2+1)=6个,
也就是与6互质的有6个．
6．一个自然数N共有9个约数，而N﹣1恰有8个约数，满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？
【分析】因为9=3×3=9×1,所以可以把N看做只有一个质因数或两个质因数，进一步从最小的质因数考虑，逐步探讨得出答案即可．
【解答】解：根据约数个数公式可知：
①当N=a n，即N只有一个质因数时，
n+1=9，所以n=8,
这样最小的N=28=256,
N﹣1=255=3×5×17，
恰好有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8个约数，符合题意;
②当N=a n×b m，即N有两个质因数时，
（n+1）（m+1)=9，
所以n=m=2，
这样最小的N=22×32=36,N﹣1=35=5×7有(1+1）×（1+1）=4个约数,不符合题意；
第二小的N=22×52=100，N﹣1=99=32×11有(2+1）×(1+1）=6个约数，符合题意；
第三小的N=22×72=196，N﹣1=195=3×5×13有（1+1）×(1+1）×（1+1）=8个约数，符合题意；
综上所述，最小的N是196，第二小的是256．
7．一个自然数,它的最大的约数和次大的约数的和是111，这个自然数是74．
【分析】因为111是奇数，而奇数=奇数+偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶．而一个数的最大约数是其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数，而一个偶数的
次大约数应为这个偶数的，设这个次大约数为a，则最大约数为2a，由此得出方程：
a+2a=111，求得a，进而得出这个自然数．
【解答】解:因为111是奇数，而奇数=奇数+偶数，所以所求数的最大约数与次大约数必为一奇一偶．而一个数的最大约数是其自身，而一个数如有偶约数此数必为偶数,而一个偶数
的次大约数应为这个偶数的，
设这个次大约数为a，则最大约数为2a，则：
a+2a=111
a=37,
2a=74，即所求数为74．
故答案为：74．
8．有一个算式6×5×4×3×2×l．小明在上式中把一些“×”换成“÷”，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？
【分析】要使最后的结果还是自然数，可把6、4分解质因数,再根据分解质因数的情况来确定把多少个乘号换成除号．据此解答．
【解答】解：6×5×4×3×2×l
=（3×2）×5×(2×2)×3×2×1
=（3×2）×5×4×(3×2）×1
6×5÷4÷3×2×1=5
答:这个自然数最小是5．
9．一个两位数分别除以7、8、9，所得余数的和为20．问：这个两位数是多少？
【分析】根据除数大于余数得出余数的具体取值范围,确定余数可能是：(1）5、7、8；（2)6、6、8;（3）6、7、7；再分情况分析即可．
【解答】解：因为余数比除数小，
所以除以7所得余数可能是1、2、3、4、5、6;
除以8所得余数可能是1、2、3、4、5、6、7；
除以9所得余数可能是1、2、3、4、5、6、7、8；
又因为余数的和是20，
所以余数可能是：（1）5、7、8；(2）6、6、8；(3）6、7、7；
即这个两位数除以7,8，9的余数有3种情况：
（1)除以7余5，除以8余7，除以9余8,即加1是8，9的倍数，即8×9=72，
72﹣1=71，但除以7余1，71不符合题意；
(2）除以7余6，除以8余6,除以9余8，即加1是7，9的倍数,即7×9=63，
63﹣1=62，除以8余6，62符合题意；
（3）除以7余6，除以8余7，除以9余7，即加1是7，8的倍数，即7×8=56，
56﹣1=55，但除以9余1,所以55不符合题意．
答:这个数是62．
10．信息在战争中是非常重要的,它常以密文的方式传送．对方能获取密文却很难知道破译密文的密码，这样就达到保密的作用．有一天我军截获了敌军的一串密文：A3788421C，字母表示还没有被破译出来的数字．如果知道密码满足如下条件：
①密文由三个三位数连在一起组成，每个三位数的三个数字互不相同；
②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数；
③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数．
你能破解此密文吗？
【分析】把A37，8B4，21C分别除以12，余数只能为2，3，5，7，11，然后根据密码满足的三个条件进行推理即可．
