北师大版高中数学必修一学学案简单的幂函数

5 简单的幂函数
如果一个函数的底数是自变量x ，指数为常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．例如
y ＝x 2
，13
y x -
=，y =y ＝x π等都是幂函数．
谈重点 幂函数的形式特征 (1)幂x α的系数是1；
(2)幂的底数为自变量x 而不是x 的其他代数式，如2x 或x －1等；
(3)幂的指数位置的数是常数，指数α确定则幂函数确定．对于形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…等形式的函数都不是幂函数．
【例1－1】下列函数是幂函数的为( )．
①21
y x
=
；②y ＝2x 2；③y ＝x 2＋x ；④y ＝(x －2)3；⑤y ＝1. A ．①⑤ B ．② C ．① D ．①②④ 解析：函数21y x
=
可写成y ＝x －2
的形式，是幂函数；y ＝2x 2的系数不是1，y ＝x 2＋x 等式右边是两个幂和的形式，y ＝(x －2)3底数不是自变量x ，y ＝1与y ＝x 0(x ≠0)不是同一函数，所以它们都不是幂函数．
答案：C
解技巧 幂函数的本质特征
幂函数y ＝x α(α∈R )的本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．
【例1－2】若函数y ＝(a 2－3a －3)x 2为幂函数，则a 的值为________．
解析：根据幂函数的定义，若函数y ＝(a 2－3a －3)x 2为幂函数，则x 2的系数必为1，即a 2
－3a －3＝1，所以a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或a ＝4.
答案：－1或4
2．几个常见幂函数的图像特征及性质 根据课程标准的要求，在中学阶段我们只关注y ＝x ，y ＝x 2
，y ＝x 3
，12
y x =和y ＝x －1
这5
个幂函数．下面，在同一平面直角坐标系内作出它们的图像，并观察其图像特征．
从上面的5(1)幂指数α＝－1,1,3时，对应幂函数的图像分布于第一、三象限，且都关于原点对称． (2)幂指数α＝2时，对应幂函数的图像分布于第一、二象限，它关于y 轴对称．
(3)幂指数
1
2
α=时，对应幂函数的图像只分布于第一象限．
(4)在第一象限内，
①图像都过点(1,1)；
②当幂指数
1
2
α=，1,2,3时，对应的幂函数图像从左向右呈上升趋势，且在(1，＋∞)上，
α的值越大，图像越靠上；
③当幂指数α＝－1时，对应的幂函数图像从左向右呈下降趋势．
析规律幂函数的性质
一般地，幂函数y＝xα有以下性质：
当α＞0时：①图像都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
③在第一象限内，α＞1时，图像是向下凸的；0＜α＜1时，图像是向上凸的；④在第一象限内，过(1,1)点后，图像向右上方无限伸展，而且α的值越大，图像越靠上．当α＜0时：①图像都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图像是向下凸的；③在第一象限内，图像向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；④在第一象限内，过(1,1)点后，|α|越大，图像下落的速度越快．
当α为奇数时，幂函数的图像关于原点对称；当α为偶数时，幂函数的图像关于y轴对称．
【例2－1】幂函数y＝xα中α的取值集合C是
1
1,0,,1,2,3
2
⎧⎫
-⎨⎬
⎩⎭
的子集，当幂函数的值域
与定义域相同时，集合C为()．
A．
1
1,0,
2
⎧⎫
-
⎨⎬
⎩⎭
B．
1
,1,2
2
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
C．
1
1,,1,3
2
⎧⎫
-
⎨⎬
⎩⎭
D．
1
,1,2,3
2
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
解析：根据幂函数y＝x－1，y＝x0，
1
2
y x
=，y＝x，y＝x2，y＝x3的图像和解析式可知，当
α＝－1，1
2
，1,3时，相应幂函数的值域与定义域相同．
答案：C
【例2－2】下列函数在(－∞，0)上为减函数的是()．
A．
1
3
y x
=B．y＝x2
C．y＝x3D．y＝x－2
解析：对于函数
1
3
y x
=和y＝x－2的单调性我们不太熟悉，但对于y＝x2的图像和性质我们
记忆深刻，知道y＝x2在(－∞，0)上为减函数．故选B.
