2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期期中数学试题-附答案

2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期期中数学试题
一、单选题
1．已知向量
，
，则“”是“”的（ ）11(,)
a x y =
22(,)
b x y =
12
1
2x x y y =//a b A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合向量共线的定义判断作答.【详解】若，则，即，
12
12x x y y =12210x y x y -=//a b
当，即时，满足，而无意义，0b =
120y y ==//a b 12
12x x y y =所以“”是“”的充分不必要条件.121
2x x y y =//a b
故选：A
2．如图，是水平放置的△OAB 用斜二测画法画出的直观图（图中虚线分别与轴和轴O A B ''
'△x 'y '
平行），则△OAB 的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．24
D ．48
【答案】D
【分析】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB ，求解面积即可.【详解】根据题中直观图及斜二测画法，还原出水平放置的△OAB ，
其面积为.
1
616482⨯⨯=故选：D.
3．将正弦函数的图象先向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标缩
()sin f x x
=π
3短到原来的，纵坐标不变，最后得到函数
的图象，则（ ）
12
()
g x ()g x =
A ．
B ．
()2πsin 23g x x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭()πsin 23g x x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭C ．D ．
()πsin 23x g x ⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭()πsin 26x g x ⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭【答案】B
【分析】按题意平移、伸缩变换求解即可.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数
的图象，()sin f x x =π3πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将所得函数
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12的图象.()πsin 23g x x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭∴
.()πsin 23g x x ⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭故选：B.
4．已知，为关于的实系数方程的两个虚根，则（ ）
αβx 2450x x -+=αβ
αβ+=+
A B ．
C D ．【答案】A
【分析】解得的虚根，代入求解即可.
2
450x x -+=αβ
αβ++【详解】由，
，
2
450x x -+=()2
441540
∆=--⨯⨯=-<∴方程的两个虚根为
，或
，，
2
450x x -+
=2i α=
=+2i β==-2i α=-2i β=+不妨取，
2i α=+2i β=-
==∴
αβαβ
+==+故选：A.
5，则（ ）
θ=
sin cos
θθ⋅=A ．B ．C ．D ．1
3
13
-
23
23
-
【答案】B
【分析】先由二倍角公式和两角和的余弦公式化简已知条件，再求解即可.
【详解】，
，θ=
cos θθ=
，
cos θθ
=∴，cos sin cos θθθθ+=两边同时平方，得
，
()
2
22cos 2sin cos sin 3sin cos θθθθθθ++=∴
，∴
，
()2
3sin cos 2sin cos 10
θθθθ-
-=()()0
sin cos 13sin cos 1θθθθ+=-解得或
，
sin cos 1θθ=1sin cos 3θθ=-
又，
πcos cos sin 4θθθθθ⎛
⎫=+=+≤ ⎪⎝⎭∴，
.sin cos 1θθ≠1
sin cos 3θθ=-
故选：B.
6．如图，在正三棱柱
中，M 为棱的中点，N 为棱上靠近点C 的一个三等分点，
111ABC A B C -1AA 1CC
若记正三棱柱
的体积为V ，则四棱锥的体积为（ ）
111ABC A B C -B AMNC -
A ．
B ．
5125
18V C ．
D ．
5
24V 5
36【答案】B 【分析】设
，取AC 的中点D ，可得BD ⊥平面，分别计算四棱锥
1,AB a AA b
==11ACC A 的体积与正三棱柱的体积，即可得解.
B AMN
C -111ABC A B C -【详解】正三棱柱
中，设，
111ABC A B C -1,AB a AA b ==
取AC 的中点D ，连接BD ，
则BD ⊥AC ，BD ，，212ABC S a =⨯=
正三棱柱的体积111ABC A B C -1ABC V S AA =⨯= 平面ABC ，BD 平面ABC ，则
BD ，
1AA ⊥
⊂1AA ⊥
又BD ⊥AC ，
，
平面，则BD ⊥平面，
1AA AC A
= 1,AA AC ⊂
11ACC A 11ACC A ，111523212AMNC ab
S b b a ⎛⎫=⨯+⨯=
⎪⎝⎭
则四棱锥的体积
．
B AMN
C -11533125
81B AMNC
AMNC V ab V S BD -=⨯⨯=⨯==
故选：B ．
7．在ABC 中，Q 是边AB 上一定点，满足，且对于边AB 上任意一点P ，恒有
14QB AB =
，则（ ）PB PC QB QC ⋅≥⋅
A ．
B ．90AB
C ∠=︒30BAC ∠=︒C ．
D ．AB AC =AC BC
=【答案】D
【分析】在ABC 中，取BC 的中点D ，AB 的中点E ，连接CE ，DQ ．由可得
PB PC QB QC ⋅≥⋅
，即可判断各选项正误.
