北京市清华附中朝阳学校九年级数学上学期第一次段考试

北京市清华附中朝阳学校2015届九年级数学上学期第一次段考试题
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．方程x2=2x的解是( )
A．x=2 B．x1=2，x2=0 C．x1=，x2=0 D．x=0
2．正方形绕其对角线的交点旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为( ) A．45° B．90° C．180°D．360°
3．已知x=1是方程x2+ax+2=0的一个根，则方程的另一个根为( )
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=．下列结论中，正确的是( )
A．a＜0
B．当x＜﹣时，y随x的增大而增大
C．a+b+c＞0
D．当x=﹣时，y的最小值是
5．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1 D．k＜1且k≠0
6．二次函数y=﹣2x2+1的图象如图所示，将其绕坐标原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )
A．y=﹣2x2﹣1 B．y=2x2+1 C．y=2x2D．y=2x2﹣1
7．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C 为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )
A．（2，10） B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
8．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为( )
A．B．C．D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
9．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为__________．
10．如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′=__________．
11．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为__________；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为__________．
12．△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1，点A的对称点A1的坐标是__________，点B1的坐标是__________；
（2）画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于点S成中心对称．
三、解答题（共7小题，13题每小题16分，14－19题每小题16分，满分52分）13．（16分）解方程：
（1）（x﹣2）2﹣25=0；
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；
（3）2x2﹣x﹣1=0；
（4）x2+2x﹣3=0（配方法）．
14．已知：关于x的方程2x2+kx﹣1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
15．已知抛物线y=x2+bx+c经过（0，﹣1），（3，2）两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；
（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式．
16．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
17．设二次函数y1=x2﹣4x+3的图象为C1，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y 轴对称．
（1）求二次函数y2=ax2+bx+c的解析式；
（2）当﹣3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围；
（3）设二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数y3=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图象经过A，B两点，当y2＜y3时，直接写出x的取值范围．
18．已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分∠ABE．求证：BE=AF+CE．
19．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：（1）抛物线的解析式；
（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．
四、解答题（共2小题，每小题10分，满分20分）
20．已知：二次函数y=x2﹣mx+m+1（m为常数）．
（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．
①求m的值；
②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式；
（2）当0≤x≤2时，求函数y=x2﹣mx+m+1的最小值（用含m的代数式表示）．
21．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．
（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．
2014-2015学年北京市清华附中朝阳学校九年级（上）第一次段考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．方程x2=2x的解是( )
A．x=2 B．x1=2，x2=0 C．x1=，x2=0 D．x=0
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x2﹣2x=0，
x（x﹣2）=0，
x=0或x﹣2=0，
所以x1=0，x2=2．
故选B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
2．正方形绕其对角线的交点旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为( ) A．45° B．90° C．180°D．360°
【考点】旋转对称图形．
【分析】根据正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形与旋转对称图形的性质解答．
【解答】解：∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形，
∴顶点处的周角被分成四个相等的角，360°÷4=90°，
∴这个正方形绕着它的中心旋转90°的整数倍后，就能与它自身重合，
因此，这个角度至少是90°．
故选：B．
【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
3．已知x=1是方程x2+ax+2=0的一个根，则方程的另一个根为( )
A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【分析】本题根据一元二次方程根与系数的关系求解．
【解答】解：设另一根为m，则
1•m=2，解得m=2．
故选B
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根与系数的关系为：x1+x2=﹣，
x1•x2=．要求熟练运用此公式解题．
4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=．下列结论中，正确的是( )
A．a＜0
B．当x＜﹣时，y随x的增大而增大
C．a+b+c＞0
D．当x=﹣时，y的最小值是
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．
