关于拓扑空间分离性的研究文献综述

文献综述
数学与应用数学
关于拓扑空间分离性的研究
一、前言部分:
拓扑学是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。

中文名称起源于希腊语Τοπολογία的音译。

Topology原意为地貌，于19世纪中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。

发展至今，拓扑学主要研究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。

但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。

在拓扑学里没有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。

例如，下面将要讲的欧拉在解决哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。

这些就是拓扑学思考问题的出发点。

简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。

拓扑空间（topological space），赋予拓扑结构的集合。

如果对一个非空集合X给予适当的结构，使之能引入微积分中的极限和连续的概念，这样的结构就称为拓扑，具有拓扑结构的空间称为拓扑空间。

引入拓扑结构的方法有多种，如邻域系、开集系、闭集系、闭包系、内部系等不同方法。

二、主题部分
拓扑学起初叫形势分析学，这是G.W.莱布尼茨1679年提出的名词(中文译成形势，形指一个图形本身的性质，势指一个图形与其子图形相对的性质，经过20世纪30年代中期起布尔巴基学派的补充（一致性空间、仿紧性等）和整理，纽结和嵌入问题就是势的问题)。

随后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质（分离性、紧性、连通性等）做了系统的研究。

L.欧拉1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公式;C.F.高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。

拓扑学这个词（中文是音译）是J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希腊文(位置、形势)与(学问)。

这是萌芽阶段。

1851年起，B.黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调，为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。

从此开始了拓扑学的系统研究，在点集论的思想影响下，黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。

如聚点（极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。

在几何学的研究中黎曼明确提出n维流形的概念(1854)。

得出许多拓扑概念，
组合拓扑学的奠基人是H.庞加莱。

他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的，但他的方法有时不够严密，他的主要兴趣在n维流形。

在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。

他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，并提出了具体计算的方法。

他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，他探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。

他留下的丰富思想影响深远，但他的方法有时不够严密，过多地依赖几何直观。

特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，
拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。

他是在分析学和力学的工作中，实数的严格定义推动G.康托尔从1873年起系统地展开了欧式空间中的点集的研究，得出许多拓扑概念，如聚点极限点）、开集、闭集、稠密性、连通性等。

在点集论的思想影响下，分析学中出现了泛函数（即函数的函数）的观念，把函数集看成一种几何对象并讨论其中的极限。

这终于导致抽象空间的观念。

这样，B.黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，到19、20世纪之交，已经形成了组合拓扑学与点集拓扑学这两个研究方向。

现将已有的文献综述如下：
儿玉之宏,永见启应在文献[1]中讲到了紧空间，仿紧空间，连通空间。

其中紧空间说明的是拓扑空间x的子集族U称为x 的覆盖是指x 可表为U的一切元的并。

由开集组成的覆盖叫开覆盖。

如果T2空间x的每个开覆盖有一个有限子族仍是x的覆盖，则x称为紧空间。

n维欧几里得空间Rn中的有界闭集，即可以包含于某个球内的闭集，作为Rn的子空间是紧空间。

但Rn本身不是紧空间。

任意一族紧空间的积空间
仍是紧空间。

连续映射把紧空间映成紧空间，只要映成的空间是T2的。

与一个度量空间同胚的拓扑空间叫可度量空间。

1924年，苏联拓扑学家∏.C.乌雷松证明了：紧空间是可度量的当且仅当它是第二可数的。

在第二可数或度量空间范围内，一个空间是紧的当且仅当它是列紧的，即是T2空间且它的每个点列有一个收敛子序列。

仿空间是1944年由法国数学家J.迪厄多内提出的仿紧空间是紧空间的一种重要推广。

空间内的一个子集族U称为局部有限的是指空间内每一点有一个邻域与U内至多有限多个元相交。

设U、V是空间x的任二开覆盖,如果U的每个元是V的某个元的子集，则称U加细V或U是V的一个加细。

一个T2空间称为仿紧空间是指对于它的每个开覆盖V，存在一个局部有限的开覆盖U加细V。

紧空间和度量空间都是仿紧空间。

连通空间是有一类简单的几何图形只由“一片”所组成，这就是连通空间的直观含义。

拓扑空间称为连通空间是指它不能表示为两个不相交的不空开集的并。

等价地，从它到由两个点组成的离散空间的每个连续函数是常值的，即每一点的像皆相同。

R n是连通空间。

R1内的连通子空间恰好是区间，包括带一个或两个端点的或不带端点的，有限或无限的。

每个紧连通空间称为连续统。

Colin Adams Robert Franzosa在文献[2]中通过大量例子和插图，用生动的语言深入浅出地阐述了拓扑学这门重要的、充满魅力的数学课程。

本书分为两部分，前七章作为第一部分，介绍了拓扑学这门重要的、充满魅力的课程的基本内容；后七章作为第二部分，论述了拓扑学的概念在其他数学领域、科学以及工程方面的作用和意义。

