广东省潮州市智勇中学2020年高三数学理测试题含解析

广东省潮州市智勇中学2020年高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，垂直于x轴的直线EF经坐标原点O向右移动. 若E是EF与x 轴的交点，设OE =x)，EF在移动过程中扫过平行四边形OABC的面积为(图中阴影部分)，则函数的图象大致是
参考答案：
A
2. 若向量a与向量b的夹角为60°，且|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为( ) A．2 B．4 C．6 D．12
参考答案：
【知识点】向量的模；平面向量数量积的运算.F2 F3
C 解析：（a+2b）?（a﹣3b）
=|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2
=|a|2﹣2|a|﹣96=﹣72，
∴|a|2﹣2|a|﹣24=0．
∴（|a|﹣6）?（|a|+4）=0．
∴|a|=6．
故选C
【思路点拨】分解（a+2b）?（a﹣3b）得|a|2﹣|a||b|cos60°﹣6|b|2，因为向量的夹角、
已知，代入可得关于的方程，解方程可得．
3. 记S n是等比数列{a n}的前n项和，若，则公比q=（）
A. 0
B. －1
C. 1
D. 无法确定
参考答案：
B
【分析】用和表示，结合以及可求出的值.
【详解】由题意可知，且，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查等比数列求项和中基本量的计算，考查运算求解能力，属于基础题.
4. 已知，若的充分条件，则实数取值范围是
（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
略
5. 用反证法证明命题：“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是
(A) 方程没有实根(B) 方程至多有一个实根
(C) 方程至多有两个实根(D) 方程恰好有两个实根
参考答案：
A
“至少有一个”的对立面应是“没有”,故选A
6. 已知函数y=f（x+1）定义域是[﹣2，3]，则y=f（2x﹣1）的定义域（）
A．B．[﹣1，4] C．[﹣5，5] D．[﹣3，7]
参考答案：
A
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据题目给出的函数y=f（x+1）定义域，求出函数y=f（x）的定义域，然后由2x﹣1在f （x）的定义域内求解x即可得到函数y=f（2x﹣1）定义域
【解答】解：解：∵函数y=f（x+1）定义域为[﹣2，3]，
∴x∈[﹣2，3]，则x+1∈[﹣1，4]，
即函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，
再由﹣1≤2x﹣1≤4，得：0≤x≤，
∴函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，]．
故选A．
7. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）
A．207 B．C．216﹣36π D．216﹣18π
参考答案：
B
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可得，直观图是棱长为6的正方体，截去个圆锥，圆锥的底面半径为3，高为6，即可求出体积．
【解答】解：由三视图可得，直观图是棱长为6的正方体，
截去个圆锥，圆锥的底面半径为3，高为6，
故体积为=216﹣，
故选B．
8. 已知sin（+α）=，则cos（﹣2α）=（）
A．B．C．﹣D．
参考答案：
C 【考点】三角函数的化简求值．
【分析】利用诱导公式，求得cos（﹣α）的值，再利用二倍角的余弦公式，求得cos（﹣2α）的值．
【解答】解：∵sin（+α）==cos（﹣α），则cos（﹣2α）=2﹣1=﹣1=
﹣，
故选：C．
9. 下列命题错误的是（）
A. 命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为，则
”；
B. 若命题，则；
C. 中，若则一定有成立；
D. 若向量满足，则与的夹角为钝角.
参考答案：
D
略
10. 设曲线y=a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）在点（2，6）处的切线方程为y=3x，则a=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
C
【分析】求出导数，求得切线的斜率，由切线方程可得a﹣1=3，即可得到a的值．
【解答】解：y=a（x﹣2）﹣ln（x﹣1）的导数为：
y′=a﹣，
在点（2，6）处的切线斜率为a﹣1=3，
解得a=4，
故选：C．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用导数的几何意义，正确求导是解题的关键．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知点A （2，3），点B （6，﹣3），点P 在直线3x ﹣4y+3=0上，若满足等式?
+2λ=0
的点P 有两个，则实数λ的取值范围是 ．
参考答案：
（﹣∞，2）
【考点】9R ：平面向量数量积的运算．
【分析】根据点P 在直线3x ﹣4y+3=0上，设P （x
，），求出
、，计算?，代入
?
+2λ=0，化简并利用△＞
0求出λ的取值范围．
【解答】解：由点P 在直线3x ﹣4y+3=0上，设P （x ，），
则
=（x ﹣2，
﹣3），
=（x ﹣6，
+3），
∴?=（x ﹣2）（x ﹣6）+﹣9=
（25x 2
﹣110x+57）；
又?
+2λ=0，
∴
（25x 2﹣110x+57）+2λ=0，
化简得25x 2﹣110x+57+32λ=0，
根据题意△=（﹣110）2
﹣4×25×（57+32λ）＞0， 解得λ＜2；
∴实数λ的取值范围是（﹣∞，2）． 故答案为：（﹣∞，2）．
12. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S= 。