【解答】解：把A37,8B4，21C分别除以12,余数只能为2，3,5，7,11．
8B4为偶数，余数也只能为偶数，所以8B4除以12余2，B只能为5．
A37的余数只能从3，5,7，11中选，12=3×4，如果只考虑4的话，那么A=1或4（3不用考虑）．
21C的余数只能从3,7，11中选,分别带入（21C﹣3）÷12、（21C﹣7）÷12、(21C﹣11）÷12，那么C=9、1或5．
因为每个三位数的三个数字互不相同,又因为三个三位数除以12所得的余数是三个互不相同的质数所以C只能为9．
最后，因为三个字母表示的数字互不相同而且不全是奇数，所以A只能为4．
所以密文为:437854219．
二、解答题(共12小题，满分0分）
11．已知×是495的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问:三位数是多少？
【分析】由×是495的倍数,可知c一定为5，不可能为0;三位数成三位数，积最小应是6位数，进而推得a、b的值，解决问题．
【解答】解:由以上分析可得：
a=8，b=6,c=5
387×605=234135
234135÷495=473
abc=865
答：三位数是865．
12．11个连续两位数乘积的末4位都是0，那么这11个数的总和最小是多少？
【分析】连续两位数乘积的末4位都是0，因10000=2×2×2×2×5×5×5×5，也就是说这11个数里要含有4个因数5,但是连续11个数有最多只能有3个数是5的倍数，所以其中一个数是25的倍数，要求11个数总和最小,要把25放在最后1个数这样这11个数是15，16，17，18，19,20，21，22，23，24,25．据此解答．
【解答】解：要使11个连续两位数乘积的末4位都是0，则这11个数里要有4个因数5，要使这11个数的和最小,则满足条件的最大两位数是25．所以和最小是：
15+16+17+18+19+20+21+22+23+24+25
=（15+25）×11÷2
=40×11÷2
=220
答:这11个数的总和最小是220．
13．有一个算式9×8×7×6×5×4×3×2×l．小明在上式中把一些“×”换成“÷"，计算结果还是自然数，那么这个自然数最小是多少？
【分析】要使最后的结果还是自然数，可把9、8、6分解质因数，再根据分解质因数的情况来确定把多少个乘号换成除号．据此解答．
【解答】解：9×8×7×6×5×4×3×2×l
=（3×3）×（2×2×2)×7×（3×2）×5×（2×2）×3×2×1
=(3×3×2×2×2）×7×5×(3×2×2×2×3）×2×1
9×8×7÷6×5÷4÷3×2×1=70
答：这个自然数最小是70．
14．有15位同学，每位同学都有个编号，他们的编号是1号到15号．1号同学写了一个自然数,2号说：“这个数能被2整除”,3号接着说：“这个数能被3整除”…依此下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号一一作了验证：只有两个同学（他们的编号是连续的）说得不对,其余同学都对．问：
（1）说的不对的两位同学他们的编号是哪两个连续的自然数？
（2）如果1号同学写的自然数是一个五位数，那么这个自然数为多少？
【分析】（1）首先可以判定编号是2、3、4、5、6、7号的同学说的一定都对．不然，其中说得不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对．这个数能同时被2、5，3，4和2、7整除，则一定能被10、12、14整除，从而编号为10、12、14的同学说得对．由“两个连续编号的同学说得错“知，11,13，15号也说得对．因此,说的不对的两个同学的编号是8和9．
(2）这个数是2、3、4、5、6、7、10、11、12、13、14、15的公倍数，因为[2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15］=60060．因为60060是一个五位数,而上述12个数的其它公倍数不是五位数，所以1号同学写的数就是60060．
【解答】解：（1）根据2号～15号同学所述结论，将合数4，6，(15分）解质因数后，由1号同学验证结果，进行分析推理得出问题的结论．
4=22，6=2×3，8=23，9=32,10=2×5,12=22×3，14=2×7，15=3×5．
由此不难断定说得不对的两个同学的编号是8与9两个连续自然数（可逐次排除，只有8
与9满足要求）．
（2）1号同学所写的自然数能被2，3，4，5，6,7,10，11，12，13,14，15这12个数整除，也就是它们的公倍数．它们的最小公倍数是22×3×5×7×11×13=60060．
因为60060是一位五位数，而这12个数的其他公倍数均不是五位数，所以1号同学写的五位数是60060．