本书作为拓扑学的入门课程，适用于对拓扑学的应用感兴趣的各专业本科生与研究生。

本书分为两部分，前七章作为第一部分，介绍了拓扑学这门重要的、充满魅力的课程的基本内容；后七章作为第二部分，论述了拓扑学的概念在各领域的作用和意义，这些领域包括数字图像处理、遗传工程、地理信息系统、机器人学、医学（心脏搏动模型）、生物化学、化学、经济学、化学图论、电子线路设计和宇宙学等。

在展开内容时，先提供一个简短的、引人入胜的背景知识介绍，为引进有关的概念作铺垫，并激发读者学习和以后进一步钻研的兴趣。

提供了许多例子和插图，并用生动的语言深入浅出地阐述了这门通常被认为是很抽象的、很艰深的、望而生畏的数学课程。

注重启发学生的思维，有利于科学独创性的培养。

除了反映拓扑学广泛应用的动态外，还为数学教学改革提供了范例。

梁基华，蒋继光在文献[3]中介绍了关于拓扑空间的基础知识。

首先介绍了集，第一章介绍了映射与序结构，其中包括集及其运算，映射，序关系，笛卡儿与选择公理4点介绍。

第2章介绍了拓扑空间，其中分为拓扑、基与邻域，闭包、内部与分离性，连续映射与同胚，拓扑空间中的极限——网与滤子的收敛，积空间5点介绍。

第三章介绍了几类重要的拓扑空间，分为度量空间，具有函数分离性的空间，紧空间，连通空间与道路连通空间4点介绍。

第五章介绍了拓扑与序结构，连续格与拓扑，Sober 空间与特殊序，局部紧空间，拓扑表示定理4点介绍。

吉智方, 双 龙, 王瑞英在文献[4]中是将分明拓扑学中的杨忠道定理推广到LF 拓扑学中, 其一般形式应叙述为: “在L-Fuzzy 拓扑空间中, 如果任意LF 分子的导集为闭集, 则任意LF 集的导集为闭集。

”( 此定理已为笔者所证明并已投稿。

) 这里所说的导集, 是[ 1] 中所定义的并为大家普遍认可的导集概念。

此外, 定理条件中的“LF 分子”也可改为“LF 点”, 为了区别“LF 分子”、“LF 点”两种情形, 将定理分别称为“分子式杨忠道定理”和“点式杨忠道定理”。

由于LF 分子是LF 点, 而LF 点不必是LF 分子,所以分子式杨忠道定理优于点式杨忠道定理。

在此之前, 已有若干作者以不同形式推广了杨忠道定理: 文[ 2] 在L=
[ 0, 1] 及文[ 3] 在L 是标准分子格的限制下证明了分子式杨忠道定理;文[ 4] 在对Fuzzy 格L 不再附加条件的情况下证明了点式杨忠道定理; 文[ 5] 引进了另一种导集——N 导集的概念, 证明了N 导集的点式杨忠道定理; 文[ 6] 也引进了自己的导集概念并证明了相应的点式杨忠道定理, 而对于相应的分子式杨忠道定理是否成立, 则作为一个问题提出。

本
文中, 我们证明了强导集的点式杨忠道定理, 并用反例说明强导集的分子式杨忠道定理不成立。

如无特殊申明, 文中术语与记号均源于[ 1] 。

尤龙在文献[5]中定义LF ST 212拓扑空间的分离性, 证明LF ST 212 拓扑空间、LF ST 2
12
拓扑空间与LF 拓扑空间的其他几个分离性是协调的, 并考察它们的性质。

在文[ 1] 中, 作者给出了LF 拓扑空间的一种分离公理, 即2
fuzzyU -L 空间。

设()D L x , 是LF 拓扑空间, 若对任二LF 点K X 和L Y , 当y x ≠ 时, 有()K X G p ∈和()L Y G Q ∈ 使X P X ∈, ()10=X P 或()10=X Q 成立, 则称()
D L X , 为强半正则空间, 称ST1 的强半正则空间为2
12ST 空间。

郝俊玲在文献[6]中通过一个例子说明定理设()D L X , 是诱导的LF 拓扑空间, 则下
列条件等价:( 1) ()D L X , 是LF ST 212 拓扑空间;( 2) ()D L X , 是LF T 2
12拓扑空间;( 3)
[]()D X , 是2
1T 拓扑空间。

证明中用到的一个结论是错误的, 并给出该定理的一种正确证
明。

方进明在文献[7]中研究了L 记完备的完全分配格, 不要求其有逆序对合对应. X 是非空的经典集合.X L 记x 上所有LF 集全体. M 或*M , 分别记L L 和X L 中非零并既约全体, M 或*M 中的元有时均称作点. ,X L ⊆η称作是X L 上的余拓扑是指: (1) η∈1,0 (2 ) η对有限并及任意交运算封闭. 序对()
η,X L 的称作是LF 拓扑空间. X L R ∈称作是
点*M x ∈λ的远域,若存在η∈P ,使得P R ≤且p x >λ.点x *M x ∈λ中的全体远域记作()ληx ,()()ηηηλλ⋂=-x x . 显然()ληx 是X L 中的理想, 而()ληx -是理想基.
模糊紧性理论是L2fuzzy 拓扑学中最重要的研究内容之一, 许多学者对其进行了一系列的研究, 特别是王国俊教授提出的良紧性[ 1] 概念, 由于它充分反映了模糊拓扑层次结构的特点, 保持了一般拓扑空间中紧性的各种基本性质, 因而被国内外学者广泛采纳。