答案：B
【例2－3】图中的曲线是四个幂函数在第一象限内的图像，记曲线C1，C2，C3，C4.对应幂函数的幂指数分别为a，b，c，d，则a，b，c，d的大小顺序正确的一组是()．
A ．a ＞b ＞c ＞d
B ．c ＞d ＞a ＞b
C ．a ＞b ＞d ＞c
D ．c ＞d ＞b ＞a
解析：因为在第一象限内，曲线C 1，C 2的函数值随x 的增大而增大，所以a ＞0，b ＞0；又因为C 1的图像是下凸的，C 2的图像是上凸的，所以a ＞1,0＜b ＜1.因为曲线C 3，C 4的函数值随x 的增大而减小，所以c ＜0，d ＜0；又因为当指数为负时，过(1,1)点后，|a |越大，图像下落的越快，所以d ＜c .故a ，b ，c ，d 的大小顺序为a ＞b ＞c ＞d .
答案：A
析规律 幂函数的图像变化规律
在第一象限内，幂函数y ＝x α的过(1,1)点后的图像越靠上，幂指数越大；图像越靠下，幂指数越小．
【例2－4】比较下列各数的大小： (1)1.10.9与0.90.9；
(2)2.5－2与2.4－
2.
分析：两个幂比较大小，若两个幂指数相同，则构造幂函数，利用幂函数的单调性比较幂的大小．对于幂函数y ＝x α，当α＞0时，在区间(0，＋∞)上是增函数；当α＜0时，在区间(0，＋∞)上是减函数．
解：(1)考察幂函数y ＝x 0.9，由于该函数在(0，＋∞)上是增函数，且1.1＞0.9，所以1.10.9
＞0.90.9.
(2)考虑幂函数y ＝x －2，由于该函数在(0，＋∞)上是减函数，又2.5＞2.4，所以2.5－
2＜2.4－2.
3．幂函数解析式的确定
幂函数y ＝x α的解析式比较简单，仅含有一个参数α，因此，指数α确定则幂函数确定．常见的求幂函数解析式的题型有：
(1)已知幂函数图像上一个点的坐标，求其解析式．这时，常用待定系数法，先设幂函数的解析式为y ＝x α，再把已知点的坐标代入，得到关于参数α的一个指数方程，然后解方程求出α，从而确定幂函数的解析式．
(2)已知一个含有参数的幂函数解析式和此函数的一个性质，求其解析式．这时常常结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征来确定参数的值．
【例3－1】已知函数f (x )为幂函数，并且过(2)点，则f (x )＝________. 解析：∵函数f (x )为幂函数， ∴可设其解析式为f (x )＝x α.
∵f (x )的图像过(2)点，
∴f (2)，即2α，
∴1
2
α=.故f (x )＝1
2x .
答案：12
x
【例3－2】已知幂函数22
23
(1)m m y m m x --=--，当x ∈(0，＋∞)时为减函数，则m 的
值为( )．
A ．m ＝2
B ．m ＝－1
C ．m ＝－1，或m ＝2
D ．m ≠
解析：因为函数22
23
(1)m m y m m x --=--是幂函数，所以，根据幂函数的定义可得，m 2
－m －1＝1，即m 2－m －2＝0，解得m ＝－1，或m ＝2.又因为当x ∈(0，＋∞)时幂函数为减函数，所以，根据幂函数的性质可知，m 2－2m －3＜0，把m ＝－1,2依次代入不等式，经检验m
＝－1不符合不等式，故只有m ＝2.此时幂函数解析式为y ＝x －
3.
答案：A
4．幂函数的单调性证明
我们常用函数单调性的定义证明幂函数的单调性，其基本步骤为：取值—作差变形—定号—判断．在比较两个函数值的大小时，除了用作差法外，结合幂函数的特点亦可采用作商法，即任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2，作商21()
()
f x f x ，当此值大于1时为增函数，当此值小于1时为减函数(此时f (x 1)＞0)．
【例4】证明函数f (x )
[0，＋∞)上是增函数．
证明：(方法1)任取x
，x ∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 1－x 2＜0， ∴f (x 1)－f (x 2)
＝
＝
0，
即f (x 1)＜f (x 2)．
由函数单调性的定义可知，f (x )[0，＋∞)上是增函数． (方法
2)任取x 1，x
2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2，则1
2
x x ＜1，且f (x 2)＞0， ∴
12()
1()
f x f x ==
<， 即f (x 1)＜f (x 2)，
由函数单调性的定义可知，f (x )[0，＋∞)上是增函数． 5．函数奇偶性的概念及图像特征
一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f (x )中，f (x )和f (－x )的绝对值相等，符号相反，即f (－x )＝－f (x )；反之，满足f (－x )＝－f (x )的函数y ＝f (x )一定是奇函数．图像关于y 轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f (x )中，f (x )和f (－x )的值相等，即f (－x )＝f (x )；反之，满足f (－x )＝f (x )的函数y ＝f (x )一定是偶函数．当函数f (x )是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性．
谈重点 奇函数、偶函数定义的理解