【分析】根据抛物线开口方向可对A进行判断；根据当抛物线开口向上，在对称轴左侧y 随x的增大而减小的性质可对B进行判断；观察函数图象得到当x=1时，y＜0，则可对C
进行判断；先根据对称轴方程得到a=b，再由抛物线开口向上，函数有最小值=，
然后约分后即可对D进行判断．
【解答】解：A、抛物线开口向上，则a＞0，所以A选项错误；
B、抛物线开口向上，对称轴为直线x=，则x＜﹣时，y随x的增大而减小，所以B 选项错误；
C、当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0，所以C选项错误；
D、对称轴为直线x=﹣=，则a=b，因为抛物线开口向上，所以函数有最小值
==，所以D选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为
抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣，函数有最小值；抛
物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性
质．
5．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( ) A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0C．k＜1 D．k＜1且k≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴，即，
解得k＞﹣1且k≠0．
故选B．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解答此题的关键．
6．二次函数y=﹣2x2+1的图象如图所示，将其绕坐标原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为( )
A．y=﹣2x2﹣1 B．y=2x2+1 C．y=2x2D．y=2x2﹣1
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据原抛物线的顶点坐标求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．
【解答】解：∵二次函数y=﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），
∴绕坐标原点O旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣1），
又∵旋转后抛物线的开口方向上，
∴旋转后的抛物线的解析式为y=2x2﹣1．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．
7．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C 为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )
A．（2，10） B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【专题】分类讨论．
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC=5，BD=5﹣3=2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，
所以，D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．
8．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为( )
A．B．C．D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】压轴题．
【分析】分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论．
【解答】解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位/秒，则：
（1）当点P在A→B段运动时，PB=1﹣t，S=π（1﹣t）2（0≤t＜1）；
（2）当点P在B→A段运动时，PB=t﹣1，S=π（t﹣1）2（1≤t≤2）．
综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t﹣1）2（0≤t≤2），
这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．
【点评】本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定
量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
9．某超市一月份的营业额为100万元，第一季度的营业额共800万元，如果平均每月增长率为x，则所列方程应为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=800．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额=800，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵一月份的营业额为100万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为100×（1+x），
∴三月份的营业额为100×（1+x）×（1+x）=100×（1+x）2，
∴可列方程为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=800，
故答案为100+100×（1+x）+100×（1+x）2=800．
【点评】考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
10．如图，△A BC是等腰直角三角形，BC是斜边，P为△ABC内一点，将△ABP绕点A逆时针旋转后，与△ACP′重合，如果AP=3，那么PP′=3．
【考点】旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质，知：旋转角度是90°，根据旋转的性质得出AP=AP′=3，即△PAP′是等腰直角三角形，腰长AP=3，则可用勾股定理求出斜边PP′的长．
【解答】解：∵△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP′重合，
∴△ABP≌△ACP′，
即线段AB旋转后到AC，
∴旋转了90°，
∴∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3，
∴PP′==3，
故答案为：3．
【点评】本题考查旋转的性质和直角三角形的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．
11．已知点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，则m的值为0；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为y=x2﹣2x．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把点P的坐标代入二次函数解析式计算即可得解；
根据点P确定出平移方法，再求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式解析式形式写出即可．
【解答】解：∵点P（﹣1，m）在二次函数y=x2﹣1的图象上，
∴（﹣1）2﹣1=m，
解得m=0，
平移方法为向右平移1个单位，
平移后的抛物线的二次函数的顶点坐标为（1，﹣1），
平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x﹣1）2﹣1=x2﹣2x，
即y=x2﹣2x．
故答案为：0，y=x2﹣2x．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解析式更简便．
12．△ABC和点S在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（1）画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1，点A的对称点A1的坐标是（10，8），点B1的坐标是（8，5）；