本文在引入并讨论L2fuzzy 预开集、预半开集等概念的基础上, 从层次结构入手引入L2拓扑空间中的p2良紧性和ps2良紧性, 并给出了2p 良紧性和2ps 良紧性的分子式、覆盖式、具有有限交性质的集族式等多种方式的特征刻划。

同时还证明了2p 良紧性(2ps 良紧性) 对预闭子集(预半闭子集) 遗传,()22ps p 良紧子集在()22ps p 连续映射下的像保持等基本性质。

马保国;王延军;姜金平在文献[9]中首先讨论了L2拓扑空间中的预开集、预半开集等概念, 然后利用这些概念在L2拓扑空间中提出了()22ps p 良紧集的概念, 研究了它们的基本特征, 讨论了它们的一些基本性质。

王昭海, 吴洪博在文献[10]中对点集拓扑学中由导集运算决定拓扑的方法进行了讨论,
主要结果是, 设X 是一个集合, ()()X P X P d →:*
是集值映射, 若*d 满足:()X P B PA ∈, , ( 1) ``*
A A d =⎪⎭⎫ ⎝⎛, ( 2) ()()()
B d A d B A d ***⋃=⋃, ( 3) ()()()A d AA A d d *)*⋃ , ( 4)
(){}()
⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈=-∧x A d x u X x A d **, 则存在X 的唯一拓扑T, 使得在拓扑空间()T X ,
中, ()X P PA ∈ , ()()A d A d *= .
仿紧性是一般拓扑学中的一个重要概念, 如何将其推广到不分明拓扑学中, 已有许多较系统的研究工作(见3一7)王国俊在[7]中把[5]中的仿紧性与强仿紧性分别称为1型强F 仿紧性与2型强F 仿紧性。

这两种类型的强F 仿紧性是分别基于局部有限族与强局部有限族的概念提出的。

它们皆是强F 紧性的直接推广且是一般拓扑中相应概念的好的推广。

作者史福贵，郑崇友在文献[11]中引入了一种新的强F 仿紧性----3型强F 仿紧性, 它是基于-
a 局部有限族的概念提出的, 这种-a 局部有限族概念可用来刻划强F 可数紧性。

3型强F 仿紧性仍是一般拓扑学中仿紧性的-L 好的推广且对闭子集遗传。

强F 可数紧的3型强F 仿紧集是强F 紧集。

强F 紧集与3型强F 仿紧集的乘积是型强仿紧集。

在文种引入的层正则空间中, 有性质的集是型强仿紧集。

此外, 2型强仿紧集必是3型强仿紧的。

李尧龙在文献[12]中定义了L - fuzzy 拓扑空间中的相对1T 与相对2T 分离性, 讨论了相对T1 与相对T2 分离性的一系列性质, 证明了相对1T 与相对2T 分离性是遗传的、传递的( 弱) 同胚不变的, 并且具有可乘性, 并对相对1T 与1T 分离性, 相对2T 与2T 分离性作了比较。

三、总结部分
数学是一门基础学科，我们生活的方方面面无不有数学的影子在里面，它不仅指导我们进行生产，学习，同时对我们认识自然，了解事物的本质都有着积极的作用。

对拓扑空间分离性的研究而言，它为其它多门科学研究提供了一个崭新的数学工具，并且还有巨大的发展空间。

四、主要参考文献：
[1].儿玉之宏,永见启应.拓扑空间论[M]. 科技出版社,2001.
[2].Colin Adams Robert Franzosa.拓扑学基础及应用[M]. 机械工业出版社，2010.4
[3]. 梁基华，蒋继光.拓扑学基础[M].高等教育出版社，2005.
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[5]. 吉智方, 双 龙, 王瑞英L-Fuzzy 拓扑空间中强导集的杨忠道定理X[J]
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[6]. 尤飞; T212LF 拓扑空间和ST 212LF 拓扑空间的分离性X [J]长春师范学院学
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[7].郝俊玲; 关于“T212LF 拓扑空间和ST 212LF 拓扑空间的分离性”的一点注记X[J]
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[9].马保国;王延军;姜金平;; L2拓扑空间中的p2良紧性* [J];重庆师范大学学报(自然
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[10]王昭海;吴洪博; 由导集运算定义拓扑的方法a [J];纯粹数学与应用数
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[12].李尧龙; L - fuzzy 相对T1 与相对T2 分离性[J];江西师范大学学报(自然科学
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