QD AB ⊥【详解】在ABC 中，取BC 的中点D ，AB 的中点E ，连接CE ，DQ ．
故，
()()()()
22PB PC PD DB PD DC PD DB PD DB PD DB
⋅=+⋅+=+⋅-=- ()()()()
22QB QC QD DB QD DC QD DB QD DB QD DB
⋅=+⋅+=+⋅-=- 由，得，因点到直线垂线段最短，可知.
PB PC QB QC ⋅≥⋅
22
PD QD
≥ QD AB ⊥A 选项，因，则，则 ，故A 错误；
QD AB ⊥90o DQB ∠=o 90ABC ∠<B 选项，由题目条件，无法判断大小，故B 错误；
BAC ∠CD 选项，因，E 为AB 中点，则Q 为EB 中点，结合D 为BC 中点，可知，
1
4QB AB =
DQ CE ，又E 为AB 中点，则，又由题目条件不能判断AB ,AC 关系，故C 错误，D 正
CE AB ⊥AC BC =确.故选：D
8．如图，O 是锐角三角形ABC 的外心，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
，若
π
3A =
，则m =（ ）
cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=
A ．B
C
D ．1
12
【答案】C
【分析】首先由条件等式两边乘以，再结合数量积公式，以及正弦定理，边角互化，化简等式，AB
即可求的值.
m 【详解】对于式子，两边同乘，cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B += AB 可得，cos cos 2sin sin B C AB AB AC AB mAO AB mAB AB C B ⋅+⋅=⋅=⋅
即，
22
cos cos cos sin sin B C
c bc A mc C B +⋅=由正弦定理化简可得，
22cos cos sin sin sin cos sin sin sin B C
C B C A m C
C B +⋅=由，两边同时除以得，sin 0C ≠sin C cos cos cos sin B A C m C
+=∴
()cos cos cos cos cos cos sin sin A C A C
B A
C m C C
-+++=
=
cos cos sin sin cos cos πsin sin sin 3A C A C A C A C -++=
===
故选：C ．
二、多选题
9．在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项n 式
在复数集中有个复数根（重根按重数计）.在复数集范围内，若是的一个根，则
()
f x n ω3
=1x =（ ）
2++1ωωA ．0B ．1C ．2D ．3
【答案】AD 【分析】分解因式
，求解的值，分别代入计算.
()()321110
x x x x -=-++=w 【详解】解：因为，所以，即
，所以或
.即
31x =310x -=()(
)2
110x x x -++=1x =x =
或
1w =w =
当时，；
1w =2
13w w ++=
当
.
