第四篇专题1 泰勒展开

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专题壹逍遥剑法——泰勒展开式【例1】验证下列函数的麦克劳林公式：
（1）cos x =1 - x2
+
2!
x4
( 1)
4!
x2m 2m
(2m)! o(x ) ；
（2）
1
1-x
=1+x +x2+⋯+x n+o(x n)
1
1+x
= 1-x +x2+⋯+ (-1) n x n+o(x n) ．
【例2】写出f (x) =e-2x的麦克劳林公式．
m
308
309
2 x - 1
（1）讨论 f (x ) 的单调性；
（2）设 g (x ) = f (2x ) - 4bf (x ) ，当 x > 0 时， g (x ) > 0 ，求b 的最大值； （3）已知1.4142 < < 1.4143 ，估计ln 2 的近似值（精确到0.001) ．
2
x
（1）若 f (x ) ≥ 0 恒成立，求 k 的取值范围
（2）若2.2360 < x < 2.2361 ，估值ln 5
（精确到 0．001）．
4
310
，
A ． (-∞ ，0]
B ． (-∞ ，1]
C ． [0 ，+ ∞)
D ． [1，+ ∞)
{1} B ．{- 1}
6
2
2
2ax 2
- x - 1
C ． [- 1 ，+ ∞)
2
D ． (-∞ 1
]
2
A ．
311
（1）若 a = 0 ，证明：当 -1 < x < 0 时， f (x ) < 0 ；当 x > 0 时， f (x ) > 0 ； （2）若 x = 0 是 f (x ) 的极大值点，求 a 的值．
， a > 0 ．
（1）若 a ≥ 1，证明：当 x ∈ (0
π
时， f (x ) > 0 ；
， )
2
（2）若 x = 0 是 f (x ) 的极大值点，求正实数 a 的取值范围．
的取值范围．
【例 11】已知函数 f (x) =e x+ax2-x
（1）当 a = 0 时，求曲线y =f (x) 在点A(0 ，f (0)) 处的切线；
（2）若x = 0 为 f (x) 的一个极小值点，求a 的取值范围．
312
（1）当 a = 0 时，求函数f (x) 的单调区间；
（2）若 f (x) 有极小值且极小值为0 ，求 a 的值．
（1）当a = 1时，若f (x) ≥m 在(0 ，+∞) 上恒成立，求m 的范围；
（2）当 a ≥1
时，若x = 0 不是f (x) 的极值点，求实数 a 的值．
2
313
的值为（）
A．1
3
B．
1
2
C．1 D．2
A．e + 1
2
B．
e - 1
2
C．
1
2
D．
e
2
4 2
则该切线在y 轴上的截距为．
A．(0 ，2] B．(0 ，1]C．(0 ，e] D．(0 ，π)
314
6
（1）讨论f (x) 的导函数 f '(x) 零点的个数；
（2）若对任意的x ≥ 0 ，f (x) ≥ 0 成立，求 a 的取值范围．
（1）当 a = 0 时，证明：当x ≥ 0 时，f (x)≥ 0 ；
（2）当x ≥ 0 时， f (x)≥ 0 恒成立，求a 的取值范围．
（1）证明：f '(x) 在区间(0 ，π) 存在唯一零点；
（2）若x ∈[0 ，π] 时， f (x) ≥ax ，求 a 的取值范围．
315
316
( )=
- ∈ π
≤ ( )≤ x 3
ax sin x ，x [0 ， 2
]，其中 a 为常数，当 a
1时，证明：f x
．
6
x
（1）求 a 的取值范围；
（2）证明： f (x ) > a (sin x + 1)
．
x
在 x = x 处取得极值，且 x ∈ (1 5
) ．
0 0
， 4 （1）求 f (x ) 的极值；
5
（2）若 x > 0 时，不等式 f (x ) - f (-x ) > ax 恒成立，求实数a 的取值范围．（参考数据：e ≈ 2.72 ，e 4 ≈ 3.49 ）
达标训练
A．(-∞，0) B．(-∞，1) C．(-∞，0] D．(-∞，1]
A．当k = 1时，f (x) 在x = 1处取得极小值B．当k = 1时，f (x) 在x =1处取得极大值
C．当k = 2 时，f (x) 在x = 1处取得极小值D．当k = 2 时，f (x) 在x = 1处取得极大值
A．-1 B．0 C．1 D．±1
317
318 ( （1）求 f (x ) 的单调区间；
sin x ．
2 + cos x
（2）如果对任何 x ≥ 0 ，都有 f (x ) ≤ ax ，求 a 的取值范围．
（1）求函数 f (x ) 的图象在 π，1) 处的切线方程；
2
（2）若任意 x ∈ (0 ，+ ∞) ，不等式 f (x ) < ax 3 恒成立，求实数 a 的取值范围；
-2x x 3
， g (x ) = ax + + 1 + 2x cos x ，当 x ∈[0 ，1] 时：
2 （1）求证：1 - x ≤ f (x ) ≤ 1 ；
1 + x
（2）若 f (x ) ≥ g (x ) 恒成立，求实数 a 的取值范围．
319 （1）求常数b 的值；
（2）当0 ≤ x ≤ 1时，关于 x 的不等式 f (x ) ≥ 0 恒成立，求实数 a 的取值范围；
（3）求证： (1001)10000.4 < e < (101)1000.5 ．
1000 100
10．已知 f (x ) = ax 2 + b
x
， g (x ) = 2ln x ，曲线 y = f (x ) 在点(1，f (1)) 处的切线方程为 2x - y - 2 = 0 ．
（1）求 a ， b 的值；
（2）若当 x ≥ 1时， g (x ) ≤ mf (x ) 恒成立，求 m 的取值范围；
（3）已知 = 1.732 ，试估算ln 4 的近似值(精确到0.01)
3
3
2
（2）当 a ≥ 1时，∀x ∈[0 ，+∞) ，证明不等式xe ax+x cos x + 1 ≥ (1 + sin x)2恒成立．
320。