所需补充的数学知识

第一部分 三角函数表
三角函数表
反三角函数表
1arcsin1,arcsin
,arcsin ,arcsin(1)2
26232
π
πππ=
==-=-
1arccos10,arccos ,arccos ,arccos(1)2326ππ
π
===-=-
arctan1,arctan(1),arctan 004
4
π
π
=
-=-
=
第二部分 极限
极限
数列极限：
刘徽的“割圆术”，设有一个半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法之下，要
计算其面积：
方法：先做圆的内接正六边形，其面积记为1A ，再做一内接正12边形，记其面积为2A 再做一内接正24边形，记其面积为3A ,如此逐次将变数加倍。

得到数列12,,...,,.....n A A A ，则当n 无穷大时，有
lim n n A s →∞
= 函数极限：
0lim ()()x x f x f x →=
常用的极限公式
0lim 0(0)
lim 0(0)
1
x
x x x e
e
e e e --∞
→+∞-∞→-∞
=====
1
lim
0lim arctan 2
lim arctan 2
n x x n
x x π
π
→∞→+∞
→-∞
==
=-
常用的几个公式
(1)
12 (2)
n n n ++++=
111111
()1(1)11n
n
k k k k k
k n ===-=-+++∑∑ 21......2!!
n
x
x x e x n =+++++
等比数列公式：
是等比数列
,n S =1(1)
1n a q q
--
当q<1时，等比数列的无穷项级数和为1
1a S q
=
- 等差数列公式：1()2n n a a Sn +=
或者：1(1)2
n n d
Sn na -=+ 第一部分 等差数列求和公式推导
一、概念：等差数列是常见数列的一种，如果一个数列从第二项起，每一项与它
的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，而这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示。

例如：1,3,5,7,9……1+2(n -1)。

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n 项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2。

注意： 以上n 均属于正整数
二、等差数列求和公式推导
Sn=a1+a2+a3+。

+an①
Sn=an+a （n-1）+a （n-2）+。

+a1② ①+②得：
2Sn=[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an] Sn={[a1+an]+[a2+a(n-1)]+[a3+a(n-2)]+...+[a1+an]}/2 Sn==n （A1+An ）/2 (a1，an ，可以用a1+（n-1）d 这种形式表示可以发现括号里面的数都是一个定值，即A1+An ）
第二部分 等比数列求和公式推导
一、概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列。

这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q≠0)。

注：q=1时，an 为常数列(n 为下标）。

二、等比数列求和公式推导
（1）Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
（2）q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q /*等式两边乘以公比q*/ =a2+a3+a4+...+a(n+1)
（3）Sn-q*Sn=a1-a(n+1) /*（1）-（2）两式相减*/ （4）(1-q)Sn=a1-a1*q^n （5）Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q) （6）Sn=(a1-an*q)/(1-q) （7）Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
首项为a ，公比为q 的等比数列的前n 项部分和Sn=a(1-q^n)/(1-q)， 当|q|<1时，等比数列的和S=a/(1-q)， 当|q|>=1时，等比数列没有和。

例 设二维随机变量),(Y X 的分布函数为
)2arctan )(arctan (),(y c x b a y x F ++=,.,+∞<<-∞+∞<<∞-y x
求：（1）常数a, b, c;
(2) ),(Y X 的概率密度. 解：（1）由分布函数的性质知
,
0))2arctan()(2
(),(,0)2
))(arctan((),(,
1)2
)(2
(),(=+-=-∞=-
-=-∞=+
+
=+∞+∞y c b a y F c x b a x F c b a F π
π
π
π
从上面第二式得2
π
=
c , 从上面第三式 得2
π
=
b , 再从上面第一式 得2
1
π
=
a .
由于
,)2arctan 2)(arctan 2
(1),(2y x y x F ++=
πππ
从而概率密度为
.)
41)(1(2
),(),(2
222y x y x y x F y x f ++=∂∂∂=π
第三部分 导数
导数含义
函数值的增长与自变量增长之比的极限。