w =
2
10w w ++=故选：AD
10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列结论正确的是（ ）A ．若，则sin sin A B >a b
>B ．若，则△ABC 为等腰三角形
sin2sin2A B =
C ．若，，，则符合条件的三角形有2个
30B =︒b =2c =
D ．若△ABC 的面积，则
)222S b c a =
+-π
3A =【答案】ACD
【分析】对于A ：利用正弦定理直接判断；对于B ：由题意结合两角和差的正弦公式可得
或，即可判断；对于C ：由即可判断；对于D ：由条件及余弦定理，
π
2A B +=
A B =sin c B b c <<
三角形面积公式可得即可判断．
tan A =A 【详解】对于A ：在中，由正弦定理得：，（为的外接圆半径），ABC 2sin sin a b
R
A B ==R ABC 因为，即，所以，故A 正确；
sin sin A B >22a b
R R >
a b >对于B ：因为，即，sin 2sin 2A B =sin[()()]sin[()()]A B A B A B A B ++-=+--展开整理得，又，
cos()sin()0A B A B +-=0π,ππA B A B <+<-<-<所以
或，故为直角三角形或等腰三角形，故B 错误；
π
2A B +=
A B =ABC
对于C ：因为，，所以，所以，
30B =︒b =2c =1sin 212c B =⨯
=sin c B b c <<所以符合条件的三角形有两个，故C 正确；
对于D ：三角形面积且，)222
S b c a =+-222cos 2b c a A bc +-=12cos sin 2bc A bc A ⋅=
因为，所以，故，故D 正确．
0πA <<cos 0A ≠tan A =π
3A =
故选：ACD ．
11．一对不共线的向量，的夹角为θ，定义为一个向量，其模长，其方
a b a b ⨯ sin a b a b θ
⨯=⋅ 向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结
a b
OACB O A C B '-'''论正确的是（ ）
A ．
12
OAB
S OA OB =⨯
△B ．当时，0,2AOB π⎛⎫∠∈ ⎪
⎝⎭tan OA OB OA OB AOB ⨯=⋅∠
C ．若
，，则
2
OA OB ==
2OA OB ⋅= OA ⨯ D ．平行六面体的体积OACB O A C B '-'''()
V OO OA OB
'=⋅⨯ 【答案】ABD
【分析】根据 的定义以及数量积的几何意义逐项分析.
a b ⨯
【详解】对于A ，
，而，故
1sin 2ABO
S OA OB AOB =∠ △sin OA OB OA OB AOB ⨯=∠
，正确；
12ABO S OA OB
=⨯
△对于B ，，当
，有意义cos OA OB OA OB AOB
⋅=∠
0,2AOB π⎛⎫
∠∈ ⎪
⎝⎭tan AOB ∠则
，正确；
tan sin OA OB AOB OA OB AOB OA OB
⋅∠=⨯∠=
对于C ，
，，，，，错误；
2
OA OB == 2OA OB ⋅= 1cos 2AOB ∠=sin AOB ∠=OA OB ⨯= 对于D ，的模长即为平行六面体底面OABC 的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何
OA OB ⨯
意义可知，
就是在垂直于底面OABC 的方向上的投影向量的模长（即为高）乘
(
)OO OA OB
'⋅⨯
OO ' 以底面的面积，即为体积，正确；故选：ABD ．
12．已知平面向量，，满足，且，下列结论可能正确的是（ ）a b c 2,1a c == 1
a b b c -=-=
A ．向量，的夹角为
B ．向量，共线
a b
π
6
a c
C ．
D ．
12b =
54b c ⋅=
【答案】ABD
【分析】设，，，如图，不妨设，圆C 方程是
，动点A OA a = OB b = OC c = ()1,0C 22(1)1x y -+=在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足
．当
1
AB =
A ；当A 的坐标为时，可判断
B ；由，得，又由
OB =()2,0AB OB OA +≥1OB ≥图易知，即，可判断C ；设，则，由及，可2OB ≤12b ≤≤ (,)B x y b c x ⋅= 12b ≤≤
22(1)1x y -+=得，可判断D ．
1
22x ≤≤【详解】由题意，，设，，，
2,a = 1c = 1
a b b c -=-= OA a = OB b = OC c = 如图，不妨设
，圆C 方程是．
()
1,0C 22
(1)1x y -+=
动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上，动点B 在以C 为圆心，1为半径的圆上，且满足
，
1
AB =
对于A ，当时，△OAB 为直角三角形，此时，即向量，的夹角为，故A OB =30AOB ∠=︒a b
π
6正确；
对于B ，当A 的坐标为时，向量，共线，故B 正确；
()2,0a c
对于C ，当B 在圆C 上运动时，由，得，当且仅当O ，A ，B 三点共线时取
AB OB OA
+≥1OB ≥等号，又由图易知，即，故C 错误；
2
OB ≤12b ≤≤ 对于D ，设，则，
(,)B x y ()(),1,0b c x y x
⋅=⋅=
由
得，又，则，即．
12
b ≤≤ 2
2
12x y ≤≤+22
(1)1x y -+=122x ≤≤1
2
2x ≤
≤∴
，故D 正确．1,22b c ⎡⎤
⋅
∈⎢⎥
⎣⎦ 故选：ABD.
三、填空题
13．在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O
按顺时针方向旋转，则所得向量对应的360︒
复数为______（用代数形式表示）．
【答案】-【分析】根据复数除法运算的三角表示及几何意义，应用除法法则计算即可.
