2020年河南省郑州市灵宝实验中学高三数学理模拟试卷含解析

2020年河南省郑州市灵宝实验中学高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|y=lg（2x﹣x2）}，则M∩N为（）
A．（1，2）B．（1，+∞）C．[2，+∞） D．[1，+∞）
参考答案：
A
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】通过指数函数的值域求出M，对数函数的定义域求出集合N，然后再求M∩N．
【解答】解：M={y|y＞1}，N中2x﹣x2＞0∴N={x|0＜x＜2}，
∴M∩N={x|1＜x＜2}，
故选A
2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
3. 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C 【考点】类比推理．
【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．
【解答】解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为
∴R=
故选C．
4. 平面直角坐标系中，已知O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（1，1）、（﹣3，3）．若动点P 满足，其中λ、μ∈R，且λ+μ=1，则点P的轨迹方程为（）
A．x﹣y=0 B．x+y=0 C．x+2y﹣3=0 D．（x+1）2+（y﹣2）2=5
参考答案：
C
【考点】J3：轨迹方程；9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】由已知向量等式可知P在AB所在的直线上，由直线方程的两点式得答案．
【解答】解：由，且λ+μ=1，得=，
∴，即，则P、A、B三点共线．
设P（x，y），则P在AB所在的直线上，
∵A（1，1）、B（﹣3，3），
∴AB所在直线方程为，整理得：x+2y﹣3=0．
故P的轨迹方程为：x+2y﹣3=0．
故选：C．
5. 下列命题中为真命题的是
A．若
B．直线为异面直线的充要条件是直线不相交
C．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
D．若命题，则命题的否定为：“”参考答案：
D
6. 若运行如图所示程序框图，则输出结果的值为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
D
考点：算法流程图的识读和理解.
7. 已知，且，则sin2α的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GI：三角函数的化简求值．
【分析】由条件利用两角和的正弦公式、二倍角公式求得cosα﹣sinα，或cosα+sinα的值，由此求得sin2α的值．
【解答】解：∵，且，
∴2（cos2α﹣sin2α）=（cosα+sinα），
∴cosα﹣sinα=，或cosα+sinα=0．
当cosα﹣sinα=，则有1﹣sin2α=，sin2α=；
∵α∈（0，），
∴cosα+sinα=0不成立，
故选：C．
【点评】本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．
8. 已知则（
） 高考资源网
A. B. C. D.
参考答案：
D 略
9. 已知向量a ＝(1，k )，b ＝(2,2)，且a ＋b 与a 共线，那么a·b 的值为 ( ) A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
参考答案：
A 略
10. 已知函数f （x+1）为奇函数，当x ＞1时，f （x ）=﹣5x+3x ．则f （﹣1）的值为 （ ）
A ．0
B ．2
C ．﹣12
D ．12
参考答案：
C
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由f （x+1）为奇函数，从而可得到f （﹣1）=f （﹣2+1）=﹣f （3），而根据x ＞1时f （x ）的解析式，可以求出f （3），从而可以求出f （﹣1）的值．
【解答】解：根据条件，f （﹣1）=f （﹣2+1）=﹣f （2+1）=﹣f （3）=﹣（﹣5×3+33
）=﹣12． 故选C ．
【点评】考查奇函数的定义，要清楚f （x+1）和f （x ）的不同，并清楚函数f （x+1）的自变量是什么．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数，则。

参考答案：
，所以
，.
12. 为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，将全校200名教师按一学期使用多媒体进行教学的次数分成了[0，9)，[10，19)，[20，29)，[30，39)，[40，49)五层，现采用分层抽样从该校教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如图，据此可知该校一学期使用多媒体进行教学的次数在
内的教师人数为 ．
参考答案：
40 略
13. 若存在实数，使得，则实数的取值范围是 .
