江苏专用2019高考数学二轮复习解答题专项练2三角函数与解三角形理

2.三角函数与解三角形
1.已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；
(2)求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值. 解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，
所以sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝
1－cos 2⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，
所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.
(2)因为sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π2
＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310.
2.已知△ABC 中，AC ＝2，A ＝2π
3，3cos C ＝3sin B .
(1)求AB ；
(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为33
4，求∠ADC 的正弦值.
解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π
3－C ，
由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－C ，
所以cos C ＝3⎝
⎛⎭⎪⎫32cos C －12sin C ＝3
2
cos C －32sin C ，
所以12cos C ＝32sin C ，即tan C ＝33
.
又因为C ∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π3，
所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π
6，所以AB ＝AC ＝2.
(2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝33
2，
在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2
＝AC 2
＋CD 2
－2AC ·
CD cos C ＝74，即AD ＝
72
， 由正弦定理得，AD
sin C ＝AC
sin∠ADC ，
故sin∠ADC ＝
AC sin C AD ＝27
7
. 3.已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(A ＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，
且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3，32.
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)若角α满足f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值. 解 (1)由条件知周期T ＝2π， 即
2πω＝2π，所以ω＝1，即f (x )＝A sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3.
因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3，32，
所以A sin 2π3＝3
2
，所以A ＝1，
所以f (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3.
(2)由f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，
得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π2＝1，
即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，
所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝1， 即sin α＝1
2
.
因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π
6
.
4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B . (1)求角C 的大小；
(2)若sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π3＝3
5，求sin A 的值.
解 (1)由b sin 2C ＝c sin B ，根据正弦定理得 2sin B sin C cos C ＝sin C sin B .
因为sin B ＞0，sin C ＞0，所以cos C ＝1
2.
又C ∈(0，π)，所以C ＝π
3.
(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，
所以B －π3∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π3，π3，
又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，
所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝
⎛⎭⎪⎫B －π3＝45.
又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π
3
－B ，
所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3 ＝sin
π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫B －π3
＝
32×45－12×35＝43－3
10
. 5.已知向量a ＝(2cos α，sin 2
α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.
(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫25，0，求t 的值；
(2)若t ＝1，且a·b ＝1，求tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值.
解 (1)方法一 因为向量a ＝(2cos α，sin 2
α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫25，0，
所以cos α－sin α＝15
，t ＝sin 2
α.
由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2
＝125，
即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝24
25.
所以(cos α＋sin α)2
＝1＋2sin αcos α＝4925.
因为α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75，
所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝3
5，
从而t ＝sin 2
α＝925
.
方法二 因为向量a ＝(2cos α，sin 2
α)，b ＝(2sin α，t )， 且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2
α.
又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2
α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＋152＝1，
整理得50sin 2
α＋10sin α－24＝0， 解得sin α＝－45或sin α＝3
5
.
因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35， 从而t ＝sin 2
α＝925
.
(2)方法一 因为t ＝1，且a·b ＝1，
所以4sin αcos α＋sin 2
α＝1，即4sin αcos α＝cos 2
α. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14.
所以tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝8
15
. 从而tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2α·tan π4＝8
15＋1
1－
815＝237.
方法二 因为t ＝1，且a·b ＝1，
所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2
α. 所以2sin 2α＝1＋cos 2α
2，即4sin 2α－cos 2α＝1，
又sin 2
2α＋cos 2
2α＝1，所以sin 2
2α＋(4sin 2α－1)2
＝1， 整理得17sin 2
2α－8sin 2α＝0， 解得sin 2α＝8
17
或sin 2α＝0.
因为α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，所以sin 2α＞0，
所以sin 2α＝817，代入4sin 2α－cos 2α＝1，得cos 2α＝15
17，
因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝8
15
，
从而tan ⎝
⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan
π41－tan 2α·ta n π4＝8
15＋1
1－
815
＝237.
6.已知函数f (x )＝23·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋x .
(1)求函数f (x )的单调递增区间；
(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且角A 满足f (A )＝3＋1，若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .
解 (1)f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x
＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋2x
＝3sin 2x ＋cos 2x ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋ 3.
令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－π3＋k π≤x ≤π
6
＋k π，k ∈Z ，
所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .
(2)由f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋3＝3＋1，
得sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，
因为A ∈(0，π)，所以2A ∈(0,2π)，2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6
，13π6，
所以2A ＋π6＝5π6，则A ＝π3，又BC 边上的中线长为3，所以|AC →＋AB →
|＝6，
所以|AC →|2＋|AB →|2＋2AC →·AB →
＝36，
即b 2
＋c 2
＋2bc cos A ＝36，所以b 2
＋c 2
＋bc ＝36， ①
由余弦定理a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， 得b 2
＋c 2
－bc ＝9， ②
由①②得，bc ＝27
2，
所以S ＝12bc sin A ＝273
8
.。