宜丰县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

宜丰县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学
一、选择题
1. 若动点A ,B 分别在直线l 1:x+y ﹣7=0和l 2:x+y ﹣5=0上移动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )
A .
3
B .
2
C .
3
D .
4
2. 已知抛物线C :2
8y x =的焦点为F ,P 是抛物线C 的准线上的一点,且P 的纵坐标为正数,
Q 是直线PF 与抛物线C 的一个交点,若2PQ QF =,则直线PF 的方程为( )
A .20x y --=
B .20x y +-=
C .20x y -+=
D .20x y ++= 3. 如图,在四棱锥P ﹣ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°.
(Ⅰ)求证:BD ⊥平面PAC ;
(Ⅱ)若PA=AB
,求PB 与AC 所成角的余弦值; (Ⅲ)当平面PBC 与平面PDC 垂直时,求PA 的长.
【考点】直线与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算;用空间向量求直线间的夹角、距离.
4. 底面为矩形的四棱锥P -ABCD 的顶点都在球O 的表面上,且O 在底面ABCD 内,PO ⊥平面ABCD ,当四棱锥P -ABCD 的体积的最大值为18时,球O 的表面积为( ) A .36π B .48π C .60π D .72π
5. 已知向量

,其中
.则“
”是“
”成立的( )
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充要条件
D .既不充分又不必要条件 6. 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士.不同的分配方法共有( ) A .90种 B .180种
C .270种
D .540种
7. 已知命题p :“若直线a 与平面α内两条直线垂直,则直线a 与平面α垂直”,命题q :“存在两个相交平面垂直于同一条直线”,则下列命题中的真命题为( ) A .p ∧
q B .p ∨q C .¬p ∨q D .p ∧¬q
8. 已知,则f{f[f (﹣2)]}的值为( ) A .0
B .2
C .4
D .8
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
9.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x﹣2)=f(x+2),当0<x<2时,f(x)=1﹣log2(x+1),则当0<x<4时,不等式(x﹣2)f(x)>0的解集是()
A.(0,1)∪(2,3)B.(0,1)∪(3,4)C.(1,2)∪(3,4)D.(1,2)∪(2,3)
10.如图是七位评委为甲,乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图(其中m,n为数字0~9中的一个),则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a和b,则一定有()
A.a>b B.a<b
C.a=b D.a,b的大小与m,n的值有关
11.已知F1、F2分别是双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行
的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是()
A.(1,)B.(,+∞)C.(,2)D.(2,+∞)
12.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求取出的这些卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为()
A.232 B.252 C.472 D.484
二、填空题
13.已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且满足对任意的实数x都有f[f(x)﹣2x]=6,则f(x)+f(﹣x)的最小值等于.
14.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,PA⊥平面ABC,此图形中有个直角三角形.
15.从等边三角形纸片ABC上,剪下如图所示的两个正方形,其中BC=3+,则这两个正方形的面积之和的最小值为.
16.已知直线:043=++m y x (0>m )被圆C :06222
2=--++y x y x 所截的弦长是圆心C 到直线的距离的2倍,则=m .
17.如图,正方形''''O A B C 的边长为1cm ,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图的 周长为 .
1111]
18.已知点M (x ,y )满足,当a >0,b >0时,若ax+by 的最大值为12,则+的最小值
是 .
三、解答题
19.(本小题满分12分)
已知函数2
1()(3)ln 2
f x x a x x =+-+. (1)若函数()f x 在定义域上是单调增函数,求的最小值;
(2)若方程2
1()()(4)02f x a x a x -+--=在区间1[,]e e
上有两个不同的实根,求的取值范围.
20.【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f (x )=(2﹣a )(x ﹣1)﹣2lnx ,g (x )=1x xe -.(a ∈R ,e 为自然对数的底数)
