不等关系与一元二次不等式复习教案

高三数学复习教案
——不等关系与一元二次不等式
教学目标:1、熟练掌握不等关系及其判别方法；
2、熟练掌握一元二次不等式的解法；
3、初步理解“三个二次”之间的关系。

教学重难点:一元二次不等式的解法及“三个二次”之间的关系的理解。

教学方式:活动单、讨论式。

教学过程:
活动一、不等关系及其判断
例1、已知:a 、b 、c 是任意实数，且b a >，则下列不等式恒成立的有 2、4 ；
①()()4
4c b c a +>+ ②22bc ac > ③c a c
b +<+lg lg ④()()3
131c b c a +>+
例2、若0,0<<->>>d c a b a ，则下列命题:①bc ad >；②
0<+c
b
d a ； ③d b c a ->-；④()()c d b c d a ->-中能成立的是 1、3、4 ；
判别的方式:常用特殊值加以判别。

例3、（1）若0,0>>b a ，试比较33b a +与22ab b a +的大小； （2）已知a
C a B a A a +=
-=+=<<11
,1,1,0122－，试比较A 、B 、C 的大小； （3）比较b a b a 与a b b a （b a ,为不相等的正数）的大小。

解:判别两个因式或两个数大小的常用方法是:比较法（作差或作商） （1）33b a +-（22ab b a +）=()()a b b b a a ab b b a a -+-=-+-222323
()()02
≥+-=b a b a
（2）三个数比较大小时应注意判别有没有明显的大小关系。

111
,11,1122>+=
<-=>+=a
C a B a A 故只需比较:A 、C 的大小。

（3）b a a b b a a b b a b a
b a b
a b a ---==)(
时，
0,0>>b a ①b a >⇒>->⇒0,1b a b a 1>a b b a b a b a ；②b a <⇒<-<<⇒0,10b a b a
1>a
b b
a b
a b a 综上:时，0,0>>b a 均有1>a b b
a b
a b a ⇒b a b a >a b b a
结论：1、判别不等关系的方法：常用的是特殊值法；
2、比较大小常用：作差比较与作商比较（注意各自的特征）。

活动二、一元二次不等式及其解法
例1.解下列关于x 的不等式：
（1）0542≤--x x ； （2）02632>+-x x ； （3）02532<+--x x ； （4）02322<-+-x x ； （5）053212>-+-
x x ； （6）04
21≤+x x －。

解：（1）解集为：{}51≤≤-x x
（2）解集为：⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-<+>331331x x x 或 （3）02532<+--x x 02532>-+⇒x x
解集为：⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
>
-<312x x x 或 （4）⇒<-+-02322x x 02322>+-x x
⇒<∆0 解集为R （5）01060532
122
<+-⇒>-+-
x x x x ⇒<∆0 解集为Φ
（6）()()21
40404120421≥-<⇒⎩⎨⎧≠+≥+-⇒≤+x x x x x x x 或－
说明：解一元二次不等式应注意其解题步骤：
1、二次项系数；
2、确定方程的根；
3、根据不等号方向确定解集。

例2（2008天津卷8）已知函数2,
0()2,0
x x f x x x +⎧=⎨
-+>≤⎩，则不等式2()f x x ≥的解集
是
【解析】原不等式可转化为不等式组22
00
22x x x x x x
≤>⎧⎧⎨⎨+≥+≥⎩⎩或,可解得11x -≤≤
点评:分段函数问题是高考中的热点问题.
例3.解下列关于x 的不等式：
（1）()()02≤--x a a x ； （2）()0112<++-x a ax 。

解：（1）()()()()0022≥--⇒≤--a x a x x a a x
下面分类讨论：①2a a =，即：10==a a 或，解集均为R ；
②10,2><<a a a a 或即时，解集为：{}
a x a x x <>或2 ③2a a >,即10<<a 时，解集为：{}
a x a x <<2
（2）①0>a ，()0112<++-x a ax ⇒()011<-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-x a x
再分：
a
1
与1的大小关系 ②0=a
③0<a 综上：
结论：1、一元二次不等式的解法；2、对于含参数的不等式应注意考虑讨论的次序。

按解不等式的步骤分类。

活动三、一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间的关系，及其应用。

例1、 已知不等式022>++bx ax 的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧<
<-3121
x x ，试求实数a 、b 的值。

解：不等式022>++bx ax 的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧<
<-3121
x x ，说明什么？
①0<a ；②⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=+-=-6123
121a
a b
⇒b a ,的值。

例2.设函数()12--=mx mx x f
（1） 若对于一切实数x ，()0<x f 恒成立，求实数m 的取值范围； （2） 对于[]3,1∈x ，()0<x f 恒成立，求实数m 的取值范围。

解：对于恒成立问题的处理：① 二次函数的图像；②分离变量。

（1）012<--mx mx 对一切实数恒成立：法一：当0=m 时，恒成立；当0≠m 时
⎩⎨⎧<+=∆>0
402
m m m ；法二：分离变量：012
<--mx mx ()1,012≠-<⇒x x x m （2）[]3,1∈x ，()0<x f 恒成立，法一：当0=m 时，恒成立；当0>m 时()()⎩⎨⎧<<020
1f f
当0<m 时()01<f 。

法二：分离变量：012<--mx mx ()11
2
≠-<
⇒x x
x m
结论：1、熟练掌握三个二次之间的关系，能在具体题目中相互转化。

特别是二次函数
的图像在解题中尤为重要。

2、对于恒成立问题熟悉其常用处理方法：图像与变量分离，同时需注意各自解题的细节。

活动四、总结归纳本节课的知识及收获。

活动五：巩固练习：
1、 解下列关于x 的不等式：
（1）022<--x x ； （2）0322>-+-x x 2、
3、 解下列关于x 的不等式：
（1）()()R a a x a a x ∈>++-0322 （2）()()R a x a ax ∈<++-02122
3、已知不等式4632>+-x ax 的解集为{}
b x x x ><或1，（1）求b a ,，（2）解关于x 的不等式0>--b
ax c
x （c 为常数）。

4、设()()112-+--=m mx x m x f
（1）若方程()0=x f 有实数根，求实数m 的取值范围； （2）若不等式()0>x f 的解集为φ，求实数m 的取值范围； （3）若不等式()0>x f 的解集为R ，求实数m 的取值范围。

5、已知不等式p x px x +>++212
（1）若不等式当2≤p 时恒成立，求x 的范围； （2）若不等式当42≤≤x 时恒成立，求p 的范围。

1、判别不等关系的方法：常用的是特殊值法；
2、比较大小常用：作差比较与作商比较（注意各自的特征）。

1、熟练掌握三个二次之间的关系，能在具体题目中相互转化。

特别是二次函数的图像
在解题中尤为重要。

2、对于恒成立问题熟悉其常用处理方法：图像与变量分离，同时需注意各自解题的细节。

教学反思：一元二次不等式解法是考纲C 级考点，在历年高考中都是考查的重点，但也是学生学习过程中的一个难点。

因此，在教学的过程中采取层层推进的方法，利用小组活动讨论，让学生切身体会如何利用数形结合思想。

本学案分成三个部分预习单、活动单、巩固单。

在本节课教完之后，发现学生处理这些问题还不能比较熟练，需要在以后的练习中不断渗透。