参考答案：
13. 已知M={a| f(x)=2sinax 在
上是增函数}，N={b|方程有实数解}，设
，且定义在R 上的奇函数
在内没有最小值，则的取值范围
是 .
参考答案：
14. 数列
，如果
是一个等差数列，则
参考答案：
3
15. 设a ＞0，若
展开式中的常数项为80，则a= ．
参考答案：
2
【考点】二项式定理的应用．
【分析】求出展开式的通项公式，利用常数项为80，建立方程关系即可得到结论． 【解答】解：二项式
的展开式中的通项公式为T k+1=C 5k ?a k ?x 10﹣2.5k ，
∵二项式的展开式中的常数项为80，
∴当10﹣2.5k=0时，得k=4，
此时常数项为C54?a4=80，
即5a4=80，解得a=2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，根据二项展开式的定理，求出展开式的通项公式是解决本题的关键．
16. 幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过，则f(x)的解析式是
．
参考答案：
略
17. .已知两个单位向量，满足，则与的夹角为_______
参考答案：
【分析】
通过平方运算将模长变为数量积运算的形式，可构造出关于夹角余弦值的方程，从而求得夹角. 【详解】由题意知：
本题正确结果：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数，
（Ⅰ）当时，证明；（Ⅱ）已知点，点，设函数，当时，试判断的零点个数．
参考答案：
（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）2.
【分析】
（Ⅰ）令，；则．易得，．即可证明；
（Ⅱ），分①，②，③当时，讨论的零点个数即可．
【详解】解：（Ⅰ）令，；
则．
令，
，
易得在递减，在递增，
∴，∴在恒成立．
∵在递减，在递增．
∴．
∵；
（Ⅱ）∵点，点，
∴，
．
①当时，可知，∴
∴，，
∴．
∴在单调递增，，．
∴在上有一个零点，
②当时，，，
∴，∴在恒成立，
∴在无零点．
③当时，，
．
∴在单调递减，，．∴在存在一个零点．
综上，的零点个数为2．．
19. （本小题满分12分）
已知函数
（1）求函数的单调递减区间；
（2）设，的最小值是，最大值是，求实数的值．参考答案：
（1）的单调减区间为：；
（2）。

略
20. 如图所示，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，△ABE为等边三角形，且平面ABCD⊥平面ABE，AB=2CD=2BC=2，P为CE中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥DE；
（Ⅱ）求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）在△ABE内是否存在一点Q，使PQ⊥平面CDE，如果存在，求PQ的长；如果不存在，说明理由．
参考答案：
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．
【分析】（Ⅰ）取AB中点O，连结OD，OE，由已知条件推导出AB⊥OE，四边形OBCD是平行四边形，OD∥BC，AB⊥OD．
由此证明AB⊥平面ODE，从而得到AB⊥DE．
（Ⅱ）以O为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余
弦值．
（Ⅲ）设Q（x2，y2，0），利用向量法能求出存在点，使PQ⊥平面CDE，此时．
【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结OD，OE，…
因为△ABE是正三角形，所以AB⊥OE．
因为四边形ABCD是直角梯形，，AB∥CD，所以四边形OBCD是平行四边形，OD∥BC，又AB⊥BC，所以AB⊥OD．
所以AB⊥平面ODE，…
所以AB⊥DE．…
（Ⅱ）解：因为平面ABCD⊥平面ABE，AB⊥OE，
所以OE⊥平面ABCD，
所以OE⊥OD．…
如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系．
则 A（1，0，0），B（﹣1，0，0），
D（0，0，1），C（﹣1，0，1），．
所以，，…
设平面ADE的法向量为n1=（x1，y1，z1），
则，…令z1=1，则x1=1，．所以n1=．…
同理求得平面BCE的法向量为n2=，…
设平面ADE与平面BCE所成的锐二面角为θ，则cosθ==．
所以平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为．…
（Ⅲ）解：设Q（x2，y2，0），因为，
所以，，．依题意，即…
解得，．…
符合点Q在三角形ABE内的条件．…
所以，存在点，使PQ⊥平面CDE，此时．…
21. 已知函数f(x)＝，试利用基本初等函数的图象，判断f(x)有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．
参考答案：
由f(x)=0，得x-1=-1/2x2+2，令y1=x-1，y2=-1/2x2+2，
分别画出它们的图象如图，其中抛物线的顶点坐标为(0,2)，与x轴的交点为(-2,0)、(2,0)，y1与y2的图象有3个交点，从而函数f(x)有3个零点．
由f(x)的解析式知x≠0，f(x)的图象在(-∞，0)和(0，+∞)
略
22. （本小题满分12分）
如图，已知平面，平面，△为等边三角形，，为的中点.
(1) 求证：平面；
(2) 求证：平面平面；
(3) 求直线和平面所成角的正弦值.参考答案：
(1) 证法一：取的中点，连.
∵为的中点，∴且. ∵平面，平面，
∴，∴.
又，∴.
∴四边形为平行四边形，则.
∵平面，平面，
∴平面.
证法二：取的中点，连.
∵为的中点，∴.
∵平面，平面，∴.
又，
∴四边形为平行四边形，则.
∵平面，平面，
∴平面，平面.
又，∴平面平面.
∵平面，
∴平面.
(2) 证：∵为等边三角形，为的中点，∴. ∵平面，平面，∴.
又，故平面.
∵，∴平面.
∵平面，
∴平面平面.
(3) 解：在平面内，过作于，连.
∵平面平面，∴平面.
∴为和平面所成的角.
设，则，
，
R t△中，.∴直线和平面所成角的正弦值为
.
方法二：设，建立如图所示的坐标系，则
.
∵为的中点，∴. (1) 证：
，
∵，平面，∴平面.
(2) 证：∵，
∴，∴.
∴平面，又平面，
∴平面平面.
(3) 解：设平面的法向量为，由可得：
，取.
又，设和平面所成的角为，则
.
∴直线和平面所成角的正弦值为.。