广东省高考数学 立体几何最新联考试题分类汇编(7)

广东省各地市2010年高考数学最新联考试题（3月-6月）分类汇编第7部分:
立体几何
一、选择题:
7. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科） 用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是（ ）.
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
【答案】A
【解析】由正视图、侧视图可知，体积最小时，底层有3个小正方体，上面有2个，共5个；体积最大时，
底层有9个小正方体，上面有2个，共11个，故这个几何体的最大体积与最小体积的差是6.故选A 9．（广东省惠州市2010届高三第三次调研文科）
如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是
边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那 么这个几何体的全面积为 （ ） A ．
3
π2
B ．2π
C ．3π
D ．4π 【答案】A
【解析】由三视图知空间几何体为圆柱，∴全面积为2
113
π()22π1π2
22
⨯⨯+⨯
⨯=，∴选A ． 【考点定位】本题考查立体几何中三视图，三视图是新课标的新增内容，在以后的高考中有加大的趋势。

【备考要点】复习时，仍要立足课本，务实基础。

（3）（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）如图，在矩形ABCD 中，E BC AB ,3,4==
是CD 的中点，沿AE 将ADE ∆折起，使二面角
B AE D --为︒60，则四棱锥ABCE D -的体积是（ A ）
A 、
13399 B 、133927 C 、13 D 、13
13
27 2．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O ﹐球面上有两个点A ，B 的坐标分别为()1,2,2A ，()2,2,1B -，则AB =（ C ）
A ．18
B ．12
C ．
D ．5．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）已知p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由线面垂直的判定定理容易得出答案B.
【考点定位】本题考查立体几何中垂直关系的判定以及简易逻辑的有关知识.这两部分知识都是高考的重点，在高考中选择题、填空题和解答题出现,同时在知识的交汇点命题也是高考的热点. 【备考要点】立足课本，务实基础,同时要注意各部分知识的整合.
3．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)如图1，一个简单组合体的正视图和侧视图都
是
由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形， 俯视图是一个半径为3的圆（包括圆心）．则该 组合体的表面积（各个面的面积的和）等于( C ) A ．π15 B ．π18 C ．π21 D ．π24
5．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)如图，一
个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何
体的表面积是( B )
A ．4+
B ．12
C ．
D ．8
2．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)已知E ，F ，
G ，
H 是空间四点，命题甲：E ，F ，G ，H 四点不共面，命题乙：直线EF 和GH 不相交，则甲是乙成
立的( A ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、填空题: 11．（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科） 某师傅用铁皮制作一封闭的工件，其直观图的三视 图如右图示（单位长度：cm ，图中水平线与竖线垂直）， 则制作该工件用去的铁皮的面积为 2
cm ． （制作过程铁皮的损耗和厚度忽略不计）
D
C B
A
P
【答案】2100(3cm
【解析】由三视图可知,该几何体的形状如图，它是底面为正方形 各个侧面均为直角三角形的四棱锥，用去的铁皮的面积即该棱锥的
表面积为
100(3S =2cm .