参考答案：
14. 已知实数4，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线
+y 2=1的焦距为 ．
参考答案：
2
或2
．
【分析】根据题意，由等比数列的性质可得m 2=4×9=36，解可得m 的值，分2种情况讨论：当m=6
时，圆锥曲线的方程为
+y 2=1，为椭圆，当m=﹣6时，圆锥曲线的方程为y 2﹣
=1，为双曲线，
由椭圆和双曲线的几何性质分析可得c 的值，进而由焦距的定义可得答案． 【解答】解：根据题意，实数4，m ，9构成一个等比数列，则有m 2=4×9=36， 则m=±6，
当m=6时，圆锥曲线的方程为+y 2=1，为椭圆， 其中a=
，b=1，则c=
=
，
则其焦距2c=2，
当m=﹣6时，圆锥曲线的方程为y2﹣=1，为双曲线，
其中a=1，b=，则c==，
则其焦距2c=2，
综合可得：圆锥曲线+y2=1的焦距为2或2；
故答案为：2或2．
15. 设函数在其定义域D上的导函数为，如果存在实数a和函数，其中对任意的，都有，使得则称函数具有性质，给出下列四个函数：
①；②；
③；④
其中具有性质的函数为：__________________（把所有正确的判断都填上）．
参考答案：
①②③
略
16. 对于集合(n∈N*，n≥3)，定义集合，记集合S中的元素个数为S(A).
（1）若集合A＝{1，2，3，4}，则S(A)＝ .
（2）若a1，a2，…，a n是公差大于零的等差数列，则S(A)＝ (用含n的代数式表示).
参考答案：
5，2n－3.
（1）据题意，S＝{3，4，5，6，7}，所以S(A)＝5.
（2）据等差数列性质，当时，，当时，.
由题a1＜a2＜…＜a n，
则.所以.
17. 如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=，将△ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在[，]内变化，则点A 所形成的运动轨迹的长度为
．
参考答案：
【考点】J3：轨迹方程．
【分析】过A 作BD 的垂线AE，则A点轨迹是以E为圆心的圆弧，以E为原点建立坐标系，设二面角A﹣BD﹣A′的大小为θ，用θ表示出A和C的坐标，利用距离公式计算θ的范围，从而确定圆弧对应圆心角的大小，进而计算出圆弧长．
【解答】解：过A作AE⊥BD，垂足为E，连接CE，A′E．
∵矩形ABCD中，AB=1，BC=，
∴AE=，CE=．
∴A点的轨迹为以E为圆心，以为半径的圆弧．
∠A′EA为二面角A﹣BD﹣A′的平面角．
以E为原点，以EB，EA′，EA为坐标轴建立空间直角坐标系E﹣xyz，
设∠A′EA=θ，则A（0，cosθ，sinθ），C（﹣1，﹣，0）
∴AC==，
∴，
解得0≤cosθ≤，
∴60°≤θ≤90°，
∴A点轨迹的圆心角为30°，
∴A点轨迹的长度为=．
故答案为：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知p：x∈R,2x＞m(x2＋1)，q：x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围．
参考答案：
19. （12分）（2010?湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有＜0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案：
考点：抛物线的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，然后根据等量关系列方程整理即可．
（Ⅱ）首先由于过点M（m，0）的直线与开口向右的抛物线有两个交点A、B，则设该直线的方程为
x=ty+m（包括无斜率的直线）；然后与抛物线方程联立方程组，进而通过消元转化为一元二次方程；再根据韦达定理及向量的数量积公式，实现?＜0的等价转化；最后通过m、t的不等式求出m的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：
化简得y2=4x（x＞0）．
（Ⅱ）设过点M（m，0）（m＞0）的直线l与曲线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）．
设l的方程为x=ty+m，由得y2﹣4ty﹣4m=0，△=16（t2+m）＞0，
于是①
又．?（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=x1x2﹣
（x1+x2）+1+y1y2＜0②
又，于是不等式②等价于
③
由①式，不等式③等价于m2﹣6m+1＜4t2④
对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于m2﹣6m+1＜0，解得
．