(1)如果函数f (x )是奇函数或偶函数，那么函数f (x )的定义域一定关于原点对称．因为若x 属于f (x )的定义域，－x 也必须属于f (x )的定义域，这样才能保证函数图像关于原点对称或关于y 轴对称．所以，定义域无此特征的函数一定既不是奇函数也不是偶函数．
(2)当函数f (x )是奇函数或偶函数时，f (－x )＝－f (x )与f (－x )＝f (x )应对定义域内的每一个x 都成立．
(3)若函数f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝－f (x )与f (－x )＝f (x )同时成立，则函数f (x )既是奇函数又是偶函数．如函数f (x )＝0，x ∈[－1,1]既是奇函数又是偶函数．
(4)若奇函数f (x )在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.因为f (x )为奇函数时，对于定义域内的任意x ，有f (－x )＝－f (x )成立，从而有f (－0)＝－f (0)，故f (0)＝0，这是奇函数的一条非常重要的性质，在做题时要引起重视．
(5)在研究函数时，如果知道其图像具有关于y 轴或原点对称的特点，那么我们可以先研究它的一半，再利用对称性了解另一半，从而减少工作量．
【例5－1】下面四个结论：①偶函数的图像一定与y 轴相交；②奇函数的图像一定过原点；③偶函数的图像一定关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是y ＝0(x ∈R )．其中正确的个数是( )．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：可结合我们已学过的函数及奇、偶函数的图像特征来判断．偶函数的图像一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，如函数y＝x0，y＝x－2都是偶函数，但它们的图像不与y 轴相交，故①错误，③正确；奇函数的图像关于原点对称，但不一定过原点，如y＝x－1，故②错误；若函数y＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但未必x∈R，如x∈(－1,1)，只要其定义域关于原点对称即可，故④错误．所以，四个结论中只有③正确，故选A.
答案：A
【例5－2】已知函数f(x)(x∈R)是偶函数，则下列各点中必在函数y＝f(x)图像上的是()．
A．(－a，f(a))
B．(－a，－f(a))
C．(－a，－f(－a))
D．(a，－f(a))
解析：因为函数f(x)(x∈R)是偶函数，所以，若点(a，f(a))在函数y＝f(x)的图像上，由偶函数的图像关于y轴对称可知，点(a，f(a))关于y轴的对称点(－a，f(a))必在函数图像上．
判断函数奇偶性的方法主要有定义法和图像法．
利用定义判断函数y＝f(x)奇偶性的步骤是：
(1)首先考查函数的定义域是否关于原点对称．若定义域关于原点对称，再进行第二步；若不关于原点对称，则说明函数是非奇非偶函数．
(2)验证f(－x)与f(x)的关系．
若f(－x)＝－f(x)，则函数为奇函数；
若f(－x)＝f(x)，则函数为偶函数；
若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则函数既不是奇函数，也不是偶函数；
若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则函数既是奇函数又是偶函数．
也可利用函数的图像特征来判断函数的奇偶性，即函数图像关于原点对称，则为奇函数；函数图像关于y轴对称，则为偶函数；函数图像关于原点和y轴均对称，则既是奇函数也是偶函数；函数图像关于原点和y轴均不对称，则既不是奇函数也不是偶函数．【例6－1】下列函数中是偶函数的是()．
A．y＝2|x|－1，x∈[－1,2]
B．y＝x2＋x
C．y＝x3
D．y＝x2，x∈[－1,0)∪(0,1]
解析：在A中，因为函数y＝2|x|－1的定义域[－1,2]不关于原点对称，故不是偶函数；
在B中，函数y＝x2＋x的定义域为R，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x≠f(x)，不是偶函数；
在C中，函数y＝x3的定义域为R，f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，此函数是奇函数；
在D中，函数y＝x2的定义域[－1,0)∪(0,1]关于原点对称，且f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，故此函数是偶函数．
答案：D
【例6－2】下图是根据y＝f(x)绘出来的，则表示偶函数的图像是图中的________．(把正确图像的序号都填上)
解析：(3)关于y
答案：(3)
7．利用函数的奇偶性求值或比较大小
利用函数的奇偶性可以求函数值或代数式的值，也可以比较两个函数值的大小．例如，如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图像，试作出y轴右侧的图像并求出f(3)的值．
根据奇函数的定义，函数y＝
数图像上，由此可将图像补充如下：
由图像可知f(3)＝－2.
该题也可用奇函数的定义来解．由图像可得，f(－3)＝2.根据奇函数定义，得f(－3)＝－f(3)，所以，f(3)＝－f(－3)＝－2.