【考点定位】本题以实际应用题为背景考查立体几何中的三视图. 三视图是新课标的新增内容,在以后的高考中有加在的力度. 13．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）如图4，点O 为正方体ABCD A B C D ''''-的中心，
点E 为面B BCC ''的中心，点F 为B C ''的中点，则空间四边形D OEF '在该正方体的面上的正投影可能是 （填出所有可能的序号）．①②③
三、解答题 18．（2010年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）（本小题满分14分）
如图6，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C 、D 的点，3AE =，圆O 的直径为9． （1）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ；
（2）求二面角D BC E --的平面角的正切值． 18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、空间向量及坐标运算等知识，考查
数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵AE 垂直于圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面上，
∴AE ⊥CD ．
在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，
∵AD AE A =，∴CD ⊥平面ADE ． ∵CD ⊂平面ABCD ，
∴平面ABCD ⊥平面ADE ．
（2）解法1：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，
∴CD DE ⊥．
∴CE 为圆O 的直径，即9CE =． 设正方形ABCD 的边长为a ，
在Rt △CDE 中，2
2
2
2
81DE CE CD a =-=-，
在Rt △ADE 中，2222
9DE AD AE a =-=-， 由2
2
819a a -=-
，解得，a =
∴6DE =
=．
过点E 作EF AD ⊥于点F ，作FG
AB 交BC 于点G ，连结GE ，
由于AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ， ∴EF AB ⊥． ∵AD AB A =，
∴EF ⊥平面ABCD ． ∵BC ⊂平面ABCD ，
∵BC FG ⊥，EF FG F =，
∴BC ⊥平面EFG ． ∵EG ⊂平面EFG ， ∴BC EG ⊥．
∴FGE ∠是二面角D BC E --的平面角．
在Rt △ADE
中，AD =3AE =，6DE =， ∵AD EF AE DE ⋅=⋅，
∴5AE DE EF AD ⋅=
==
． 在Rt △EFG
中，FG AB == ∴2
tan 5
EF EGF FG ∠=
=． 故二面角D BC E --的平面角的正切值为25
． 解法2：∵CD ⊥平面ADE ，DE ⊂平面ADE ， ∴CD DE ⊥．
∴CE 为圆O 的直径，即9CE =． 设正方形ABCD 的边长为a ，
在Rt △CDE 中，2
2
2
2
81DE CE CD a =-=-， 在Rt △ADE 中，2
2
2
2
9DE AD AE a =-=-， 由2
2
819a a -=-
，解得，a =
∴6DE ==．
以D 为坐标原点，分别以ED 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则
G
F
z
()0,0,0D ，()6,0,0E -
，()0,C -，()6,0,3A -，
()
6,B --．
设平面ABCD 的法向量为()1111,,x y z =n ，
则110,0.DA DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n
即111630,0.x z -+=⎧⎪⎨-=⎪
⎩ 取11x =，则()11,0,2=n 是平面ABCD 的一个法向量． 设平面BCE 的法向量为()2222,,x y z =n ，
则220,0.EB EC ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n
即222230,60.
z x ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩ 取22y =
，则22,=
n 是平面ABCD 的一个法向量．
∵()
(121
2121,0,25,2,2cos ,===
⋅n n n n n n ， ∴12sin ,=n n ． ∴122tan ,5
=
n n ． 故二面角D BC E --的平面角的正切值为
25
． 17．（2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题）（本小题满分14分）
如图6，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且3AE =，6AB =． （1）求证：AB ⊥平面ADE ；
（2）求凸多面体ABCDE 的体积．
17．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形
结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，
∴AE ⊥CD ．
在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，
∵AD AE A =，∴CD ⊥平面ADE ．
∵AB
CD ，
∴AB ⊥平面ADE ．
A
B C D E
图5
故所求凸多面体ABCDE
的体积为
解法2：在Rt △ADE 中，3AE =，6AD =，
∴DE =
=
连接BD ，则凸多面体ABCDE 分割为三棱锥B CDE - 和三棱锥B ADE -． 由（1）知，CD ⊥DE ．
∴11
622
CDE S CD DE ∆=⨯⨯=⨯⨯= 又AB CD ，AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，
∴AB
平面CDE ．
∴点B 到平面CDE 的距离为AE 的长度．
∴11
333
B CDE CDE V S AE -∆=⋅=⨯= ∵AB ⊥平面ADE ，
∴11633B ADE ADE V S AB -∆=
⋅==． ∴ABCDE B CDE B ADE V V V --=
+= 故所求凸多面体ABCDE
的体积为
A
B
C
D
E
18. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）（本小题满分14分） 如图所示，在正方体
1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点
(1)若F 为1AA 的中点，求证: EF ∥面11DD C C ； (2) 若F 为1AA 的中点,求二面角1A EC D --的余弦值； （3）若F 在1AA 上运动时（F 与A 、1A 不重合）
， 求当半平面1D EF 与半平面ADE 成4
π
的角时，线段1A F FA 与的比.