重要的求导公式
()0.C '= 1()n n x nx -'=
()ln x x a a a '=. ()x x e e '=
1(log )ln a x x a '=
． 1
(ln )x x
'=． (sin )cos x x '=． (cos )sin x x '=-．
22(arcsin )(arccos )1
1(arctan )(arc cot )111
1
(log )(ln )ln a x x x x x x x x x a
x
''=
=''=
=-++''=
=
导数的四则运算
若函数)(x u u =，)(x v v =都在点x 处可导，则有 (ⅰ))()())()((x v x u x v x u '±'='±； (ⅱ))()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='；
(ⅲ))()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛， 0)(≠x v ． 例题：
().,.().()cos sin
,().().
(sin cos ),.125372422
3323y x x x y f x x x f y e x x y x =-+-'=+-'=+'求求求ππ
解：（1）32(2)(5)(3)(7)y x x x '''''=-+-
322()5()3()0x x x '''=-+-
223523x x =⋅⋅-⋅⋅+ 26103x x =-+
(2) 3
()()(4cos )(sin
)2
f x x x π
''''=+⋅-
234(cos )0x x '=⋅+⋅-
234sin x x =- 2()3()4sin 222
f πππ
'=⋅-⋅
2
344
π=- (3) (sin ((sin cos co ))s )x x
y x x x e e x '+⋅⋅''=++
(sin cos (sin )()[]cos )x x x x e x e x =⋅++⋅''+ cos (sin cos )s )n (i x x x x e e x x =⋅++-⋅
2cos x e x =
（4）211()x x
'=-
在概率中的应用主要是知道分布函数求密度函数，需要对分布函数求导数。

．
3 复合函数的求导链式法则
两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．
[(())](())()f g x f g x g x '''=
在利用复合函数的求导法则解决求导问题时，应该注意以下几点： (1)准确地把一个函数分解成几个比较简单的函数；
(2)复合函数求导后，必须把引进的中间变量换成原来的自变量．
利用复合函数的求导法则求导的步骤如下：
(1)从外到里分层次，即把复合函数分成几个简单的函数；
(2)从左到右求导数，即把每一个简单函数对自身的自变量的导数求出来； (3)利用链式求导法则，从左到右作连乘． 例题：
()tan 12,.y x y '=-求
解 函数()tan 12y x =-可分解为tan ,12.y u u x ==- 则
()'
2'tan sec ,(12) 2.x u dy du
u u x du
dx
===-=- 由复合函数求导法则有
22sec (2)2sec (12).dy dy du u x dx du dx
=⋅=⋅-=-- 88881()**22222
X X X y y y y F F F '----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
主要在第二章第四节里面用
第四部分 原函数和不定积分
原函数：
已知
f x ()是一个定义在区间I 内的函数，如果存在着函数F x ()， 使得对I 内任何
一点x ，都有
'=F x f x ()() 或 dF x f x dx ()()=
那么函数F x ()就称为f x ()在区间I 内的原函数。

例如：F x x ()
sin =是f x x ()cos =在区间I =-∞+∞(,)上的原函数。

不定积分
在区间I 内，函数f x ()的带有任意常数项的原函数称为f x ()在区间I 内的不定积
分， 记作 f x dx ()⎰，即 ()()f x dx F x C =+⎰。

其中：
⎰
称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。

基本积分公式
()()f x dx F x C =+⎰
由基本微分公式可得基本积分公式 ○1⎰+=C kx kdx (k 为常数)， 01dx C dx x C ==+⎰⎰
○
21
11
x dx x C μ
μμ+=++⎰
(1-≠μ)， ○3⎰+=C x dx sin cos ， ○4⎰
+-=C x xdx cos sin ， ○
5⎰⎰
+==C x dx x xdx tan cos 1sec 22， ○6⎰⎰
+-==C x dx x
xdx cot sin 1csc 2
2
， ○7⎰+=C x xdx x sec tan sec ， ○8⎰
+-=C x xdx x csc cot csc ， ○
9⎰+=C a a
dx a x x ln 1， ○
10x x
e dx e C =+⎰， ○11⎰
+=C x dx x ln 1
， ○
12⎰+=-C x dx x
arcsin 112
，
○
13⎰
+=+C x dx x arctan 11
2
. 这些基本公式是求不定积分的基础，应熟记．
求不定积分的方法
第一类换元法
先看下例：22cos xdx ⎰
回忆： (sin 2)cos 2(2)2cos 2x x x x ''==
2cos 2cos 2cos )2((22)x xdx x dx x d x ='=⎰⎰⎰ 令 2u x =，
cos sin sin 2udu u C x C ==+=+⎰
定理1 （第一类换元法）：
()
()
[()]()
()[()()[()]]|
()u x u x dx dx f x d x f u g x u f x u F C x d ϕϕϕϕϕϕ=='===
=+⎰⎰⎰⎰
这种方法称为凑微分法．（将公式中的箭头作出动态效果）
例1求下列不定积分
1、2
32+⎰x
dx ， 2 ⎰+dx x 6)23(
解1、
211
32323(32)(32)2x dx dx d x x x x ==++'+++⎰⎰⎰ 令 32u x =+
ln ||ln |32|du
u C x C u ==+=++⎰ 2、6
6
1(32)(32)(32)2x dx x x dx '+=
++⎰⎰ 6
1(32)(32)2x d x =++⎰ 令 x u 23+=
=6
771111(32)22714
u du u C x C ⋅=⋅+=
++⎰ 注意：
1
()()()f ax b dx f ax b d ax b a
+=
++⎰
⎰ 由上面的解题可发现，变量u 只是一个中间变量，在求不定积分的过程中，只是起过
渡作用，最终都要换回到原来的积分变量。