【例7－1】函数f(x)＝x＋a2－1是定义在区间(－a2,2a＋3)上的奇函数，则a2 013的值为________．
解析：因为函数f(x)＝x＋a2－1是定义在区间(－a2,2a＋3)上的奇函数，所以，其定义域应关于原点对称，故(－a2)＋(2a＋3)＝0，即a2－2a－3＝0，解得a＝－1或a＝3.又因为函数f(x)在x＝0处有意义，所以f(0)＝0，即a2－1＝0，所以a＝1或a＝－1.综上可知a＝－1，因而a2 013＝(－1)2 013＝－1.
答案：－1
【例7－2】定义在R上的偶函数f(x)在x＞0上是增函数，则()．
A．f(3)＜f(－4)＜f(－π) B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)
C．f(3)＜f(－π)＜f(－4) D．f(－4)＜f(－π)＜f(3)
解析：∵f(x)在实数集R上是偶函数，
∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)．
而3＜π＜4，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(3)＜f(π)＜f(4)，即f(3)＜f(－π)＜f(－4)．
答案：C
【例7－3】已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，则f(4)＝()．A．4B．2C．0D．不确定
解析：因为函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.当x＝2时，由f(2＋x)＝f(2－x)得f(4)＝f(0)＝0.
答案：C
8．利用函数的奇偶性求函数的解析式
定义域关于原点对称的函数，若已知它一侧的解析式，可利用它的奇偶性求出另一侧的解析式．求解方法是：求谁设谁，然后转化到已知的区间上，再利用函数的奇偶性解出要求的f(x)．
【例8】已知函数是定义在R上的偶函数，且x≥0时，f(x)＝－x＋1，则f(x)的解析式为________．
解析：设x＜0，则－x＞0.
∵当x≥0时，f(x)＝－x＋1，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1.
∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴当x＜0时，f(x)＝x＋1.∴f(x)的解析式为f(x)＝
10
10.
x x
x x
-+≥
⎧
⎨
+<
⎩
，，
，
答案：f(x)＝
10
10
x x
x x
-+≥
⎧
⎨
+<
⎩
，，
，
9．利用函数的奇偶性判断函数的单调性
函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要性质．根据奇偶函数的图像特征，可以发现，奇函数在y轴的一侧图像上升时，那么它在y轴的另一侧图像也上升；偶函数在y轴的一侧图像上升时，那么它在y轴的另一侧图像则下降．利用这一性质，我们可以判断函数的单调性．例如：下图是偶函数f(x)的一部分图像，则该函数的单调递增区间是________．
f(x)左侧的图像，如下图，观察图像可得该函数的单调递增区间是(－4，－2)，(0,2)，(4，＋∞)．也就是说，偶函数在y轴右侧的单调递减区间关于原点的对称区间，就是函数在y轴左侧的单调递增区间．根据这一结论，不补充图像也可写出该函数的所有单调递增区间．
【例9】已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)＜0，试问F(x)＝
1 f x()
在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．
分析：根据函数奇偶性与单调性的关系可知，f (x )在(－∞，0)上是增函数，故F (x )＝
1
f x ()
在(－∞，0)上是减函数，要证明此函数的单调性，根据函数的增减性的定义，可以任取x 1＜x 2＜0，进而判定F (x 1)－F (x 2)＝
21121211
f x f x f x f x f x f x ()-()-=
()()()⋅()
的正负．为此，需分别判定f (x 1)，f (x 2)与f (x 2)－f (x 1)的正负，而这可以从已知条件中推出．
解：函数F (x )＝
1
f x ()
在(－∞，0)上是减函数，下面进行证明：任取x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则有－x 1＞－x 2＞0.
∵y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (x )＜0， ∴f (－x 2)＜f (－x 1)＜0.①
又∵f (x )是奇函数，∴f (－x 2)＝－f (x 2)，f (－x 1)＝－f (x 1)．② 由①②得f (x 2)＞f (x 1)＞0.