(Ⅰ)当a=1时,求f (x )的单调区间;
(Ⅱ)若函数f (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上无零点,求a 的最小值;
(Ⅲ)若对任意给定的x 0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的x i (i=1,2),使得f (x i )=g (x 0)成立,求a 的取值范围.
21.某校为了解2015届高三毕业班准备考飞行员学生的身体素质,对他们的体重进行了测量,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1:2:4,其中第二小组的频数为11.
(Ⅰ)求该校报考飞行员的总人数;
(Ⅱ)若经该学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人,设X表示体重超过60kg的学生人数,求X的数学期望与方差.
22.某农户建造一座占地面积为36m2的背面靠墙的矩形简易鸡舍,由于地理位置的限制,鸡舍侧面的长度x 不得超过7m,墙高为2m,鸡舍正面的造价为40元/m2,鸡舍侧面的造价为20元/m2,地面及其他费用合计为1800元.
(1)把鸡舍总造价y表示成x的函数,并写出该函数的定义域.
(2)当侧面的长度为多少时,总造价最低?最低总造价是多少?
23.已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f()=f(x1)﹣f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)若当x>1时,有f(x)<0.求证:f(x)为单调递减函数;
(3)在(2)的条件下,若f(5)=﹣1,求f(x)在[3,25]上的最小值.
24.已知椭圆C:=1(a>2)上一点P到它的两个焦点F1(左),F2(右)的距离的和是6.
(1)求椭圆C的离心率的值;
(2)若PF2⊥x轴,且p在y轴上的射影为点Q,求点Q的坐标.
25.已知数列{a n}的首项a1=2,且满足a n+1=2a n+3•2n+1,(n∈N*).
(1)设b n=,证明数列{b n}是等差数列;
(2)求数列{a n}的前n项和S n.
26.已知椭圆G:=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为(2,0),斜率为1的直线l与椭圆
G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(﹣3,2).
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)求△PAB的面积.
宜丰县高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学(参考答案)
一、选择题
1.【答案】A
【解析】解:∵l1:x+y﹣7=0和l2:x+y﹣5=0是平行直线,
∴可判断:过原点且与直线垂直时,中的M到原点的距离的最小值
∵直线l1:x+y﹣7=0和l2:x+y﹣5=0,
∴两直线的距离为=,
∴AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3,
故选:A
【点评】本题考查了两点距离公式,直线的方程,属于中档题.
2.【答案】B
【解析】
考点:抛物线的定义及性质.
【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项:(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值,但首先要判断抛物线是否为标准方程,若是标准方程,则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程.(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题.(3)直线与抛物线有一个交点,并不表明直线与抛物线相切,因为当直线与对称轴平行(或重合)时,直线与抛物线也只有一个交点.
3.【答案】
【解析】解:(I)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD,
又因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
(II )设AC ∩BD=O ,因为∠BAD=60°,PA=AB=2,
所以BO=1,AO=OC=,
以O 为坐标原点,分别以OB ,OC 为x 轴、y 轴,以过O 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系O ﹣xyz ,则
P (0,﹣,2),A (0,﹣,0),B (1,0,0),C (0,
,0)
所以=(1,,﹣2),
设PB 与AC 所成的角为θ,则cos θ=|
(III )由(II )知,设


设平面PBC 的法向量=(x ,y ,z )
则=0,
所以


平面PBC 的法向量所以,
同理平面PDC 的法向量,因为平面PBC ⊥平面PDC ,
所以=0,即﹣6+=0,解得t=

所以PA=

【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
4. 【答案】
【解析】选A.设球O 的半径为R ,矩形ABCD 的长,宽分别为a ,b , 则有a 2+b 2=4R 2≥2ab ,∴ab ≤2R 2,
又V 四棱锥P -ABCD =1
3
S 矩形ABCD ·PO
=13abR ≤23R 3. ∴2
3
R 3=18,则R =3, ∴球O 的表面积为S =4πR 2=36π,选A. 5. 【答案】A
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若,则成立;
反过来,若
,则