为等腰梯形， ………………………5分
又
119
22
EFD C S =
=梯形，12332ADCE S =⨯⨯=梯形 ………………………7分
∴ 132cos 932
ADCE EFD C S S θ=
==梯形梯形 ∴ 二面角1A EC D --的余弦值为2
3。

…………9分 （3）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，()20<<=x x AF ，则 ()()()()()10,0,0,2,0,0,2,1,0,0,0,2,2,0,D A E D F x ， ∵ 1DD ADE ⊥面，
∴ 取()的法向量为面ADE DD 2,0,01= ………11分 设面1D EF 的法向量为，()n =111x ，y ，z
A 11
C
∵ ()()1,D E EF ==2，1，-20，-1，x ∴ 11111220
x y z y xz +-=⎧⎨-+=⎩ 取12z =，则()n =2-x ，2x ，2
∵
半
平
面
1D EF
与半平面
A D 成
4
π角∴
(11cos
4
2
DD n DD n
π
⋅=
==⋅
………………………13分
∴ 45x =
，即1446,2555FA A F ==-=∴ 线段1A F FA 与的比为32。

…………14分 注：本题的方法多样，不同的方法请酌情给分。

18．（广东省惠州市2010届高三第三次调研文科）（本题满分14分）
证明：（1）ABCD AC ABCD PA 面面⊂⊥, ，∴AC PA ⊥ ……2分 又AB PAB PA A AC PA AC AB 面
面⊂⊂=⋂⊥,,,
PAB AB PAB PA A AC PA 面面⊂⊂=⋂,,, …………5分 ∴PAB AC 面⊥ ∴PB AC ⊥ …………7分
（2）连结BD 交AC 于点O ，并连结EO ， 四边形ABCD 为平行四边形
∴O 为BD 的中点 又E 为PD 的中点 ∴在PDB ∆中EO 为中位线，PB EO //
AEC EO AEC PB 面面⊂⊄, ∴AEC PB 面// …………………………14分
18．（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科）（本题满分14分）
右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ， //EC PD ，且2PD EC =， （1）求证：BE//平面PDA ；
（2）若N 为线段PB 的中点，求证：EN ⊥平面PDB ；
P
B
C
A
D
E
N
E
D
C
B A P
F
x
P A B
C D E
（3
）若
PD
AD
=PBE 与平面ABCD 所成的二面角的大小．
18．解：（1）证明：∵//EC PD ，PD ⊂平面PDA ，EC ⊄平面PDA
∴EC//平面PDA ,
同理可得BC//平面PDA ----------------------------------------------------------------------------------2分 ∵EC ⊂平面EBC,BC ⊂平面EBC 且EC BC C = ∴平面BEC //平面PDA ---------------------------------------------------------------------------------3分 又∵BE ⊂平面EBC ∴BE//平面PDA--------------------------------------------------------------4分 （2）证法1：连结AC 与BD 交于点F, 连结NF ， ∵F 为BD 的中点，
∴//NF PD 且1
2NF PD =
,--------------------------6分 又//EC PD 且1
2
EC PD =
∴//NF EC 且NF EC =
∴四边形NFCE 为平行四边形-------------------------7分 ∴//NE FC ∵
DB AC ⊥,PD ⊥平面ABCD , AC ⊂面ABCD ∴AC PD ⊥， 又PD BD D =
∴AC ⊥面PBD ∴NE ⊥面PDB ------------------------------------------------------------9分
[证法2：如图以点D 为坐标原点，以AD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组
合体的底面边长为1，PD a = 则(1,1,0),(0,1,0),(0,0,),B C P a
(0,1,)2a E ,11(,,)222a
N --------------------------------6分
∴11
(,,0)22EN =-,(1,1,)PB a =-,(1,1,0)DB =
∵11
110022
EN PB a ⋅=⨯-⨯-⨯=,
P
A
B
C
D
E
11
1100022
EN DB ⋅=⨯-⨯+⨯=
17．（2010年广东省揭阳市高考一模试题文科）（本题满分14分）
右图为一简单组合体，其底面ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，
//EC PD ，且2PD AD EC ===2 .
（1）答题卡指定的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框 内画出该几何体的正(主)视图和侧(左)视图；
（2）求四棱锥B －CEPD 的体积； （3）求证：//BE 平面PDA ．
正视图
侧视图
俯视图17．解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----3分 (2)∵PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PDCE ∴平面PDCE ⊥平面ABCD
∵BC CD ⊥ ∴BC ⊥平面PDCE ----------5分 ∵11
()32322
S PD EC DC =
+⋅=⨯⨯=梯形PDCE --6分 ∴四棱锥B －CEPD 的体积
11
32233
B CEPD PDCE V S B
C -=⋅=⨯⨯=梯形.----8分
(3) 证明：∵//EC PD ，PD ⊂平面PDA ， EC ⊄平面PDA
∴EC//平面PDA ,------------------------------------10分同理可得BC//平面PDA ----------------------------11分 ∵EC ⊂平面EBC,BC ⊂平面EBC 且EC BC C = ∴平面BEC //平面PDA -----------------------------13分
又∵BE ⊂平面EBC ∴BE//平面PDA------------------------------------------14分
（18）（广东省江门市2010届高三数学理科3月质量检测试题）（本题满分14分）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，P A =AD =2，B
D
=
2
2.