因此，在较熟练之后，可以采用不直接写出中间变量的做法。

例如：
2cos 2cos 22sin 2xdx xd x x C ==+⎰⎰
2(32)ln |32|3232d x dx x C x x +==++++⎰⎰
通过以上例题，可以归纳出如下一般凑微分形式：
⎰
⎰++=+)()(1
)(b ax d b ax f a
dx b ax f )0(≠a ；
⎰
⎰
=
x x x x de e f dx e e f )()(；
⎰
⎰
=x d x f x
dx
x f ln )(ln )
(ln ； ⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ； ⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ； ⎰⎰=x d x f xdx x f tan )(tan sec )(tan 2；
⎰
⎰=+⋅
x d x f x dx
x f arctan )(arctan 1)(arctan 2
；
⎰
⎰
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛x
d x f dx x x f 11112 等等．
第二类换元法
()
1
()[()]()()()x t f x dx f t t dt t C x C ψψψψ=-'⎡⎤=
=Φ+=Φ+⎣⎦⎰
⎰
2、 分部积分法
利用复合函数微分法则导出了换元积分法，它能解决许多积分问题，但仍有许多类型的积分用换元法也不能计算，例如⎰dx xe x 、⎰xdx x cos 2、⎰
xdx arctan 等等
本节我们用乘积的微分公式导出另一种重要的积分方法——分部积分法，可以解决许多积分问题．
设)(x u 、)(x v 是两个可微函数，由
udv vdu uv d +=)(
得
v d u u v d u d v -=)(．
两边积分，可得
⎰⎰⎰-=v d u uv d udv )(．
即
⎰⎰-=vdu uv udv ． 分部积分公式
例子：
oo
oo
x
x xe dx xde ++=⎰
⎰
sin cos sin sin x xdx xd x =⎰⎰
二、特殊情况
1、用分部积分法计算．不过有时需要多次使用分部积分法． 例6 求⎰
-dx e x x 2．
解
⎰
⎰⎰
------=-=)(2222dx e e x de x dx e x x x x x
22x x
xe x e dx --=-+⎰
22x x e e xd x --=--⎰
⎰
------=)(22dx e xe e x x x x
C e xe e x x x x +---=---222． 小结：
1．对可微函数)(x u 、)(x v ，有分部积分公式：
⎰⎰-=vdu uv udv ．
当v 容易求出，且⎰vdu 比⎰
udv 易于积分时．利用分部积分公式易于计算．
2．要记住适合使用分部积分法的常见题型及凑微分d v 的方式．
如果被积函数是两类基本初等函数的乘积，使用分部积分法时进入微分号的顺序一般为：指数函数，三角函数，幂函数，反三角函数，对数函数。

