六自由度机器人NURBS轨迹规划研究

六自由度机器人NURBS轨迹规划研究
乐英;任书娴
【摘要】针对机器人在运动过程中遇到较大的冲击和振动问题,为减轻冲击和振动的影响得到平滑的线条,延长机器人的使用寿命,以实验室的六自由度机器人为研究
对象,分别采用五次多项式,五次NURBS规划机器人的运动轨迹,在MATLAB平台
上进行仿真验证.规划结果表明:采用五次NURBS规划的运动轨迹加速度曲线光滑
连续没有突变,运动性能优于五次多项式样条.
【期刊名称】《现代制造技术与装备》
【年(卷),期】2018(000)011
【总页数】3页(P25-27)
【关键词】六自由度机器人;NURBS轨迹规划;MATLAB
【作者】乐英;任书娴
【作者单位】华北电力大学能源动力与机械工程学院,保定 071000;华北电力大学能源动力与机械工程学院,保定 071000
【正文语种】中文
规划机器人运动轨迹的目的是研究可靠的方法提高机器人运动轨迹的精度和稳定性，使各关节位移、速度、加速度、加速度曲线光滑连续无突变，避免因为突变导致的机械磨损和振动冲击[1]。

机器人轨迹规划通常分为笛卡尔空间的轨迹规划和关节
空间的轨迹规划。

这里我们对关节空间进行轨迹规划[2]。

机器人常用轨迹规划方法包括多项式、样条曲线和不同曲线相结合的方法。

在实际工程中常采用多项式进行规划。

在曲线拐角处采用五次多项式过渡法进行轨迹规划[3]。

采用五次多项式对SCARA机器人关节空间进行轨迹规划研究[4]。

采用七次
多项式规划机器人关节轨迹，此法易发生“龙格现象”[5]。

采用三次B样条插补
规划出机器人的时间—平滑性综合最优轨迹[6]。

文献采用三次非均匀有理B样条
规划机器人关节轨迹。

由于这些方法的加速度曲线或者加加速度曲线有突变，故得到运动轨迹效果不够理想[7]。

针对运动轨迹不够平滑和精度不高的问题。

本文以实验室六自由度机器人为研究对象，基于MATLAB平台采用五次NURBS规划机器人关节轨迹，并与五次多项式规划的机器人关节轨迹进行对比分析，选择效果更好的轨迹规划方法。

1 关节空间轨迹规划
采用五次多项式、五次NURBS规划机器人关节轨迹时，由已知的笛卡尔空间原始路径点，通过机器人逆解原理求解出关节空间的各关节位移值，结合不同规划方法的求解算法，求出相应的速度及加速度得到不同的关节运动轨迹曲线。

1.1 五次多项式样条
五次多项式样条中，任意两节点间曲线段由五次多项式拟合生成，五次多项式表达式中共有六个未知系数，对其求一阶、二阶求导得到机器人末端关于时间t的速度、加速度表达式如式（1）～式（3）所示[8]。

式中，与起始和终止时间点t0、tf对应的角位移θ0和θf为已知，且满足条件如
式（4）所示。

在每段多项式起始点和终止点处满足二阶连续，设置
始末点的速度、加速度，且满足条件如式（5）所示。

已知每个点的角位移值，设定其角速度和角加速度为0，两点共可得到六个已知条件。

将已知条件代入公式（1）、（2）、（3）中并联立求解，解出所有未知系数。

1.2 五次NURBS
NURBS也称非均匀有力B样条，如式（6）所示。

式中，di为控制顶点，Ni,k(u)为k次规范B样条基函数，且相互之间的关系如式（7）所示。

式中，k表示NURBS次数，i表示序号。

根据关节位移-时间节点序列{pi,ti}反算NURBS控制顶点，t=0,1,2…n。

反算控制顶点时使首末端点与首末数据点一致，使曲线的分段连接点与相应的内部数据点一致，即pi有节点值uk+i,i=0,1,…n
NURBS插值曲线由n+k个控制顶点di(i=0,1,2,…n+k-1)定义，节点矢量相应为
U=[u0,u1,…un+2k]。

设机器人的总运动时间为tall=tn-t0，采用累计弦长参数化方法对时间节点ti归一化，得到节点矢量U=[u0,u1,…un+2k]。

具体表达式如式（8）所示。

用于插值n+1个数据点pi的k次NURBS曲线方程如式（9）所示。

将曲线定义域[uk,un+k]内的节点值依次代入方程，得到满足插值条件的n+1个
方程，如式（10）所示。

对于k次NURBS开曲线还需增加k-1个通常由边界条件给定的附加方程，附加
方程通过切矢边界条件得到，因取两端节点重复度为k，其首末控制顶点就是首末数据点，如式（11）所示。