由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有
，且m的取值范围．
点评：本题综合考查向量知识、直线与抛物线的相交问题及代数运算能力．
20. 已知函数f（x）=ax+1nx（a∈R），g（x）=e x．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）证明：当a=0时，g（x）＞f（x）+2．
参考答案：
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出f（x）的定义域是（0，+∞），导函数，通过10当a≥0时；20当a＜0时，求解函数的单调区间．
（2）求出函数的定义域，化简令F（X）=e x﹣lnx，求出导函数，通过二次求导，求出函数的最值，判断导数的符号，得到函数的单调性，然后求解函数的最值即可．
【解答】（本小题满分12分）
解（1）f（x）的定义域是（0，+∞），10当a≥0时，f'（x）＞0，所以在
（0，+∞）单调递增；20当a＜0时，由f'（x）=0，解得．
则当时． f'（x）＞0，所以f（x）单调递增．当时，f'（x）＜0，所以f（x）单调递减．
综上所述：当a≥0时，f（x）增区间是（0，+∞）；
当a＜0时，f（x）增区间是，减区间是
．…
（2）f（x）=lnx，f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞），
令F（X）=e x﹣lnx，，，所以F'（x）单调递增
因为，所以存在唯一使得，∴
且当x∈（0，x0）时F'（x）＜0，F（x）递减；当x∈（x0，+∞）时F'（x）＞0，F（x）当递增；
所以
故g（x）＞f（x）
+2．
…
21. 已知函数，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（Ⅱ）当a≠1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若，证明对任意，恒成立．
参考答案：
见解析
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．
【专题】综合题；分类讨论；函数思想；综合法；构造法；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）把a=2代入函数解析式，求出原函数的导函数，得到曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的导数值，再求出f（1），代入直线方程的点斜式求切线的方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，根据a的范围由导函数的零点对函数定义域分段，利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性；
（Ⅲ）当0＜a＜时，f（x）在[，1]内是减函数，又x1≠x2，不妨设0＜x1＜x2，则f（x1）＞f
（x2），于是等价于，
即．构造函数（x＞0），利用导数证明其为减函数得答案．
【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，f（x）=，f′（x）=，
∴f ′（1）=，
∵f （1）=
．
∴切线方程为：y+2=
（x ﹣1），整理得：x+2y+3=0；
（Ⅱ）f ′（x ）x ﹣=（x ＞0），
令f ′（x ）=0，解得：x=a 或x=． ①若0＜a ＜1，，当x 变化时，f ′（x ），f （x ）的变化情况如表：
x
a
（a ，）
（）
﹣ 0 + ∴f （x ）在区间（0，a ）和（）内是增函数，在（a ，）内是减函数；
②若a ＞1，，当x 变化时，f ′（x ），f （x ）的变化情况如表：
（0，）
（）
+ 0 ﹣∴f （x ）在区间（0，）和（a ，+∞）内是增函数，在（，+∞）内是减函数；
（Ⅲ）∵0＜a ＜，∴f （x ）在[，1]内是减函数，又x 1≠x 2， 不妨设0＜x 1＜x 2，则f （x 1）＞f （x 2），
．
于是等价于
，
即
．
令（x ＞0），
∵g ′（x ）=
在[，1]内是减函数，
故g ′（x ）≤g ′（）=2﹣（a+）．
从而g （x ）在[，1]内是减函数，
∴对任意
，有g （x 1）＞g （x 2），即
，
∴当，对任意，恒成立．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考
查数学转化思想方法，等价转化是解答（Ⅲ）的关键，属难题．
22. 已知…
，
．记
．
（1）求
的值；
（2）化简
的表达式，并证明：对任意的
，
都能被
整除．
参考答案：
由二项式定理，得（i?0，1，2，…，2n+1）．
（1）
； ……
2分
（2）因为
，
…… 4分
所以
．
…… 8分
．
因为，所以能被整
除．…… 10分。