第五部分 定积分的基本性质
定积分性质
性质1
dx x g dx x f dx x g x f b
a
b
a
b
a
)()()]()([⎰⎰
⎰
±=±．
这个性质可推广到有限多个函数的情形． 性质2
dx x f k dx x kf b
a
b
a
)()(⎰
⎰
= （k 为常数）．
性质3 不论c b a ,,三点的相互位置如何，恒有
dx x f dx x f dx x f b
c
c
a
b
a
)()()(⎰
⎰
⎰
+=．
这性质表明定积分对于积分区间具有可加性． 牛顿－莱布尼茨公式
定理2 （ 牛顿(Newton)－莱布尼茨(Leibniz)公式 ） 如果函数)(x F 是连续函数)
(x f 在区间],[b a 上的一个原函数，则
)()()(a F b F dx x f b
a
-=⎰
定积分的计算
1．定积分的分部积分法
设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数，由微分法则vdu udv uv d +=)(，可得
vdu uv d udv -=)(．
等式两边同时在区间],[b a 上积分，有
v d u
uv udv b
a
b
a b
a
⎰⎰
-=)(． 定积分的分部积分公式， 例5 设)(x f 在],[a a -上连续，证明： (1) 若)(x f 为奇函数，则0)(=⎰
-a
a dx x f ； (2) 若)(x f 为偶函数，则dx x f dx x f a a
a
)(2)(0
⎰
⎰
=-．
小结：
1．定积分换元积分定理：
[]()()()b
a
f x dx f t t dt β
α
ϕϕ'=⎰
⎰．
注意：换元必换限， 下限对下限，上限对上限
2．定积分分部积分法：设函数()u x 与()v x 均在区间[,]a b 上有连续的导数，则有
()b
b
b
a a
a
udv uv vdu =-⎰
⎰．
3．对称区间上的积分：设()f x 在[,]a a -上连续，则有 (1) 若()f x 为奇函数，则()0a
a f x dx -=⎰
； (2) 若()f x 为偶函数，则
()2()a
a a
f x dx f x dx -=⎰
⎰
．
广义积分
1．设()f x 在积分区间上连续，定义
()lim ()b
a
a
b f x dx f x dx +∞
→+∞=⎰⎰
()lim ()b
b
a a f x dx f x dx -∞
→-∞=⎰
⎰，
()()()c
c
f x dx f x dx f x dx +∞
+∞
-∞
-∞
=+⎰
⎰
⎰
．
变上限的积分
如果()f x 在区间[,]a b 上连续，则有
()
()()x
a
f t dt f x '
=⎰
．
例一 设随机变量X 的概率密度为
()⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<≤=.,0,21,2,10,
其他x x x x x f
求X 的分布函数()x F .
解 当0<x 时, ()()⎰∞
-==x
dt t f x F ;0
当10<≤x 时,
()⎰==x
x tdt x F 02
;2
当21<≤x 时, ()()⎰⎰
-+-=-+=
10
2
1
;122
2x x dt t tdt x F x
当2≥x 时, ()()⎰⎰=-+=10
2
1
,12dt t tdt x F
即X 的分布函数为
()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-+-<≤<=.2,1,21,122,10,2,0,02
2
x x x x x x x x F 例二 设连续型随机变量X 的分布函数为
()⎪⎩
⎪⎨⎧≥<<≤=.1,1,10,,0,
02
x x x x x F
求（1）X 的概率密度)(x f ；（2）X 落在区间)7.0,3.0(的概率. 解 （1）()()⎩
⎨
⎧<<='=.,0,
10,2其他x x x F x f
（2）有两种解法：
{}()();12.03.07.03.07.07.03.022=-=-=<<F F X P 或者,{}().12.027.03.07
.03
.07
.03
.0===
<<⎰⎰
dx x dx x f X P
例三 设某种型号电子元件的寿命X （以小时计）具有以下的概率密度
()⎪⎩⎪⎨⎧≥=.,
0,
1000,10002其他x x x f
现有一大批此种元件（设各元件工作相互独立）,问
任取1只,其寿命大于1500小时的概率是多少？ 任取4只,4只元件中恰有2只元件的寿命大于1500的概率是多少？ 任取4只,4只元件中至少有1只元件的寿命大于1500的概率是多少？
解 （1）{}321000100015001500
15002=⎪
⎭⎫
⎝⎛-==>+∞
∞
+⎰x dx x X P . （2）各元件工作相互独立,可看作4重贝努利试验,观察各元件的寿命是否大于1500小时. 令Y 表示4个元件中寿命大于1500小时的元件个数,则Y ～)3
2,4(B ,所求概率为
{}27
8313222
2
24=⎪⎭⎫
⎝⎛⎪
⎭
⎫ ⎝⎛==C Y P .
所求概率为{}{}81
80313210114
04=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==-=≥C Y P Y P . 第六部分 偏导数求法
1．偏导数的定义 设函数z = f (x , y )在点P (x , y )的某邻域有定义，函数z 在点P (x , y )处对变量x 的偏导数和对变量y 的偏导数分别定义为
'x z f z x x
∂∂==∂∂= 0
(,)(,)
(,)lim
x x f x x y f x y f x y x
∆→+∆-=∆；
'y z f z y y ∂∂==∂∂=0(,)(,)(,)lim .y y f x y y f x y f x y y
∆→+∆-=∆
更多元的函数可以类似地定义偏导数．
2．偏导数的计算 对一个自变量求偏导数时，只要把其它的自变量都当常数就行了．因此，一元函数的求导公式与导数运算法则都可用于求多元函数的偏导数．
3．高阶偏导数 对函数z = f (x , y )的偏导数再求偏导数就得到高阶偏导数，例如
22z z x x x ∂∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂⎝⎭=xx f ；2z z
y x x y
∂∂∂⎛⎫=
⎪∂∂∂∂⎝⎭= xy f ； 2z z x y y x ⎛⎫∂∂∂= ⎪∂∂∂∂⎝⎭= yx f ；22
z z
y y y ⎛⎫∂∂∂=
⎪∂∂∂⎝⎭=yy f ． 其中xy f 、yx f 称为混合偏导数．类似地可以定义更高阶的偏导数． 注意：1、更多元的函数可以类似地定义偏导数．
2、计算法：对一个自变量求偏导时，只要把其他自变量都当常数就行
求∂∂z x
时，把y 看作常量，而对x 求导数； 求
∂∂z
y
时，把x 看作常量，而对y 求导数。