所以“”是“”成立的充分而不必要条件。

故答案为:A
6.【答案】D
【解析】解:三所学校依次选医生、护士,不同的分配方法共有:C31C62C21C42=540种.
故选D.
7.【答案】C
【解析】解:根据线面垂直的定义知若直线a与平面α内两条相交直线垂直,则直线a与平面α垂直,当两条直线不相交时,结论不成立,即命题p为假命题.
垂直于同一条直线的两个平面是平行的,故命题存在两个相交平面垂直于同一条直线为假命题.,即命题q 为假命题.
则¬p∨q为真命题,其余都为假命题,
故选:C.
【点评】本题主要考查复合命题真假之间的判断,分别判断命题p,q的真假是解决本题的关键.
8.【答案】C
【解析】解:∵﹣2<0
∴f(﹣2)=0
∴f(f(﹣2))=f(0)
∵0=0
∴f(0)=2即f(f(﹣2))=f(0)=2
∵2>0
∴f(2)=22=4
即f{f[(﹣2)]}=f(f(0))=f(2)=4
故选C.
9.【答案】D
【解析】解:∵f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x﹣2)=f(x+2),
∴f(0)=0,且f(2+x)=﹣f(2﹣x),
∴f(x)的图象关于点(2,0)中心对称,
又0<x<2时,f(x)=1﹣log2(x+1),
故可作出fx(x)在0<x<4时的图象,
由图象可知当x∈(1,2)时,x﹣2<0,f(x)<0,
∴(x﹣2)f(x)>0;
当x∈(2,3)时,x﹣2>0,f(x)>0,
∴(x﹣2)f(x)>0;
∴不等式(x﹣2)f(x)>0的解集是(1,2)∪(2,3)
故选:D
【点评】本题考查不等式的解法,涉及函数的性质和图象,属中档题.
10.【答案】C
【解析】解:根据茎叶图中的数据,得;
甲得分的众数为a=85,
乙得分的中位数是b=85;
所以a=b.
故选:C.
11.【答案】D
【解析】解:双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x,
不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=(x﹣c),
与y=﹣x联立,可得交点M(,﹣),
∵点M在以线段F1F2为直径的圆外,
∴|OM|>|OF2|,即有>c2,
∴b2>3a2,
∴c2﹣a2>3a2,即c>2a.
则e=>2.
∴双曲线离心率的取值范围是(2,+∞).
故选:D.
【点评】本题考查的知识点是双曲线的简单性质,熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键.
12.【答案】
C
【解析】【专题】排列组合.
【分析】不考虑特殊情况,共有种取法,其中每一种卡片各取三张,有种取法,两种红色卡片,共有
种取法,由此可得结论.
【解答】解:由题意,不考虑特殊情况,共有种取法,其中每一种卡片各取三张,有种取法,两种红
色卡片,共有种取法,
故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472
故选C.
【点评】本题考查组合知识,考查排除法求解计数问题,属于中档题.
二、填空题
13.【答案】6.
【解析】解:根据题意可知:f(x)﹣2x是一个固定的数,记为a,则f(a)=6,
∴f(x)﹣2x=a,即f(x)=a+2x,
∴当x=a时,
又∵a+2a=6,∴a=2,
∴f(x)=2+2x,
∴f(x)+f(﹣x)=2+2x+2+2﹣x=2x+2﹣x+4
≥2+4=6,当且仅当x=0时成立,
∴f(x)+f(﹣x)的最小值等于6,
故答案为:6.
【点评】本题考查函数的最值,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.
14.【答案】4
【解析】解:由PA⊥平面ABC,则△PAC,△PAB是直角三角形,又由已知△ABC是直角三角形,∠ACB=90°所以BC⊥AC,从而易得BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,所以△PCB也是直角三角形,
所以图中共有四个直角三角形,即:△PAC,△PAB,△ABC,△PCB.
故答案为:4
【点评】本题考查空间几何体的结构特征,空间中点线面的位置关系,线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键.
15.【答案】.
【解析】解:设大小正方形的边长分别为x,y,(x,y>0).
则+x+y+=3+,
化为:x+y=3.
则x2+y2=,当且仅当x=y=时取等号.
∴这两个正方形的面积之和的最小值为.
故答案为:.
16.【答案】9 【解析】
考点:直线与圆的位置关系
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,属于基础题型,涉及一些最值问题,当点在圆的外部时,圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径,当点在圆外,可做两条直线与圆相切,当点在圆上,可做一条直线与圆相切,当点在圆内,过定点做圆的弦时,过圆心即直径最长,当定点是弦的中点时,弦最短,并且弦长公式是222d R l -=,R 是圆的半径,d 是圆心到直线的距离. 17.【答案】8cm 【解析】
考点:平面图形的直观图.
18.【答案】 4 .
【解析】解:画出满足条件的平面区域,如图示:

由,解得:A (3,4),
显然直线z=ax+by 过A (3,4)时z 取到最大值12,
此时:3a+4b=12,即+=1,
∴+=(+)(+)=2++
≥2+2
=4,
当且仅当3a=4b 时“=”成立, 故答案为:4.
【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了利用基本不等式求最值,解答此题的关键是对“1”的灵活运用,是基础题.
三、解答题
19.【答案】(1);(2)01a <<.1111] 【解析】

'()0f x ≥对0x >恒成立,即1
()3a x x
≥-++对0x >恒成立,
而当0x >时,1
()3231x x
-++≤-+=,
∴1a ≥.
若函数()f x 在(0,)+∞上递减,
则'()0f x ≤对0x >恒成立,即1
()3a x x
≤-++对0x >恒成立,
这是不可能的. 综上,1a ≥. 的最小值为1. 1
(2)由2
1()()(2)2ln 02
f x a x a x x =-+-+=, 得2
1()(2)2ln 2
a x a x x -+-=,
即2ln x x a x +=,令2ln ()x x r x x +=,233
1
(1)2(ln )
12ln '()x x x x x x x r x x x
+-+--==, 得12ln 0x x --=的根为1,
考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、函数零点问题及不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成(max ()a f x ≥即可);②数形结合;③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立;④讨论参数.本题(2)就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.
请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
20.【答案】(1) f (x )的单调减区间为(0,2],单调增区间为[2,+∞);(2) 函数f (x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上无零点,则a 的最小值为2﹣4ln2;(3)a 的范围是3,21e ⎛⎤
-∞-
⎥-⎝⎦
. 【解析】试题分析:(Ⅰ)把a=1代入到f (x )中求出f ′(x ),令f ′(x )>0求出x 的范围即为函数的增区间,令f ′(x )<0求出x 的范围即为函数的减区间; (Ⅱ)f (x )<0时不可能恒成立,所以要使函数在(0,
12)上无零点,只需要对x ∈(0,1
2
)时f (x )>0恒成立,列出不等式解出a 大于一个函数,利用导数得到函数的单调性,根据函数的增减性得到这个函数的最大值即可得到a 的最小值;
试题解析:
(1)当a=1时,f (x )=x ﹣1﹣2lnx ,则f ′(x )=1﹣,
由f ′(x )>0,得x >2; 由f ′(x )<0,得0<x <2.
故f (x )的单调减区间为(0,2],单调增区间为[2,+∞); (2)因为f (x )<0在区间上恒成立不可能,
故要使函数上无零点,
只要对任意的
,f (x )>0恒成立,即对
恒成立.
令,则