（Ⅰ）求点C 到平面PBD 的距离.
（Ⅱ）在线段PD 上是否存在一点Q ,使CQ 与平面PBD 所成的角的正弦值为
9
6
2，若存在，指出点Q 的位置，若不存在，说明理由。

（18）（Ⅰ）在R t △BAD 中，AD =2，BD =22，
∴AB =2，ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC . ………1分 ∵P A =AB =AD =2，∴PB =PD =BD =22 ………2分
设C 到面PBD 的距离为d ，由PBD C BCD P V V --=，有11
3
3BCD
S PA S ∆⋅⋅=
⋅即201111
222sin 603232
d ⨯
⨯⨯⨯=⋅⋅⋅，…4分 得33
2
=d ………5分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系 因为Q 在DP 上，所以可设()10<<=λλ，………6分
又()2,2,0-= ,
()()()λλλλλ2,22,02,2,00,2,0-=-+=+=+=∴
()λλ2,22,0-∴Q ,()()λλλλ,,122,2,2--=--=∴.………8分
D
P
A
B C
易求平面PBD的法向量为()1,1,1
=，………10分（应有过程）所以设CQ与平面PBD所成的角为θ，则有：
2
2
1
3
1
cos
sin
λ
θ
+
=
=
=………12分
所以有6
9
2
2
1
3
1
2
=
+λ
，
16
1
2=
λ，1
0<
<λ
，
4
1
=
∴λ………13分
所以存在且DP
DQ
4
1
=………14分
18．（广东省深圳高级中学2010届高三一模理科）（本题满分14分）
在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯，a
BC
AB
BC
AD
BAD=
=
=
∠,
//
,
90 ，
PD
ABCD
PA
a
AD,
,
2底面
⊥
=与底面成30°角.
（1）若E
PD
AE,
⊥为垂足，求证：PD
BE⊥；
（2）在（1）的条件下，求异面直线AE与CD所成
角的余弦值；
（3）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的正切值.
18．(本小题满分14分)
解法一：（1）AD
BA
BAD⊥
∴
=
∠,
90
.
,
,
.
.
.
,
.
,
BAE
PD
A
AE
BA
AE
PD
BA
PD
PAD
PD
PAD
BA
A
AD
PA
PA
BA
ABCD
PA
平面
且
又
平面
平面
又
底面
⊥
∴
=
⊥
⊥
∴
⊂
⊥
∴
=
⊥
⊥
.
,PD
BE
BE
PD⊥
⊥
∴即…………4分
（2）过点E作EM//CD交PC于M，连结AM，则AE与ME所成角即为AE与CD所成
角
.423
3
4332.
2,33
3
34)332(.33
4233
2.3
3
4,3322,30,90,.
30.30,22a a a
a PD PE CD ME a CD a a a PD PA PE a a a
a PD AD PA AE a PD a PA a AD PDA PAD PAD Rt PDA ABCD PD ABCD PA =⋅=⋅=∴=====⋅=⋅=∴==
∴==∠=∠∆∴=∠∴⊥ 中在角成与底面且底面
.4
2
cos ,.
,
..
,,.
,,
90,,2,2,2.
222==
∠∆∴⊥⊂⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥∴=∠∴+=∴===∆AE ME MEA AME Rt AM ME PAC MA PAC ME PA ME CD PA ABCD PA AC ME AC CD ACD CD AC AD a CD a AC a AD ACD AC 中在平面平面底面又中在连结
∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为
4
2
…………9分
（3）延长AB 与DC 相交于G 点，连PG ，则面PAB 与面PCD 的交线为PG ，易知CB ⊥平面PAB ，过B 作
,,,PG CF CF F PG BF ⊥⊥则连点于
,2
1
//
,
AD CB A PG C CFB 的平面角为二面角--∠∴
=
,
22
tan ,2
21,30.2,3
3
2,30,====
∴=∠∴==
=∠==∴a a BFC a GB BF PGA a AG a PA PDA a AB GB
（3）易知，,,PA CB AB CB ⊥⊥
则PAB PAB CB 是平面平面∴⊥.