（2）画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC关于点S成中心对称．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】（1）作出图形，根据所作图形即可写出坐标；
（2）根据对称的性质即可作出图形．
【解答】解：（1）如图；A1（10，8），B1（8，5）﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
故答案是：（10，8）和（8，5）．
（2）如图．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍
【点评】本题以图形的分割与拼接为背景，考查了中心对称的定义和空间观念．动手实践、自主探索是学习数学的重要方式，动手操作题丰富多彩，趣味性强，能有效地考查学生的创造能力和创新思维．这类题要在动手实践的基础上进行探索，要求学生具备动手实验操作能力和熟悉图形、推理论证的能力．
三、解答题（共7小题，13题每小题16分，14－19题每小题16分，满分52分）13．（16分）解方程：
（1）（x﹣2）2﹣25=0；
（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；
（3）2x2﹣x﹣1=0；
（4）x2+2x﹣3=0（配方法）．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】（1）方程移项后，利用直接开平方法求出解即可；
（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；
（3）方程利用因式分解法求出解即可；
（4）方程利用配方法求出解即可．
【解答】解：（1）方程整理得：（x﹣2）2=25，
开方得：x﹣2=5或x﹣2=﹣5，
解得：x1=7，x2=﹣3；
（2）方程移项得：3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，
分解因式得：（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，
解得：x1=2，x2=3；
（3）分解因式得：（2x+1）（x﹣1）=0，
解得：x1=﹣，x2=2；
（4）移项得：x2+2x=3，
配方得：x2+2x+1=4，即（x+1）2=4，
开方得：x+1=2或x+1=﹣2，
解得：x1=1，x2=﹣3．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
14．已知：关于x的方程2x2+kx﹣1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是﹣1，求另一个根及k值．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系．
【专题】计算题；证明题．
【分析】若方程有两个不相等的实数根，则应有△=b2﹣4ac＞0，故计算方程的根的判别式即可证明方程根的情况，第二小题可以直接代入x=﹣1，求得k的值后，解方程即可求得另一个根．
【解答】证明：（1）∵a=2，b=k，c=﹣1
∴△=k2﹣4×2×（﹣1）=k2+8，
∵无论k取何值，k2≥0，
∴k2+8＞0，即△＞0，
∴方程2x2+kx﹣1=0有两个不相等的实数根．
解：（2）把x=﹣1代入原方程得，2﹣k﹣1=0
∴k=1
∴原方程化为2x2+x﹣1=0，
解得：x1=﹣1，x2=，即另一个根为．
【点评】本题是对根的判别式与根与系数关系的综合考查，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
并且本题考查了一元二次方程的解的定义，已知方程的一个根求方程的另一根与未知系数是常见的题型．
15．已知抛物线y=x2+bx+c经过（0，﹣1），（3，2）两点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标；
（3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）直接把点（0，﹣1），（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c，求出b、c的值即可；（2）令y=0，求出x的值即可；
（3）利用配方法将（1）中求得的函数解析式用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过（0，﹣1），（3，2）两点，
∴，
解得．
∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x﹣1；
（2）∵令y=0，则x2﹣2x﹣1=0，解得x=1+或x=1﹣，
∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为（1+，0），1﹣，0）；
（3）y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2．
【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，熟知二次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
16．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增
加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【分析】此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为件，因此每天赢利为（40﹣x）元，进而可根据题意列出方程求解．
【解答】解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意得（40﹣x）=1200，
整理得2x2﹣60x+400=0
解得x1=20，x2=10．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）设商场平均每天赢利y元，则
y=（40﹣x）
=﹣2x2+60x+800
=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625]
=﹣2（x﹣15）2+1250．
∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．
【点评】（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；
（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．
17．设二次函数y1=x2﹣4x+3的图象为C1，二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）的图象与C1关于y 轴对称．
（1）求二次函数y2=ax2+bx+c的解析式；
（2）当﹣3＜x≤0时，直接写出y2的取值范围；
（3）设二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数y3=kx+m（k，m为常数，k≠0）的图象经过A，B两点，当y2＜y3时，直接写出x的取值范围．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数与不等式（组）．
【分析】（1）求出抛物线C1的顶点坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，
纵坐标相同求出抛物线C2的顶点坐标，然后利用顶点式形式写出即可；
（2）作出函数图象，然后根据图形写出y2的取值范围即可；
（3）根据函数图象写出抛物线C2在直线AB的下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：（1）二次函数y1=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1图象的顶点（2，﹣1），
关于y轴的对称点坐标为（﹣2，﹣1）
所以，所求的二次函数的解析式为y2=（x+2）2﹣1，