【详解】复数对应的向量绕原点O 按顺时针方向旋转，则所得向量对应的复数为
360
︒
.()(
)cos 33060isin 33060=︒-︒+︒-︒=-⎤⎦故答案为：.
-14．如图，在三棱锥中，，，过点A
作截-P ABC 8PA PB
PC ===40APB APC BPC ∠=∠=∠=︒面，分别交侧棱PB ，PC 于E ，F 两点，则△AEF 周长的最小值为______．
【答案】【分析】沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图，则即为周长的最小PA -P ABC AA 'AEF △值，在中，由余弦定理能求出的值．
PAA '△AA '【详解】如图，沿着侧棱把三棱锥展开在一个平面内，如图所示：
PA -P ABC
则即为的周长的最小值，
AA 'AEF △在中，，，
PAA '△340120APA '∠=⨯︒=︒8PA A P '==
由余弦定理得：．
AA '=
故答案为：
15．在中，内角，，所对应的边长分别为，，，且，
ABC ∆A B C a b c cos C =，则的外接圆面积为__________．
cos cos 2b A a B +=ABC ∆【答案】9π
【分析】根据正弦定理得到，再根据得到答案.()1sin sin A B C R +==cos C =1sin 3C =【详解】由正弦定理知：，
cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=
即，，，()1sin sin A B C R +==cos C 1sin 3C =即.故.
3R =29S R ππ==故答案为9π
【点睛】本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.
16．德国机械学家莱洛设计的菜洛三角形在工业领域应用广泛．如图，分别以等边三角形的ABC 顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形．若该等边三
角形的边长为，为弧上的一个动点，则的最小值为______．ABC 1P AB ()
PA PB PC ⋅+
【答案】
52【分析】以为原点建立平面直角坐标系，则为单位圆上一点，利用任意角的三角函数定义，设C P 点的坐标，用向量的坐标运算求解即可.
P 【详解】
由已知，弧是以为圆心，为半径的圆的一部分，
AB C 1以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，则由
C BC x C BC y 已知，，
，
12A ⎛- ⎝()1,0B -()0,0C 由任意角的三角函数的定义，设，，
()cos ,sin P θθ2π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则
，，
，1cos sin 2PA θθ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ()1cos ,sin PB θθ=--- ()cos ,sin PC θθ=-- ∴，
()12cos ,2sin PB PC θθ+=--- ∴()
(
)()1cos 12cos sin 2sin 2PA PB PC θθθθ⎫⎛⎫=⋅+⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭-⋅+-⎭---
2212cos 2cos 2sin 2
θθθθ=++
+52θθ⎫=⎪⎪⎭
令
，则， cos ϕ
=sin
ϕ=()
()52PA PB PC θϕ=+⋅++ 当时，，
πθφ+=πθϕ=
-，()2π1cos cos πcos cos 32θϕϕ=-=-=<=-
()2πsin sin πsin sin 3θϕϕ=-==<=∴存在，使，即，
2π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πθφ+=()cos 1θϕ+=-
∴当时，的最小值为
()cos 1θϕ+=-()PA PB PC ⋅+
()
52PA PB PC ⋅+= 故答案为：52四、解答题
17．在复平面内，复数对应的点为，i 为虚数单位，且______．
1z 1Z 从条件①；②为关于x 的方程的一个根，且点位于第一象限；22023
1(1i)3
i 1i z +++=-1z 2250x x -+=1Z ③，其中．选择一个填在横线上，并完成下列问题．（注：若选择
)1cos i sin 1z θθ=+⋅-π
4θ=多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求；
1z (2)若点Z
为曲线（为的共轭复数）上的动点，求Z 与
之间距离的取值范围．
12
1z z -=1z 1z 1Z 【答案】(2)1⎤-+⎦【分析】（1）条件①，利用复数的运算及模的定义求解即可；条件②，由实系数一元二次方程的解法及模的定义求解即可；条件③，利用复数的运算及模的定义求解即可；
（2）解法1：设，可得
，因此曲线是复平面内以圆心，半径i z a b =+22(2)(4)1a b -++=()02,4Z -为1的圆，结合圆的性质求解即可；解法2：由题意可得，因此曲线是复平面内以
()24i 1z --=圆心，半径为1的圆，设，则，可求得()02,4Z -()cos 2,sin 4Z θθ
+-()
1cos 1,sin 6Z Z θθ=+- .