的法向量.
.
2tan .5
55
)3(110030110|
|||cos ,)3,1,1(,
1.3,.0,033
2.0,0),0,,(),3
3
2,,(.,),,,().
0,,0(2
22222=∴=
⋅=++⋅++⨯+⨯+⨯=⋅=
=∴=⎩⎨
⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-
+=⋅=⋅∴-=-=⊥⊥==∴θθθa a a a m BC y y z y x ay ax az ay ax CD m PC m a a a a a CD PC z y x PCD a 则所成角为设向量令得由而则的一个法向量为又设平面
∴平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的正切值为2. …………14分
17．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)（本小题满分12分）
如图5，已知直角梯形ACDE 所在的平面垂直于平面ABC ，90BAC ACD ∠=∠=︒，60EAC ∠=︒，
AB AC AE ==．
（1）在直线BC 上是否存在一点P ，使得//DP 平面EAB ？请证明你的结论； （2）求平面EBD 与平面ABC 所成的锐二面角θ的余弦值．
解：（1）线段BC 的中点就是满足条件的点P ．…1分
证明如下：
取AB 的中点F 连结DP PF EF 、、，则
AC
FP //，
AC FP 2
1
=， …………………2分
取AC 的中点M ，连结EM EC 、， ∵AC AE =且60EAC ∠=︒， ∴△EAC 是正三角形，∴AC EM ⊥． ∴四边形EMCD 为矩形， ∴
AC MC ED 2
1=
=．又∵
AC ED //，………3分
∴FP ED //且ED FP =，
四边形EFPD 是平行四边形．……………………4分 ∴EF DP //，
而EF ⊂平面EAB ，DP ⊄平面EAB ，
∴//DP 平面EAB ． ……………………6分
（2）（法1）过B 作AC 的平行线l ，过C 作l 的垂线交l 于G ，连结DG ，
∵AC ED //，∴l ED //，
l 是平面EBD 与平面ABC 所成二面角的棱．……8分
∵平面EAC
⊥平面ABC ，AC DC ⊥，∴⊥DC 平面ABC ， 又∵⊂l 平面ABC ，∴⊥l 平面DGC ，∴DG l ⊥， ∴DGC
∠是所求二面角的平面
角．………………10分
设a AE AC AB 2===，则a CD 3=
，
a GC 2=，
∴a CD GC GD 72
2
=+=，
∴
7
7
2cos cos =
=∠=GD GC DGC θ． ………12分 （法2）∵90BAC ∠=︒，平面EACD ⊥平面
ABC ，
∴以点A 为原点，直线AB 为x 轴，直线AC 为y 轴，建立空间直角坐标系xyz A -，则z 轴在平面
A
B
C
D
E P
M
F
G
EACD 内（如图）．
设a AE AC AB 2===，由已知，得)0,0,2(a B ，)3,
,0(a a E ，)3,2,0(a a D ．
∴)3,,2(a a a --=，)0,,0(a =， ………………………8分 设平面EBD 的法向量为),,(z y x =n ， 则⊥n 且⊥n ， ∴⎩⎨
⎧=⋅=⋅.
0,
0n n
∴⎩
⎨⎧==--.0,032ay az ay ax
解之得⎪⎩⎪⎨⎧==.
0,2
3y z x
取2z =，得平面EBD 的一个法向量为
)2,0,3(=n . …………………………10分
又∵平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(='n ．
7
7
210020)3(120003,cos cos 2
22222=
++⋅++⨯+⨯+⨯=
>'<=θn n ．………………………12分 说明：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想
象能力和逻辑推理能力．
18．(2010年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试文科)（本小题满分14分）
如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点E 在棱1CC
且12
1
11==
==AB BC E C CC ． (Ⅰ) 求证：1D E //平面1ACB ； (Ⅱ) 求证：平面11D B E ⊥平面1DCB ；
（Ⅲ）求四面体AC B D 11的体积 解：（Ⅰ）证明：连1AD
∴四边形11ED AB 是平行四边形 ………2分
则11//AB E D。