例1求z
x xy y =++223在点(,)12处的偏导数。

解法1： ∂∂z x x y =+23, ∂∂z
y
x y =+32
则
(1,2)
8z
x
∂∂= ,
(1,2)
7z y
∂∂=
解法2：
f x x x (,)2642=++， f y y y (,)1132=++ 则
f x
x x (,)122618=+== f y y y (,)123227=+==
主要用于第三章的二维随机变量的分布函数的求导 例一 设(X, Y )的概率密度为
.
,
10,0,
0,
8),(其他≤≤≤≤⎩⎨
⎧=y y x xy y x f
求：关于X 及关于Y 的边缘概率密度, 并判断X 与Y 是否相互独立. 解：关于X 的边缘概率密度dy y x f x f X ⎰
+∞
∞-=),()(.
当10≤≤x 时, 3
48)(x
xydy x f x
X ==
⎰,
当0<x 或1>x 时 , 0)(=x f X ,
所以.,
,
10,
0,
4)(3其他≤≤⎩⎨
⎧=x x x f X
同理,
,10,0),
1(4,,1008)(21其他其他，
，≤≤⎩⎨⎧-⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=⎰y y y y xydx y f y
Y
当10,10≤≤≤≤y x 时,)()(),(y f x f y x f Y X ≠, 所以X 与Y 不独立.
第七部分 二重积分的性质
由于二重积分的定义与定积分的定义是类似的，因而二重积分有与定积分类似的性质，叙述于下（假定所出现的二重积分均存在）：
性质1 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即
⎰⎰⎰⎰=D
D
d y x f k d y x kf σσ),(),( (k 为常数)．
特别，令 f (x , y )≡1，则有
σσ=⎰⎰D
d 1（D 的面积）
．
性质2 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即
⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±D
D
D
d y x g d y x f d y x g y x f σσσ),(),()],(),([．
性质3 如果区域D 可以划分为D 1与D 2，其中D 1与D 2除边界外无公共点，则
⎰⎰D
d y x f σ),(=⎰⎰1
),(D d y x f σ＋⎰⎰2
),(D d y x f σ．
例 1 设X 与Y 是两个相互独立的随机变量, X 在[0, 1]服从均匀分布, Y 的概率密度为
.
0,
0,
0,
21)(2≤>⎪⎩⎪
⎨⎧=-y y e y f y
Y
求: (1) (X , Y )的概率密度； (2) }1{≤+Y X P ; (3) }3{≤+Y X P .
解: (1)由已知X 与Y 相互独立, (X , Y )的概率密度为
.
,
0,10,
0,
21)()(),(2其他><<⎪⎩⎪
⎨⎧==-y x e y f x f y x f y
Y X
.
12)1()2
1(),(}1{)2(2
11
2
11
10
2
1-=-===
≤+-
----≤+⎰⎰⎰
⎰⎰e
dx e
dx dy e dudv v u f Y X P x x
y
y x
.
122)1()2
1(),(}3{)3(12
31
2
31
30
2
3
+-=-===
≤+--
----≤+⎰⎰⎰
⎰⎰e e
dx e
dx dy e dudv v u f Y X P x x
y
y x
例2 设),(Y X 的概率密度为
.,
0,0,
0,),()(其他>>⎩⎨
⎧=+-y x e y x f y x 求),(Y X 的分布函数),(y x F . 解: 由定义5知
dudv v u f y x F x
y
⎰
⎰
∞-∞
-=),(),(,
当x >0, y >0时,
),
1)(1(),()(y x y v x
u
x
y
v u e e dv e du e dudv
e y x F --∞
--∞
--∞-∞-+---=⋅==⎰⎰⎰
⎰