15．有2008盏灯,分别对应编号为1至2008的2008个开关．现在有1至2008的2008个人来按动这些开关．已知第1个人按的开关的编号是1的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍)，第2个人按的开关的编号是2的倍数，第3个人按的开关的编号是3的倍数．依此
做下去，第2008个人按的开关的编号是2008的倍数，如果刚开始的时候，灯全是亮着的,那么这2008个人按完后，还有多少盏灯是亮着的？
【分析】根据题意，每一个灯，编号有多少个因数，就要被按多少次，亮着的灯是被按了偶数次的,灭了的灯是被按了奇数次的；因为奇数个的数字只能是完全平方数,442＜2008＜452，所以灯的编号是完全平方数的有44盏，所以灭了的灯共有44盏，亮着的灯有2008﹣44=1964盏，据此解答即可．
【解答】解：根据题意，每一个灯，编号有多少个因数，就要被按多少次，
亮着的灯是被按了偶数次的，灭了的灯是被按了奇数次的；
因为奇数个的数字只能是完全平方数，442＜2008＜452，
所以灯的编号是完全平方数的有44盏，
因此灭了的灯共有44盏,
亮着的灯有：2008﹣44=1964盏．
答:这2008个人按完后，还有1964盏灯是亮着的．
16．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳米，黄鼠狼每次跳米，它们每秒钟都只跳一次．比赛途中，从起点开始每隔米设有一个陷井，当它们之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？
【分析】黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是与的“最小公倍数”，即跳了=9次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是和的“最小公倍数”，即跳了÷=11次掉进陷井．
经过比较可知，黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是×9=40。

5米．
【解答】解：与的“最小公倍数”是，
黄鼠狼：=9（次），
和的“最小公倍数”是，
狐狸：÷=11(次），
经过比较可知,黄鼠狼先掉进陷井，这时狐狸已跳的行程是×9=40。

5（米）．
17．一个偶数恰有6个约数不是3的倍数，恰有8个约数不是5的倍数．请问:这个偶数是多少？
【分析】首先根据约数个数的计算方法，得出所含数个数的可能性，进一步从最小的质数分析探讨得出答案即可．
【解答】解：6=2×3=(1+1)×（1+2），
因此，要让这个偶数恰有6个约数不是3的倍数，那么这个偶数可以包含：2×5×5，
8=2×4=(1+1)×（1+3），8=1×8
因此，要让这个偶数恰有8个约数不是5的倍数,那么这个偶数可以包含：2×3×3×3，
2×2×2×2×2×2×2，
这样，同时满足上两个条件的最小公倍数是：
2×5×5×3×3×3=1350，或2×2×2×2×2×2×2×5×5=3200（不是3的倍数有24个不合题意舍去）；所以这个偶数是1350．
18．一个合数，其最大的两个约数之和为1164．求所有满足要求的合数．
【分析】因为1164=2×2×3×97，1164÷（2+1)=388，1164÷（3+1)=291,1164÷（5+1)=194，1164÷（11+1）=97,然后分两种情况讨论：（1）如果这个合数是偶数，（2）如果这个合数是奇数，求出所有满足要求的合数即可．
【解答】解：因为1164=2×2×3×97，
1164÷（2+1）=388，1164÷（3+1）=291，
1164÷(5+1）=194，1164÷(11+1)=97,
(1)如果这个合数是偶数，
则这个合数为:388×2=776,
最大的两个约数为：776、388；
（2)如果这个合数是奇数，
①这个合数为：291×3=873,
最大的两个约数为：873、291；
②这个合数为：97×11=1067，
最大的两个约数为：1067、97；
所以满足要求的合数为:776，873，1067．
19．已知a与b是两个正整数，且a＞b．请问：
（1）如果它们的最小公倍数是36，那么这两个正整数有多少种情况？
（2）如果它们的最小公倍数是120，那么这两个正整数有多少种情况？
【分析】（1)首先找出36的所有的因数，然后分类讨论，求出这两个正整数有多少种情况即可；
(2）首先找出120的所有的因数，然后分类讨论，求出这两个正整数有多少种情况即可．【解答】解：（1)36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，
