高等代数选论课程教学大纲

高等代数选论课程教学大纲
课程名称：高等代数选论
英文名称：SeIected topics on Higher Algebra
课程编号：x4080111
学时数：32其中实验学时数：0 课外学时数：0
学分数：2.0
适应专业：信息与计算科学一、课程的性质和任务
本课程是为本专业高年级学生开设的一门专业选修课，是高等代数的提高课程。

学生通过本课程的学习，要更进一步系统掌握高等代数的基本理论、思想方法和解题技巧，提高分析问题和解决问题的能力，为继续深造和科研打下良好基础。

本课程是在学生学完高等代数等专业基础课程，已具备一定的代数知识基础之后开设的高等代数提高课程。

主要任务是进一步系统讲授线性代数和多项式理论的内容。

通过本课程的教学，要求学生全面掌握一元多项式和多元多项式理论，系统理解和掌握行列式、矩阵、线性方程组、二次型和实对称矩阵、线性空间和线性变换、欧氏空间等内容。

使学生对高等代数的基本理论体系、高等代数的基本思想方法、高等代数的解题技巧有更全面、更深入的体会和准确的理解进一步提高学生的数学修养、科学思维、逻辑推理能力，提高学生的理解和认识问题的能力以及计算能力。

二'课程教学内容的基本要求、重点及难点（一）行列式
熟练掌握行列式的性质，会用这些性质简化行列式的计算;熟练掌握行列式的计算方法; 掌握余子式及代数余子式的概念；熟练掌握行列式按一行（列）展开定理。

熟练掌握Cramer 法那么及应用。

重点：n阶行列式的计算。

难点：行列式的计算和代数余子式。

（二）线性方程组
熟练掌握向量组线性相关、线性无关的概念；了解向量组线性相关性与齐次线性方程组解的关系。

熟练掌握计算矩阵秩的方法。

掌握线性方程组有解判别定理。

熟练掌握求齐次线性方程组基础解系的方法；掌握非齐次线性方程组解的结构定理。

重点：矩阵的秩、线性方程组可解的判别法。

难点：向量组线性相关性与齐次线性方程组解的关系。

（三）矩阵
可逆及逆矩阵的概念；了解伴随矩阵与逆矩阵的关系。

掌握分块矩阵及分块矩阵掌握矩阵
A
的运算规律及应用。

熟练掌握求逆矩阵的方法。

重点：可逆矩阵、矩阵乘积的行列式、矩阵的分块、初等变换。

难点：可逆与逆矩阵的概念，伴随矩阵与可逆矩阵的关系。

（四）二次型
掌握矩阵合同的概念及性质。

掌握用非退化线性替换化二次型为标准形的方法。

了解 复二次型、实二次型的规范形及规范形的唯一性（惯性定理）。

掌握正定二次型及正定矩阵 的性质。

重点：复数域和实数域上二次型的标准形和规范形。

难点：正定二次型的判定及惯性定理。

（五）多项式
掌握多项式的运算及性质。

熟练掌握整除的概念与性质；掌握带余除法定理及证明。

熟练掌握多项式互素、不可约多项式及重因式的概念与性质。

了解代数基本定理、复系数多 项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理。

掌握本原多项式的概念及性质。

重点：多项式运算、基本性质、因式分解。

难点：多项式的整除性理论和不可约多项式。

（六）线性空间
掌握线性空间维数、基与坐标的概念。

掌握过渡矩阵的概念及坐标变换公式。

了解子空 间的概念；掌握线性空间V 的非空子集W 成为子空间的条件；掌握由ai ，a 2, a 「生成 的子空间L （an a 2, a r ）概念及性质。

掌握V1+V2是直和的充分必要条件。

了解数域P 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件。

重点：线性空间、子空间的概念及基本性质，有限维线性空间的结构。

难点：过度矩阵、子空间的直和、维数公式。

（七）线性变换
熟练掌握线性变换在某基下的矩阵的概念；掌握线性变换在两组基下的矩阵之间的关 系。

熟练掌握特征值与特征向量的概念以及求特征值与特征向量的方法；了解特征子空间概 念。

掌握矩阵相似于一个对角矩阵的条件。

了解线性变换的值域与核的概念及主要性质。

了 解不变子空间的概念及主要性质。

重点：线性变换的概念、性质及运算，特征值与特征向量。

难点：特征值与特征向量，线性变换对角化，线性变换的矩阵。

（A ）欧几里得空间
熟练掌握度量矩阵的概念。

掌握标准正交基定义；熟练掌握施密特正交化过程。

了解 欧氏空间同构的概念及条件。

掌握正交变换方法。

重点：欧几里得空间的正交变换、对称变换。

难点：标准正交基定义。

三、教学方式及学时分配
四、课程其他教学环节要求
本课程以课堂讲授为主，课外辅导答疑比例2:1,每次课后作业为2—6题，要求学生认真完成。

五,本课程与其他课程的联系
本课程以高等代数为基础，必须学完高等代数并具备一定的数学修养。

本课程是进一步学习抽象代数、高等几何、概率论、拓扑学、泛函分析、微分流形等课程的基础。

其基本概念与方法广泛应用于其它课程和其它学科之中。

六' 教学参考书目《高等代数》（第三版），北京大学数学系编，高等教育出版社，1999
《高等代数》（第三版），张禾瑞、郝丙新编，高等教育出版社，1997《高等代数》（第二版），丘维声编，高等教育出版社，1999。