当00≤≤y x 或 时, ,0),(=y x F
.其他,
0,00),1)(1(),(从而>>⎩
⎨
⎧--=--y x e e y x F y x ，
例3 设X 的概率密度为
其他，,21,10,0,2,
)(<≤<≤⎪⎩
⎪
⎨⎧-=x x x x x f 求])([X E X E -.
解：
,1)18(31
14313131)2()()(2132
121031
2
1
2
=---+=-+=
-+==⎰⎰⎰+∞∞
-x x x dx
x x dx x dx x xf X E
.3
1)1(2)1()2(1()1()2(11]
1[])([2
1
20
2
1
10
2
1
1
=-+-=--+-=--+-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰dx
x dx x x dx x x dx x x dx
x x dx x x X E X E X E
例4 设（X,Y ）服从在D 上的均匀分布,其中D 为x 轴, y 轴及x +y =1所围成，求D(X ).
解: ,3
1321)22(2)(1
021010⎰⎰⎰=-
=-==
-dx x x xdydx X E x
,61
2132)1(22)(102101022⎰⎰⎰=-=-==-dx x x dydx x X E x
D(X ) =18
1
9161=-.
二、 二重积分的计算
按照二重积分的定义计算二重积分，只对少数特别简单的被积函数和积分区域是可行的，对一般的函数和区域，这种“和式的极限”是无法直接计算的．下面我们介绍将二重积分转化为两次定积分来计算的方法，这是计算二重积分的一种行之有效的方法．
1．X —型区域上二重积分的计算 设D 是平面有界闭区域，若穿过D 的内部且平行于y 轴的直线与D 的边界相交不多于两点（如图示3），则称D 为X —型区域．由图可知，此时区域D 可以用不等式表示为
D ：12()(),
x y x a x b ϕϕ≤≤≤≤．
在区间[a ，b ]上任取一点x ，过点x 作与x 轴垂直的直线，它与D 相交于12(),()x x ϕϕ两点，
⎰
=)
()
(21),()(x x dy y x f x A ϕϕ，a ≤x ≤b ．
21()
()
()[(,)]b
b
x a
a
x A x dx f x y dy dx ϕϕ=⎰
⎰⎰
经过以上两步计算，(,)f x y 相当于在区域D 上累加了一遍。

因此
⎰⎰
D
d y x f σ),(dx dy y x f x x b
a
⎰
⎰=)
()
(21]),([ϕϕ． （1）
由此可见，二重积分可以化为两次定积分来计算．第一次对变量y 积分，将x 当作常数，积分区间是区域D 的下边界的点到对应的上边界的点．第二次对x 积分，它的积分限是常数．这种先对一个变量积分，再对另一个变量积分的方法，称为累次(或二次)积分法．公式（1）是先对y 后对x 的累次积分公式，通常简记为
⎰⎰
D
d y x f σ),(⎰
⎰=)
()
(21),(x x b
a
dy y x f dx ϕϕ．
图3
2．Y —型区域上二重积分的计算 设D 是平面有界闭区域，若穿过D 的内部且平行于x 轴的直线与D 的边界相交不多于两点（如图示4），则称D 为Y —型区域．由图可知，此时区域D 可以用不等式表示为
D ：12()(),
y x y c y d ψψ≤≤≤≤．
图4
利用与前面相同的方法，可得先对x 后对y 的累次积分公式： ⎰⎰
D
d y x f σ),(21()
()
(,)][y y d
c
d f x y dx y ψψ=⎰⎰
． （2）
通常简记为
⎰⎰D
d y x f σ),(⎰⎰=)
()
(21
),(y y d
c dx y x f dy ψψ． （3）
3．一般区域上二重积分的计算
如果区域D 不属于上述两种类型，则二重积分不能直接利用公式(1)、(3)来计算．这时可以考虑将区域D 划分成若干个小区域，使每个小区域或是X —型区域、或是Y —型区域．在每个小区域上单独算出相应的二重积分，然后利用二重积分对区域的可加性即可得所求的二重积分值．
计算二重积分d ,D
I x y σ=
⎰⎰
其中D 是直线 y ＝1, x ＝2, 及y ＝x 所围的闭区域。