【详解】（1）条件①：
，()()()()2202313i 1i (1i)3i 2i 3i 24i 12i 1i 1i 1i 1i
2z ++++++-+=====+---+所以．
11z =+条件②：由得，
，，所以，2250x x -+=2(1)4x -=-12i
x -=±12i x =±又点位于第一象限，所以，所以1Z 112z i =+11z =+
条件③：因为，所以，
π4θ=)1cos i sin 1112i z θθ⎫=+⋅-=-=+⎪⎪⎭
所以．
11z =+（2）解法1：设，，
i z a b =+,R a b ∈由（1）可得
，，，112i z =-()11,2Z ()()1224i z z a b -=-++由可得，，
121z z -=22(2)(4)1a b -++=因此曲线是复平面内以圆心，半径为1的圆，()
02,4Z -
故与0Z 1Z =
所以Z 与
，1Z 1-1+
故Z 与之间距离的取值范围是．1Z 1⎤⎦解法2：由（1）可得，，112i z =-()11,2Z 曲线，即，121z z -=()24i 1
z --=因此曲线是复平面内以
圆心，半径为1的圆，()02,4Z -设，，则，
()cos 2,sin 4Z θθ+-[)0,2θ∈π()1cos 1,sin 6Z Z θθ=+-
，==tan 6ϕ=
所以，11Z Z ⎤∈+⎦
故Z 与之间距离的取值范围是．1Z 1⎤⎦18．已知函数
的部分图象如图所示．()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭
(1)求函数的解析式，并求函数在上的值域；
()f x ()f x []1,0x ∈-
(2)求方程在区间内的所有实数根之和．
()1
2f x =-[]0,4
【答案】(1)，；()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎡-⎣(2)26
3
【分析】（1）由图得，并求解出周期为，从而得，由点在的图象上，
2A =2T =πω=1,26⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 可得，从而求解得，即可得；由求得ππ2π6
2k ϕ+=+π3ϕ=()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]1,0x ∈-
的值域；π1sin π3x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭()f x （2）作出函数与的图象，可得两个函数在有4个交点，从而得有四()f x 12y =-[]0,4()12f x =-个实数根，再利用三角函数的对称性计算得实数根之和.
【详解】（1）由图可知，
，2A =212π436T ω⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭∴，∴，
πω=()()2sin πf x x ϕ=+又点在的图象上，∴，
1,26⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴，，即，，ππ2π6
2k ϕ+=+Z k ∈π2π3k ϕ=+Z k ∈∵，∴，∴
．π2ϕ<π3ϕ=()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
当时，，所以，所以
．[]1,0x ∈-π2πππ,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦1sin π3πx ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭()f x ⎡∈-⎣
故函数在上的值域为：．()f x []1,0x ∈-⎡-⎣
（2）如图，作出函数
与的图象，()π2sin π3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1
2y =-
由图得
在上的图象与直线有4个交点，()f x []0,412y =-则方程在上有4个实数根，
()1
2f x =-[]0,4设这4个实数根分别为
，且，1234,,,x x x x 1234x x x x <<<由，，得，，
π3ππ2π32x k +=+Z k ∈726x k =+Z k ∈所以可知关于直线对称，∴，12,x x 76x =
1273x x +=关于直线对称，∴，34,x x 196x =34193x x +=∴．
123426
3x x x x =+++19．如图，在直角梯形中，//，，，为上靠近点OABC OA CB OA OC ⊥222OA BC OC ===M AB 的一个三等分点，为线段上的一个动点．
B P BC
(1)用和表示；
OA OC OM (2)设，求的取值范围．
OB CA OP λμ=+ λμ⋅【答案】(1)
2233OM OA OC =+ (2)
30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）从三等分点条件出发，利用“插点”的办法，在向量中加入即可；23AM AB = O （2）易得，根据题干条件将等式右边写成有关表达式，
12OB OC OA =+ OB CA OP λμ=+ ,OC OA
根据平面向量基本定理得出关于的等量关系即可求解.