再令,

,故m (x )在
上为减函数,于是

从而,l (x )>0,于是l (x )在上为增函数,所以

故要使
恒成立,只要a ∈[2﹣4ln2,+∞),
综上,若函数f (x )在10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上无零点,则a 的最小值为2﹣4ln2; (3)g ′(x )=e 1﹣x ﹣xe 1﹣x =(1﹣x )e 1﹣x ,
当x ∈(0,1)时,g ′(x )>0,函数g (x )单调递增; 当x ∈(1,e]时,g ′(x )<0,函数g (x )单调递减. 又因为g (0)=0,g (1)=1,g (e )=e •e 1﹣e >0, 所以,函数g (x )在(0,e]上的值域为(0,1]. 当a=2时,不合题意;
当a ≠2时,f ′(x )=,x ∈(0,e]
当x=时,f ′(x )=0.
由题意得,f (x )在(0,e]上不单调,故
,即


又因为,当x →0时,2﹣a >0,f (x )→+∞,

所以,对任意给定的x 0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的x i (i=1,2), 使得f (x i )=g (x 0)成立,当且仅当a 满足下列条件:

令h (a )=,
则h
,令h ′(a )=0,得a=0或a=2,
故当a ∈(﹣∞,0)时,h ′(a )>0,函数h (a )单调递增; 当
时,h ′(a )<0,函数h (a )单调递减.
所以,对任意,有h (a )≤h (0)=0, 即②对任意恒成立. 由③式解得:
.④
综合①④可知,当a 的范围是3,21e ⎛⎤
-∞-
⎥-⎝⎦
时,对任意给定的x 0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的x i (i=1,2),使f (x i )=g (x 0)成立. 21.【答案】
【解析】(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)设该校报考飞行员的总人数为n ,前三个小组的频率为p 1,p 2,p 3,
则,
解得,,,…
由于,故n=55.…
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一个报考学生的体重超过60公斤的概率为:
p=,
由题意知X服从二项分布,即:X~B(3,),…
∴P(X=k)=,k=0,1,2,3,
∴EX==,DX==.…
【点评】本题考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识,考查数据处理能力,考查化归与转化思想,是中档题.
22.【答案】
【解析】解:(1)…
=…
定义域是(0,7]…
(2)∵,…
当且仅当即x=6时取=…
∴y≥80×12+1800=2760…
答:当侧面长度x=6时,总造价最低为2760元.…
23.【答案】
【解析】解:(1)令x1=x2>0,
代入得f(1)=f(x1)﹣f(x1)=0,
故f(1)=0.…(4分)
(2)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,则>1,
由于当x>1时,f(x)<0,所以f()<0,
即f(x1)﹣f(x2)<0,因此f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.…(8分)
(3)因为f(x)在(0,+∞)上是单调递减函数,
所以f(x)在[3,25]上的最小值为f(25).
由f()=f(x1)﹣f(x2)得,
f(5)=f()=f(25)﹣f(5),而f(5)=﹣1,
所以f(25)=﹣2.
即f(x)在[3,25]上的最小值为﹣2.…(12分)
【点评】本题主要考查抽象函数的应用,利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键.24.【答案】
【解析】解:(1)根据椭圆的定义得2a=6,a=3;
∴c=;
∴;
即椭圆的离心率是;
(2);
∴x=带入椭圆方程得,y=;
所以Q(0,).
25.【答案】
【解析】解:(1)∵=,
∴数列{b n}是以为首项,3为公差的等差数列.
(2)由(1)可知,
∴①

①﹣②得:

∴.
【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解,利用定义法和错位相减法是解决本题的关键.
26.【答案】
【解析】解:(Ⅰ)由已知得,c=,,
解得a=,又b2
=a2﹣c2=4,
所以椭圆G的方程为.
(Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m,
由得4x2+6mx+3m2﹣12=0.①
设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB的中点为E(x0,y0),
则x0==﹣,
y0=x0+m=,
因为AB是等腰△PAB的底边,
所以PE⊥AB,
所以PE的斜率k=,
解得m=2.
此时方程①为4x2+12x=0.
解得x1=﹣3,x2=0,
所以y1=﹣1,y2=2,
所以|AB|=3,此时,点P(﹣3,2).
到直线AB:y=x+2距离d=,
所以△PAB的面积s=|AB|d=.。

相关文档
最新文档