解法1. 将D 看作X –型区域, 则
:1,12D y x x ≤≤≤≤
[1,2]x ∀∈，过x 作直线平行于y 轴，交区域下边界
为1y =，上边界为y x =，则
22
21111
1
[]2x
x I dx xydy xy dx ==⎰⎰⎰
1
2
[
]2
3111
9
d 8
x x x =
-=
⎰ 解法2. 将D 看作Y –型区域, 则 :2,12D y x y ≤≤≤≤
[1,2]y ∀∈，过y 作直线平行于x 轴，交区域左边界为x y =，右边界为2x =，则
2
222
2
11
1[]2y y I dy xydx x y dy ==⎰⎰⎰
2
3
121
92d 8
y y y ⎡⎤=
-=⎣⎦⎰
例2 计算二重积分
⎰⎰D
xy
dxdy xe ，其中D 为矩形域D ：1≤x ≤2，0≤y ≤1．
解 采用先y 后x 的积分次序，则
21
21
1
1
2
2
1
011
2(1)1.xy
xy
xy D
xy x xe
dxdy dx xe dy dx e dxy
e dx e dx e e ==⎡⎤==-⎣
⎦=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．
注意： 例2中的二重积分若采用先x 后y 的积分次序，则
2
10
1
xy
D
xy xe
dxdy dy xe dx =⎰⎰⎰⎰，函数xe xy 先对x 积分时需要用分部积分法来计算，这将
使计算工作量增加（请读者自己完成，作一比较）．由此可见，计算二重积分要根被积函数选择适当的积分次序．
例3 计算积分
dxdy xy D
⎰⎰
，其中D 是由抛物线y 2
= x 和直线y = x －2所围成的闭区域．
解 ：易求抛物线y 2 = x 和直线y = x －2的交点为 （1，-1）和 （4，2）
积分区域如图示5所示．D 看作Y –型区域, 采用先x 后y 的积分次序，则将区域D 表示为
D ：y 2≤x ≤y +2，－1≤y ≤2．
故有
1
21
图5
图6 ⎰
⎰⎰⎰-+=2
1
2
2
d d d d y y
D
x xy y y x xy y y x y y d 22
212
2
+-⎰⎥⎦⎤
⎢
⎣
⎡= []
y y y y d )2(2
1215
2⎰--+=
2
162
346234421-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=y y y y 8
55=．
注意 本例若D 看作X –型区域，采用先y 后x 的积分次序，由于区域D 的下边界曲线需要用分段函数表示：当x ∈[0，1]时，x x -=)(1ϕ；当x ∈[1，4]时，2)(1-=x x ϕ．，将D 划分为D 1、D 2两个部分区域(如图6)，其中
D 1：10,≤≤≤≤-
x x y x ；
D 2：41,2≤≤≤
≤-x x y x ．
由此可利用二重积分的区域可加性计算
此积分：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=1
2
D D D
xydxdy xydxdy dxdy xy ．
将D 1、D 2的表示式代入上式化为两个累次积分后可计算出积分结果．显然，这次序比较麻烦．
例4 设D 是由y = x 2, y =－x 和 x = 1所围成的闭区域，将二重积分I =⎰⎰D
d y x f σ),(化
为累次积分（两种次序）．
解 区域D 如图示7所示．
（1）将D 看作Y –型区域, 先x 后y : D 应表为D = D 1∪D 2，其中
D 1：01,1≤≤-≤≤-y x y ； D 2：
10,1≤≤≤≤y x y ．
故
⎰⎰⎰⎰+=2
1
),(),(D D d y x f d y x f I σσ
.),(),(0
1
11
10
⎰
⎰⎰⎰--+=
y
y
dx y x f dy dx y x f dy
（2）将D 看作X –型区域, 先y 后x ：
D 应表为：－x ≤y ≤x 2，0≤x ≤1．故
图8
⎰⎰-=2
),(1
x x
dy y x f dx I ．
例5 计算二重积分
dxdy e D
y
⎰⎰-2
，其中D 是由直线y = x , y = 1与y 轴围成的闭区域． 解 积分区域D 如图示7．我们选取先x 后y 的积分次序．将D 表示为：
D ：0≤x ≤y ，0≤y ≤1． 故有
[
]
[]
10
1
1
010
022
2
2
2
2
1
y
y y
y y
y D
y e dy
ye dy
x e
dx e
dy dxdy e
------====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ).1(2
1
1--=
e 注意：若先对y 积分后对x 积分，
2
21
x
y y D
e dxdy dx e dy --=⎰⎰⎰⎰，由于函数2
y e -对变量y 的原函数不能表为初等函数，，第一步的积分将无法计算．
小结：
1．X —型区域：设区域D ：12()(),
x y x a x b ϕϕ≤≤≤≤．则
(,)D
f x y d σ⎰⎰21()
()
[(,)]b
x a
x f x y dy dx ϕϕ
=⎰⎰21()
()
(,)b
x a
x dx f x y dy ϕϕ=⎰⎰
．
2．Y —型区域：设区域D ：ψ1(y ) ≤ x ≤ ψ2(y ), c ≤y ≤d ．则有
(,)D
f x y d σ⎰⎰21
()
()[(,)]d
y c y f x y dx dy ψψ=⎰⎰21
()
()(,)d
y c y dy f x y dx ψψ=⎰⎰．
3．如果区域D 不属于上述两种类型，可将区域D 划分成若干个小区域，使每个小区域属于以上某一类．在每个小区域上单独算出相应的二重积分再相加即可．
4．计算二重积分的主要步骤如下：
图7b
图7a
①画出积分区域D，写出边界曲线的方程；
②选择适当的积分次序．选择原则为：(ⅰ)被积函数对哪个变量积分较容易，就先对这个变量积分．（ⅱ）使边界曲线的表示比较简单，避免划分区域变为多个积分；
③按照所选的积分次序，，化二重积分为累次积分；
④计算累次积分，得到积分值．
二重积分计算总结：
如何把积分区域D拆分为自变量x,y的变化的范围。