,λμ【详解】（1）依题意，，12CB OA = 23AM AB = ∴，()()
2222122133333333AM OB OA OC CB OA OC OA OA OC OA =-=+-=+-=- ∴
21223333OM OA AM OA OC OA OA OC ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭ （2）由已知，
12OB OC CB OC OA =+=+ 因是线段上动点，则令
，P BC 102CP xOA x ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ ，
()()()()OB CA OP OA OC OC CP x OA OC λμλμλμμλ=+=-++=++- 又，不共线，根据平面向量基本定理，则有，OC OA 1131222x x λμμλμλμ=--=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨=+=⎪⎪+⎩
⎩，
1330111222x x μ≤≤
⇒≤+≤⇒≤≤在
上递增，()2111()24λμμμμ⋅=-=--31,2μ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，，，，1μ=min ()0λμ⋅=32μ= max 3()4λμ⋅=故的取值范围是．
λμ⋅30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦20．桌状山是一种山顶水平如书桌，四面绝壁临空的地质奇观．位于我国四川的瓦屋山是世界第二大的桌状山，其与峨眉山并称蜀中二绝．苏轼曾有诗云：“瓦屋寒堆春后雪，峨眉翠扫雨余天”
．某地有一座类似瓦屋山的桌状山可以简化看作如图1所示的圆台，图中AB 为圆台上底面的一条东西方向上的直径，某人从M 点出发沿一条东西方向上的笔直公路自东向西以的速度前进，6分钟后到达N 点．在M 点时测得A 点位于北偏西方向上，B 点位于北偏西方向上；在N 45︒15︒点时测得A 点位于北偏东方向上，B 点位于北偏东方向上，且在N 点时观测A 的仰角的正
15︒45
︒．设A 点在地表水平面上的正投影为，B 点在地表水平面上的正投影为，A 'B '，，M ，N 在地表水平面上的分布如图2所示．
A '
B '
(1)该山的高度为多少千米？
(2)已知该山的下底面圆的半径为1.8km ，当该山被冰雪完全覆盖时，冰雪的覆盖面积为多少平方千米？
【答案】(1)0.4千米；
(2)3.9π平方千米
【分析】（1）根据正弦定理结合图形求解可得高度；
（2）由正弦定理求得底面半径，再根据圆台侧面积和底面积公式求得表面积即可.
【详解】（1）由题意可知，75B MN A NM ''∠=∠=︒45A MN B NM ''∠=∠=︒
∴，在△A 'MN 中，由正弦定理60NA M ∠='︒sin sin MN A N NA M A MN
'∠'='∠
，660MN ==A N '=
又∵N 点观测A ，，
0.4AA '==所以，该山的高度为0.4千米．
（2）设的外接圆为圆O ，
'' A MB ∵，根据圆的性质，，，M ，N 四点共圆
30A MB A NB ''''∠=∠=︒A 'B '在中，由正弦定理，圆O 直径为，
A MN '△6sin MN NA M '=∠在中，由正弦定理，'' A M
B 6sin 3
A B A MB ''''=∠=
延长与圆台交于C 点，
A B ''由题意下底面圆半径为1.8km ，圆台的母线长BC 可在直角中由勾股定理得为0.5．BB C '△圆台的侧面积，
()2
33ππ 1.5 1.80.5km 20⋅+⋅=圆台的上底面面积，
229ππ1.5km 4⋅=所以，侧面积与上底面面积相加知：该山被冰雪覆盖的面积为平方千米．
3.9π21．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知
．
sin sin sin sin a A b B c C A +=+(1)求角C 的大小；
(2)若，边AB 的中点为D ，求中线CD 长的取值范围．
2c =【答案】(1)；
π
4
(2)【分析】（1）由正弦定理化角为边得
，再利用余弦定理可得结果；
222a b c +-=（2）由余弦定理结合数量积运算得，由正弦定理可得
，
21CD =
a A =，所以
2cos 2sin b B A A ==+π4sin 24ab A ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭求得的范围，即可得出答案.
