河南省郑州市新密第一高级中学2019-2020学年高三数学理期末试卷含解析

河南省郑州市新密第一高级中学2019-2020学年高三数
学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数图象的一条对称轴是
A．B．C．D．
参考答案：
B
2. 平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，M为OC的中点，若=（2，4），=（1，3），则等于（）
A．B．﹣C．3 D．﹣3
参考答案：
C
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．
【分析】由题意画出图形，利用向量的加法法则与减法法则，结合坐标运算得到
的坐标，则答案可求．
【解答】解：如图，
∵ABCD为平行四边形，且AC与BD交于点O，M为OC的中点，∴，
又=（1，3），∴，
则=（），
又=（2，4），∴=（﹣1，﹣1），
则=（﹣1，﹣1）?（）=（﹣1）×（）+（﹣1）×（﹣）=3．
故选：C．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加减法及数量积的坐标表示，是中档题．
3. 已知函数,则在[0，2]上的零点个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
B
在同一直角坐标系内画出函数的图像，如图，由图知函数在[0，2]上的零点个数为2.
4. 下列函数中，图象的一部分如图所示的是( )
A．B．C．
D．
参考答案：
D
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】压轴题．
【分析】先根据图象求出函数的最小正周期，从而可得w的值，再根据正弦函数的平移变化确定函数的解析式为，最后根据诱导公式可确定答案．
【解答】解：从图象看出，T=，
所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了个单位，
即=，
故选D．
【点评】本题考查正弦函数平移变换和最小正周期的求法、根据图象求函数解析式．考查学生的看图能力．
5. 已知曲线，则切点的横坐标为（）
A．3 B．2 C．1 D．
参考答案：
答案：A
6. 已知函数，函数，若存在
，使得成立，则实数的取值范围是（▲）
A． B．C． D．
参考答案：
D
略
7. 设函数是偶函数的导函数，在区间(0,+∞)上的唯一零点为2，并且当
时，，则使得成立的的取值范围是（）A．(－2,2) B．(－∞,－2)∪(2,+ ∞) C．(－1,1) D．(－2,0)∪(0,2)
参考答案：
A
8. 已知,,且,则向量与夹角的大小为（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
试题分析：∵，，∴，故与的夹角为.
考点：1、向量的模；2、向量的夹角.
9. 已知命题：如果，那么；命题：如果，那么；命题：如果
，那么.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的
是( )
① 命题是命题的否命题，且命题是命题的逆命题.
② 命题是命题的逆命题，且命题是命题的否命题.
③ 命题是命题的否命题，且命题是命题的逆否命题.
A．①③； B．②； C．②③ D．①②③
参考答案：
A
10. “”是“直线与直线垂直”的（）
A．充分必要条件 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知为的外心，,,为钝角，是边的中点，则
的值等于．
参考答案：
5
略
12. 已知M＝{a||a|≥2}，A＝{a|(a－2)(a2－3)＝0，a∈M}，则集合A的子集共有__________.
参考答案：
2个
略
13. 函数在处取得极小值．
参考答案：
14.
若，则的值是 .
参考答案：
答案：
15. 已知向量。

参考答案：
-3或0
16. 已知函数满足，且当时.若在区间内，函数有三个不同零点，则的范围为．
参考答案：
17. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN 所成的角的大小是．
参考答案：
90°
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的方法求出与夹角求出异面直线A1M与DN所成的角．
【解答】解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，
则D（0，0，0），N（0，2，1），M（0，1，0），A1（2，0，2），=（0，2，1），=（﹣2，1，﹣2）
?=0，所以⊥，即A1M⊥DN，异面直线A1M与DN所成的角的大小是90°，
故答案为：90°．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）设函数．
（Ⅰ）求的单调区间和极值；
（Ⅱ）若当时，，求的最大值．
参考答案：
解：（Ⅰ）．
于是，当时，；
时，．
故在单调减少，在，单调增加．
当时，取得极大值；
当时，取得极小值．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）及，，在的最大值为4，最小值为1．
因此，当时，的充要条件是，
即，满足约束条件
，
由线性规划得，的最大值为7．
19. 如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM=，tan∠AMC=﹣．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若角∠BAC=，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．
参考答案：
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（Ⅰ）根据三角形的性质和内角和的定理，转化为和与差公式求解即可．（Ⅱ）利用余弦定理求解出BM，即可求解△ABC的面积
【解答】解：（Ⅰ）由，
得：，
∴．
又∠AMC=∠BAM+∠B，
∴=；
又B∈（0，π），
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．角∠BAC=，
∴C=．
则AB=BC．
设MB=x，
则AB=2x．
在△ABM中由余弦定理，得AM2=AB2+MB2﹣2AB?BMcosB，即7x2=21．
解得：．
故得△ABC的面积．
20. （本小题满分12分）如图，是圆的的直径，点是弧的中点，，分别是，的中点，平面．
（1）求异面直线与所成的角；
（2）证明平面．
参考答案：
（Ⅰ）因为D，E分别是VB，VC的中点，
所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE
与AB所成的角．（3分）
又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的
中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形．于是∠ABC=45°．故异面直线DE与AB所成的角为45°．（6分）
（Ⅱ）因为VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥VA．（8分）
由（Ⅰ）知，BC⊥AC，所以BC⊥平面VAC．（10分）
又由（Ⅰ）知，BC∥DE，故D E⊥平面VAC．（12分）
21. （本题满分13分）
已知函数的图象与函数的图象关于直线对称．（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若在区间上的值域为，求实数的取值范围；
（Ⅲ）设函数，，其中.若对恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
解：（Ⅰ）由已知得；……………………3分
（Ⅱ）因为，所以在上为单调递增函数.
所以在区间.
，
即．
所以是方程
即方程有两个相异的解，
这等价于，……………………6分
解得为所求．……………………8分
（Ⅲ）
因为当且仅当时等号成立，
因为恒成立，，
所以为所求．……………………13分
22. 已知函数f（x）=|x+3|﹣m+1，m＞0，f（x﹣3）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若?x∈R，f（x）≥|2x﹣1|﹣t2+t成立，求实数t的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）将不等式转化为|x|≥m﹣1，根据其解集情况，确定m；
（2）将不等式转化为?x∈R，|x+3|﹣|2x﹣1|≥﹣t2+t+2成立，左边构造函数，只要求出其最大值，得到关于t的不等式解之即可．
【解答】解：（I）∵函数f（x）=|x+3|﹣m+1，m＞0，
f（x﹣3）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
所以f（x﹣3）=|x|﹣m+1≥0，
所以|x|≥m﹣1的解集为为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
所以m﹣1=2，
所以m=3；…
（II）由（I）得f（x）=|x+3|﹣2
∵?x∈R，f（x）≥|2x﹣1|﹣t2+t 成立
即?x∈R，|x+3|﹣|2x﹣1|≥﹣t2+t+2成立…
令g（x）=|x+3|=|2x﹣1|=
故g（x）max=g（）=…
则有|≥﹣t2+t+2，即|2t2﹣5t+3≥0．
解得t≤1或t≥，
∴实数t的取值范围是t≤1或t≥…。