换句话说就是如何把积分区域D 看成大X型还是大Y型。

然后再转化为x,y的变化区域。

看成大X型（先对y积分后对x）：先对x轴做投影，然后确定x的变化的范围，管左右的。

然后做垂直于x轴的射线，即自下向上平行于y轴做射线，确定y的下曲线和上曲线。

看成大Y型（先对x积分后对y）：先对y轴做投影，然后确定y的变化的范围，管上下的。

然后做垂直于y轴的射线，即自左向右平行于x轴做射线，确定x的左曲线和右曲线。

这是计算二重积分最重要的关键点。

把这个点掌握了。

那么二重积分的计算就80%没问题了。

还有一个问题是先y后x的累次积分，还是先x后y的累次积分。

要注意一个什么呢？比如说，先对y做积分时，这里面的x一定要看成常量，如果x的函数和这个积分，被积函数里面整体是乘积的关系，就可以把x的函数提前到x前面哪个积分里面去。

对y的积分也是一样的。

如果后面的和、差关系，那对y积分的时候，就把x看成常数K，常量按照我们定积分的方法来计算。

记忆：
一、
大X型（先对y积分后对x）：先对x轴做投影，确定x的上、下线。

做垂直于x轴的射线，自下向上穿过区域D,先碰到的曲线为y的积分下限，后碰到的曲线为y的积分上限。

大Y型（先对x积分后对y）：先对y轴做投影，然后确定y的上、下线，管上下的。

然后做垂直于y轴的射线，确定x的上、下线，管左右的。

二、先对y做积分时，这里面的x一定要看成常量K，如果被积函数里面整体是乘积的关系，就可以把x的函数提前到x前面哪个积分里面去。

对y的积分也是一样的。