ab 【详解】（1）已知，
sin sin sin sin a
A b
B c
C A +=+由正弦定理可得，即
，
222a b c +=22
2a b c
+-=所以
222cos 2a b c C ab +-===因为，所以
．()
0,πC ∈π
4C =（2）由余弦定理可得，
222222cos 4c a b ab C a b =+-=+=又，()
12CD CA CB =+ 则，()()222222111π22cos 4444CD CA CB CA CB CA CB a b ab ⎛⎫=+=++⋅=++ ⎪⎝⎭
()
1414=+=
由正弦定理可得
sin sin sin a b c A B C ===所以，
，
a A
=3π2cos 2sin 4b B A A A ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭所以
，2
1cos2cos 2A ab A A A A -=+=
+4sin 24πA ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭由题意得，解得，则，π023ππ042A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪
⎩ππ42A <
<ππ3π2,444A ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭所以
，所以
，sin 2
4πA ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭
⎦(4ab
∈+所以，所以中线
CD 长的取值范围为．(25,3CD ∈+ 22．如图，已知△ABC 为等边三角形，点G 是△ABC 内一点．过点G 的直线l 与线段AB 交于点
D ，与线段
AC 交于点E ．设，
，且，．AD AB λ= AE AC μ= 0λ≠0μ≠(1)若，求；
2155AG AB AC =+ GAB ABC S S △△(2)若点G 是△ABC 的重心，设△ADE 的周长为，△ABC 的周长为．
1c 2c （i ）求的值；
1
1
λμ+（ii ）设，记
，求的值域．t λμ=()12c f
t t c =-()f t 【答案】(1)；
1
5(2)（i ）3；（ii ）．29⎡⎢⎣
【分析】（1）连接AG 并延长，交BC 于点F ，设，则，由AF mAG = 255m m AF AB AC =+
B ，F ，
C 三点共线可求得，则有，又，可求，，即可得
53m =13BF BC = 53AF AG = FAB ABC S S △△GAB FAB S S △△出结果.
（2）（i ）由题意得，，又D ，G ，E 三点共线，所()
12AF AB AC =+ 211333AG AF AD AE λμ==+ 以，即可得解；（ii ）设△
ABC 的边长为1，则，，在△ADE 中，由余弦
11133
λμ+=AD λ=AE μ=定理得化简
DE =
12c c =113λ
μ+=，所以
的范围及二次函数的性质求解12c c =t λμ=()f t =t 即可得出的值域.
()f t 【详解】（1）连接AG 并延长，交BC 于点F ，
设，则，
AF mAG = 255m m AF AB AC =+ 又B ，F ，C 三点共线，所以，，2155m m +=53m =故，即，2133AF AB AC =+ 3311AF AB AC AB =-- 则有，所以，13BF BC = 13FAB ABC
S BF S BC ==△△
又，所以，所以.
53AF AG =
35GAB FAB S AG S AF ==△△15GAB ABC S S =△△（2）（i ）连接AG 并延长，交BC 于点F ，
因为G 为重心，所以F 为BC 中点，所以，()
12AF AB AC =+ 所以()
22111111332333AG AF AB AC AD AE AD AE λμλμ⎛⎫==⨯+=+=+ ⎪⎝⎭ 又D ，G ，E 三点共线，所以，则．
11133λμ+=113λμ+=（ii ）设△ABC 的边长为1，则，，（）
AD λ=AE μ=(],0,1λμ∈在△ADE 中，，
222222cos60DE AD AE AD AE λμλμ=+
-⨯⨯︒=+-所以
DE =123c AD AE DE c ++==因为，，
1
1
33λμλμλμ+=⇒+=2222()29()2λμλμ
λμλμλμ+=+
-=-所以，
12c c
==因为
，所以
t λμ=()f t t ===因为，，所以，，又，则有，
01λ<≤01μ<≤1
1λ≥11μ≥1
1
32
λμ=-≤112λ≤≤因为
，所以，31λμλ=-22211313113924λλμλλλλ===-⎛⎫---+ ⎪⎝⎭因为，，所以的最小值为，最大值为，112λ≤≤2
13992244λ⎛⎫≤--+≤ ⎪⎝⎭λμ4912所以，单调递增，则，41,92t λμ⎡⎤=∈⎢⎣⎦211636t ⎪⎝⎭-⎛
⎫-2
41118163612t ⎛⎫-- ⎝≤⎪
≤⎭所以，即的值域为．()29f t ⎡∈⎢⎣()f t 29⎡⎢⎣。