同理可得相关表达式如式（12）所示。

已知所有点角位移和设定的角速度、角加速度值代入式(10)～式(12)中联立求解出NURBS插值曲线的控制顶点，对得到的NURBS曲线依次求导，得到机器人运动轨迹的速度、加速度、加加速度曲线[9]。

2 机器人建模与仿真
以实验室REBOT-V-6R机器人为研究对象，通过D-H法建立机器人的三维模型，该机器人各关节及连杆参数如表1所示。

表1 REBOT-V-6R机器人的D-H参数表Li theta d/cm a/cm alpha/rad 1 q1 10 10 pi/2 2 q2 9 29 0 3 q3 -5 12.1 pi/2 4 q4 31 0 -pi/2 5 q5 0 0 pi/2 6 q6 10 0 0
其中，Li为各关节的编号，theta为关节变量，d为连杆的偏移量，a为连杆的长度，alpha为连杆的扭角。

通过MATLAB中的robotics toolbox工具箱和机器人的各连杆参数建立机器人模型并给机器人命名为“robot”[10]。

如图1所示。

在建立的机器人模型的平台上，以机器人末端为作业点，使末端在三维空间中画一个三角形，画图过程中机器人末端的姿态保持不变。

设p1,p2,p3为三角形的三个顶点，其坐标依次为：
p1=[4.1 -4 4.11]；
p2=[4.1 2.6 4.11]；
p3=[1.1 2.6 4.11]。

在三角形的每条边上，等距离的取10个中间点，间隔距离固定为0.3cm，三条边一共得到30个点。

Z方向坐标值均为4.11。

接着用工具箱中的ikine函数，即
Q=bot.ikine(T,q)反求出与末端路径点对应的各关节角度值，得到30×6个关节位移值，结合不同轨迹规划方法的求解算法求出速度和加速度，得到各关节代表不同含义的曲线。

我们任意截取一段时间段，这里取的是在t=[2.5s,3.5s]时间段里两
种样条函数规划的关节1、2、3的轨迹运动图，如图2、图3所示。

图1 机器人示教界面
图2 截取的五次多项式规划1-3关节运动曲线
图3 截取的五次NURBS规划1-3关节运动曲线
从图2、图3中可以看出，在2.5～3.5s时间段内，两种规划方法得到的角位移、角速度、角加速度曲线趋势差别不大。

但对比两种规划方法得到的加加速度曲线可知，五次多项式规划的轨迹的加加速度有突变，这会导致机器人运动时产生振动冲击。

而五次NURBS规划的轨迹的加加速度是连续无突变的。

所以，五次NURBS 轨迹规划方法稳定性更好。

得到180组关节位移数据后，通过工具箱中的fkine函数，即T1=bot.fkine(q1)
求出与180组关节位移数据对应的180个工作空间坐标点。

得到的空间坐标点均
为规划的机器人末端轨迹点。

机械手末端轨迹图如图4、图5所示。

图4 基于五次多项式的机器人末端轨迹
图5 基于五次NURBS的机器人末端轨迹
通过比较图4、图5可以看出，五次NURBS规划的三角形各边的轨迹误差比五次多项式规划的三角形各边的轨迹误差要大，说明五次NURBS规划的轨迹精度更高，稳定性更好，要优于五次多项式的轨迹。

所以，选用五次NURBS轨迹规划方法得到的轨迹精度更高更稳定，也使机器人性能更稳定，寿命更长。

3 结论
为提高机器人运动轨迹的稳定性和精度，延长机器人的使用寿命。

以实验室的六自由度机器人为研究对象，分别采用五次多项式，五次NURBS规划机器人的运动轨迹，并在MATLAB平台上编程得到关节轨迹图片进行对比。

结果表明：采用五次NURBS规划运动轨迹的角位移、角速度、角加速度都较光滑，且角加加速度连续没有突变，优于角加加速度有突变的五次多项式轨迹规划方法。

综合考虑效果和计算量，五次NURBS轨迹规划方法的运动性能优于五次多项式轨迹规划方法，五次NURBS是精度较高且稳定可靠的轨迹规划方法。

参考文献
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