于是F (x 1)－F (x 2)＝
21121211
f x f x f x f x f x f x ()-()-=
()()()⋅()
＞0， 即F (x 1)＞F (x 2)．∴F (x )＝1
f x ()
在(－∞，0)上是减函数．
解技巧 抽象函数单调性的证明
1．本例为抽象函数问题，证明函数单调性的主要方法是定义法，证明时，应在(－∞，0)内任取x 1，x 2，且令x 1＜x 2，并通过考察其相反数－x 1＞－x 2＞0，充分利用已知条件有针对性地进行证明．
2．本题最容易发生的错误是受已知条件的影响，一开始就在(0，＋∞)内任取x 1＜x 2展开证明．这样就不能保证－x 1，－x 2在(－∞，0)内的任意性而导致错误．
10．利用函数的奇偶性和单调性解抽象函数不等式
例如：设f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且有f (2a 2＋a ＋1)＜f (3a 2－2a ＋1)，求a 的取值范围．
要求a 的取值范围，就要列关于a 的不等式(组)，因而利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”是关键．
由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增知，f (x )在(0，＋∞)上递减．
∵2a 2＋a ＋1＝2⎝⎛⎭⎫a ＋142＋7
8＞0， 3a 2－2a ＋1＝3⎝⎛⎭⎫a －132＋2
3
＞0， 且f (2a 2
＋a ＋1)＜f (3a 2－2a ＋1)， ∴2a 2＋a ＋1＞3a 2－2a ＋1， 即a 2－3a ＜0. 解得0＜a ＜3.
故a 的取值范围是(0,3)．
【例10】若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )＞0的x 的取值范围是( )．
A ．(－∞，2)
B ．(2，＋∞)
C ．(－2,2)
D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以它的图像关于y 轴对称．又它在(－∞，0]上是减函数，所以可知该函数在(0，＋∞)上为增函数．根据这些特征及f (2)＝0，可作出它的图像(如下图)，观察图像可得，使f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
答案：D
析规律抽象函数不等式的解法
求解抽象函数不等式，一般是借助于函数的图像，利用函数的性质(奇偶性、单调性等)，等价转化不等式，得出不等式的解集．
判断分段函数的奇偶性时，往往不知如何下手，突破方法是理解分段函数与函数奇偶性的含义，利用定义法判断分段函数的奇偶性．其判断方法是先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(－x)与f(x)的关系．这里要特别注意x与－x的范围，将它代入相应段的函数表达式中，不能混代．虽然f(x)与f(－x)对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较即可．有些时候，可以先画出分段函数的图像，再借助对称性来判断奇偶性．
【例11】判断函数f(x)＝
(1),0,
(1),0
x x x
x x x
->
⎧
⎨
-+≤
⎩
的奇偶性．
解：函数f(x)的定义域是(－∞，0]∪(0，＋∞)＝R，其关于原点对称．
当x＞0时，有f(x)＝x(x－1)，－x＜0，
∴f(－x)＝－(－x)·(－x＋1)＝－x(x－1)＝－f(x)；
当x＜0时，有f(x)＝－x(x＋1)，－x＞0，
∴f(－x)＝f(－x)(－x－1)＝x(x＋1)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，f(－0)＝0＝－f(0)，
综上可得，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)是奇函数．
谈重点分段函数奇偶性的判断
1．分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关，要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用．
2．判断分段函数的奇偶性，首先要判断其定义域是否关于原点对称．
12．抽象函数奇偶性的判断方法
没有给出函数f(x)的解析式，仅给出了f(x)满足的条件(通常至少有一个恒等式)，这样的函数f(x)称为抽象函数．由于解决抽象函数的策略是赋值法，因此判断抽象函数的奇偶性也是利用赋值法凑出f(－x)与f(x)的关系式．
例如：已知函数f(x)的定义域是不为0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
求证：f(x)是偶函数．
函数的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称．根据偶函数的定义，只需证f(－x)＝f(x)．令x1＝x2＝1，由f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)可得f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
令x1＝x2＝－1，得f(1)＝f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，∴2f(－1)＝0.∴f(－1)＝0.
∴f(－x)＝f[(－1)·x]＝f(－1)＋f(x)＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
【例12】已知定义在实数集上的函数y＝f(x)满足条件：对于任意的x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．求证：
(1)f(0)＝0.
(2)f(x)是奇函数，试举出两个这样的函数．
(3)若当x≥0时，f(x)＜0，
①试判断函数f(x)在R上的单调性，并证明之；
②判断函数|f(x)|＝a所有可能的解的个数，并求出对应的a的范围．证明：(1)∵对于任意的x，y∈R，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
∴令x＝y＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.
(2)令y＝－x，由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)得
f[x＋(－x)]＝f(x)＋f(－x)，即f(0)＝f(x)＋f(－x)．
∵f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)．故f(x)是奇函数．
例如：y＝－2x，y＝3x.
(3)①函数f(x)在R上是减函数，下面进行证明：
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0.
∵当x≥0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0.
又∵f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)，
∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．
∴函数f(x)在R上是减函数．
②根据函数f(x)的单调性可知，
当a＞0时，|f(x)|＝a的解有两个；
当a＝0时，|f(x)|＝a的解有一个；
当a＜0时，|f(x)|＝a无解．。