即y2=x2+4x+3；
（2）如图，﹣3＜x≤0时，y2的取值范围为：﹣1≤y2≤3；
（3）y2＜y3时，﹣2＜x＜0．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定抛物线解析式的变化更简便．
18．已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，F是边AD上的点，且FB平分∠ABE．求证：B E=AF+CE．
【考点】旋转的性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】先延长DC到G，使CG=AF，连接BG，易证△ABF≌△CBG，得∠5=∠G，∠1=∠3，进而证明∠EBG=∠G，进而证明BE=CG+CE=AF+CE．
【解答】证明：延长DC到G，使CG=AF，连接BG
∵AB=BC，∠A=∠BCG=90°，
∴△ABF≌△CBG，
∴∠5=∠G，∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴∠2+∠4=∠3+∠4，
即∠FBC=∠EBG，
∵AD∥BC，
∴∠5=∠FBC=∠EBG，
∴∠EBG=∠G，
∴BE=CG+CE=AF+CE．
【点评】本题考查了旋转的性质，用到的知识点是正方形各边长相等、各内角为直角的性质，全等三角形的判定，全等三角形对应角相等的性质，本题中求证∠EBG=∠G是解题的关键．
19．如图（1）是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状．抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10cm．桥洞与水面的最大距离是5m．桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．现把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，如图（2）．求：（1）抛物线的解析式；
（2）两盏景观灯P1、P2之间的水平距离．
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）由图形可知这是一条抛物线，根据图形也可以知道抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），设出抛物线的解析式将两点代入可得抛物线方程；
（2）第二题中要求灯的距离，只需要把纵坐标为4代入，求出x，然后两者相减，就是它们的距离．
【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标为（5，5），与y轴交点坐标是（0，1），
设抛物线的解析式是y=a（x﹣5）2+5，
把（0，1）代入y=a（x﹣5）2+5，
得a=﹣，
∴y=﹣（x﹣5）2+5（0≤x≤10）；
（2）由已知得两景观灯的纵坐标都是4，
∴4=﹣（x﹣5）2+5，
∴（x﹣5）2=1，
∴x1=，x2=，
∴两景观灯间的距离为﹣=5米．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程与二次函数的关系，从图象中可以看出的坐标是解题的关键．
四、解答题（共2小题，每小题10分，满分20分）
20．已知：二次函数y=x2﹣mx+m+1（m为常数）．
（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．
①求m的值；
②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C两点，求平移后的图象对应的函数解析式；
（2）当0≤x≤2时，求函数y=x2﹣mx+m+1的最小值（用含m的代数式表示）．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）①根据二次函数x2﹣mx+m+1的图象与x轴只有一个公共点A，可得判别式为0，依此可得关于m的方程，求解即可；
②由①得点A的坐标为（2，0）．根据正方形的性质可得点B的坐标为（0，﹣2），点C的坐标为（2，﹣2）．根据待定系数法可求平移后的图象对应的函数解析式；
（2）分三种情况：（ⅰ）当＜0，即m＜0时；（ⅱ）当0≤≤2，即0≤m≤4时；（ⅲ）当
＞2，即m＞4时；讨论可求函数y=x2﹣mx+m+1的最小值．
【解答】解：（1）①∵二次函数y=x2﹣mx+m+1的图象与x轴只有一个公共点A，
∴△=m2﹣4×1×（m+1）=0．
整理，得m2﹣3m﹣4=0，
解得m1=4，m2=﹣1，
又∵点A在x轴的正半轴上，
∴m=4，
②由①得点A的坐标为（2，0）．
∵四边形AOBC是正方形，点B在y轴的负半轴上，
∴点B的坐标为（0，﹣2），点C的坐标为（2，﹣2）．
设平移后的图象对应的函数解析式为y=x2+bx+c（b，c为常数）．
∴，
解得
∴平移后的图象对应的函数解析式为y=x2﹣2x﹣2．
（2）函数y=x2﹣mx+m+1的图象是顶点为（，﹣+m+1），且开口向上的抛物线．分三种情况：
（ⅰ）当＜0，即m＜0时，函数在0≤x≤2内y随x的增大而增大，此时函数的最小值为m+1；
（ⅱ）当0≤≤2，即0≤m≤4时，函数的最小值为﹣+m+1；
（ⅲ）当＞2，即m＞4时，函数在0≤x≤2内y随x的增大而减小，此时函数的最小值为﹣m+5．
综上，当m＜0时，函数y=x2﹣mx+m+1的最小值为m+1；当0≤m≤4时，函数y=x2﹣mx+m+1
的最小值为﹣+m+1；当m＞4时，函数y=x2﹣mx+m+1的最小值为﹣m+5．
【点评】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：根的判别式，方程思想，分类思想，正方形的性质，待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，综合性较强．
21．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2﹣（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．
（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；（3）根据当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m+4；结合图象可知：﹣（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．
【解答】解：（1）令mx2﹣（m+n）x+n=0，则
△=（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2，
∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，
∴A（0，n），且n＞0，
又∵m＜0，
∴m﹣n＜0，
∴△=（m﹣n）2＞0，
∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；
（2）令mx2﹣（m+n）x+n=0，
解得：x1=1，x2=，
由（1）得＜0，故B的坐标为（1，0），
又因为∠ABO=45°，
所以A（0，1），即n=1，
则可求得直线AB的解析式为：y=﹣x+1．
再向下平移2个单位可得到直线l：y=﹣x﹣1；
（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx2﹣（m+1）x+1．
∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，
∴q=mp2﹣（m+1）p+1．
∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，﹣q）．
∴M′点在二次函数y=﹣m2+（m+1）x﹣1上．
∵当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，
当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m+4；
结合图象可知：﹣（12m+4）≤2，
解得：m≥﹣．
∴m的取值范围为：﹣≤m＜0．
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和一次函数图象的平移等知识，利用数形结合得出是解题关键．。