因为a、b的最小公倍数是36，且a＞b，可得
当a=36时,b=1、2、3、4、6、9、12、18,一共8种情况；
当a=18时，b=4、12，一共2种情况；
当a=12时，b=9，有1种情况；
当a=9时，b=4，有1种情况；
8+2+1+1=12（种)，
所以这两个正整数有12种情况．
答：这两个正整数有12种情况．
（2）120的因数有1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60、120，
因为a、b的最小公倍数是120，且a＞b,可得
当a=120时，b=1、2、3、4、5、6、8、10、12、15、20、24、30、40、60，一共15种情况；
当a=60时,b=8、24、40，一共3种情况；
当a=40时，b=3、6、12、15、24、30，一共6种情况;
当a=30时，b=4、8、24，一共3种情况;
当a=24时，b=5、10、15、20，一共4种情况；
当a=15时,b=8，有1种情况；
15+3+6+3+4+1=32（种），
所以这两个正整数有32种情况．
答：这两个正整数有32种情况．
20．已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350,b与c的最小公倍数也是350．满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组？
【分析】根据题意，可得14能整除a，a能整除350,14能整除b,b能整除350，因为14=2×7，350=2×7×52，所以a=14或a=14×5=70或a=14×25=350；然后分类讨论，求出满足上述条件的正整数a、b、c共有多少组即可．
【解答】解：根据题意，可得14能整除a，a能整除350，14能整除b，b能整除350,
因为14=2×7，350=2×7×52，
所以a=14或a=14×5=70或a=14×25=350；
(1）当a=14时，b=14或b=14×5=70或b=14×25=350,
因为a与b的最大公约数是14，
（2）所以当a=70，350时，b都只能取14，
则满足条件的a、b共有5组：
a=14,b=14；a=14,b=70；a=14，b=350;a=70，b=14；a=350,b=14；
对于a、b的每组值,c均有4个不同的值:
25,50,175，350．
所以满足条件的正整数a、b、c共有：5×4=20（组)
答：满足上述条件的正整数a，b,c共有20组．
21．已知两个连续的两位数除以5的余数之和是5，除以6的余数之和是5,除以7的余数之和是1．求这两个两位数．
【分析】首先设两个连续整数的和为s，则根据题意，可得,将上面的s,x，y都用
z表示出来,可得s=1+7z，x=+z,y=﹣+z;然后根据x,y，z，s都是整数，分析求出s的
值是多少，进而求出这两个连续的两位数是多少即可．
【解答】解：设两个连续整数的和为s,
则根据题意，可得
，
将上面的s，x，y都用z表示出来,可得
s=1+7z，x=+z，y=﹣+z,
因为x，y，z，s都是整数，可以取z=30k﹣8（k取任意整数）,k=1时z=22,
s=1+7×22=155，
因为（s﹣1)÷2=154÷2=77，155﹣77=78，
可得这两个连续的两位数可以取77、78．
答:这两个两位数可以取77、78．
22．在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），如图．小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步,
结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔．你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？
【分析】根据“每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔”说明一步跳3个孔，余1个孔，所以总孔数是3的倍数加1;根据“每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔”说明一步跳5个孔,余1个孔，所以总孔数是5的倍数加1；既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1就等于孔数；然后根据“他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔”说明一步跳7个孔正好，所以总孔数是7的倍数；然后验证再100以内,15的倍数加1能被7整除的数,即可得解．
【解答】解：如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1就等于孔数，而且能被7整除．注意：15被7除余1，所以15×6被7
除余6,15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出，15的其他（小于7的)倍数加1都不能被7整除，而15×7=105已经大于100。

7以上的倍数都不必考虑,
因此，圆圈上总孔数是:15×6+1=91；
答：圆圈上共有91个孔．
三、解答题(共8小题，满分0分）
23．有6个互不相同且不为0的自然数，其中任意5个数的和都是7的倍数,任意4个数的和都是6的倍数．请问：这6个数的和最小是多少？
【分析】任意5个数的和是7的倍数,说明这6个数均是7的倍数．任意4个数的和是6的倍数，则每个数被6除同时余0或余3．则这样的数最小是21，往上就是21+42×1、21+42×2、…据此解答．
【解答】解：这6个数的和最小
21+（21+42×1）+…+(21+42×5）
=21×6+42×（1+2+3+4+5）
=126+630
=756
答:这个数的和最小是756．
24．设N=301×302×…×2005×2006，请问：
（1）N的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”？
（2)用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止，一共可以除以多少次12?
【分析】（1)一个因数2与一个因数相乘，会在乘积的末尾增加一个0，连续的自然数相乘，因数2足够多，只需看因数5的个数即可求解；
（2）第二问就要看因数2与因数3的个数，分别求出有多少个因数3和多少个因数2，找出较少的即可求解．
【解答】解：(1）N中因数2足够多,因此末尾0的个数取决于N中因数5的个数．
2006﹣301+1=1706
因数5的个数:
2006÷5+2006÷25+2006÷125+2006÷625﹣(300÷5+300÷25+300÷125）
=401+80+16+3﹣60﹣12﹣2
=426（个）
所以，N末尾有426个连续0．
（2）N中因数3比因数4多，因此最多可以除去多少次12，取决于N中因数4的个数．
N中因数2的个数:
2006÷2+2006÷4+2006÷8+2006÷16+…+2006÷1024﹣300÷2+300÷4+300÷8+…+300÷256)
=1003+501+250+125+62+31+15+7+3+1﹣150﹣75﹣37﹣18﹣9﹣4﹣2﹣1
=1702
则N中因数4的个数为：1702÷2﹣1=8501(个）．
所以，用N不断除以12，直到结果不能被12整除为止,一共可以除以850次12．
25．老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数,这个四位数是5的倍数．贝贝计算出它与5！的最小公倍数，晶晶计算出它与10！的最大公约数,结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍．锖问:这个四位数是多少?
【分析】因为5！=5×4×3×2×1=23×3×5，10！=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=28×34×52×7,所以所求的四位数必须满足：因数2的个数是3~8个，因数3的个数是1～4个，因数7的个数是0或1个，又因为这个四位数是5的倍数，所以要么1个因数5也没有，要么含有3个因数5；然后分类讨论，求出满足条件的四位数有哪些即可．
【解答】解：5!=5×4×3×2×1=23×3×5，10!=10×9×8×7×6×5×4×3×2×1=28×34×52×7，
所求的四位数必须满足：因数2的个数是3～8个,因数3的个数是1～4个，因数7的个数是0或1个，
因为这个四位数是5的倍数，
所以要么1个因数5也没有，要么含有3个因数5；
通过分析，满足条件的四位数有:
(1）因数5的个数是3个的四位数有1个：23×3×53=3000；
（2)不含因数5，含有因数7的四位数有：
7×34×23=4536；7×33×23=1512；7×33×24=3024；7×32×24=1008；
7×32×25=2016;7×32×26=4032；7×3×26=1344;7×3×27=2688；
(3）不含因数5，不含因数7的四位数有：
34×24=1296;34×25=2592；33×26=1728;33×27=3456;
32×27=1152；32×28=2304．。