备战高考数学解答题高分宝典专题04立体几何(直通高考)文(new)

专题04 立体几何
1．(2017全国1文）如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=．
(1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=，且四棱锥P −ABCD 的体积为8
3
，求该四棱锥的侧面
积．
(2）在平面PAD 内作PE AD ⊥,垂足为E ．
由（1)知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥,可得PE ⊥平面ABCD ． 设AB x =,则由已知可得2AD x =，2
PE x =
． 故四棱锥P ABCD -的体积311
33
P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=．
由题设得318
33
x =，故2x =．
从而2PA PD ==，22AD BC ==22PB PC ==．
可得四棱锥P ABCD -的侧面积为21111
sin 606232222
PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+
【名师点睛】证明面面垂直，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；计算点面距离时，如直接求不方便，应首先想到转化，如平行转化、对称转化、比例转化等，找到方便求值时再计算，可以减少运算量,提高准确度,求点面距离有时能直接作出就直接求出,不方便直接求出的看成三棱锥的高,利用等体积法求出．
2．（2017全国3文)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB=BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．
（2）连接EO.
由(1)及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO。

在Rt△AOB中,.
又AB=BD，所以
，故∠DOB=90°。

由题设知△AEC 为直角三角形，所以。

又△ABC 是正三角形，且AB =BD ，所以
.
故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的，四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1:1. 【考点】线面垂直的判定及性质定理，锥体的体积
【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型: (1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. （2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. （3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.
3．如图,在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1,PA =1,AB =2,60AC BAC =∠=。

(1）求三棱锥P ABC -的体积;
（2)求证:在线段PC 上存在点M ,使得AC BM ⊥，并求
PM
MC
的值。

C
B
A
P
（2）过点B 作BN AC ⊥交AC 于点N ，过点N 作//NM PA 交PC 于点M ，连接BM ，如图所示。

因为PA ⊥面ABC ,所以MN ⊥面ABC .
又AC⊂面ABC，得MN AC
⊥。

又MN BN N
=，所以AC⊥面BMN.又BM⊂面BMN，所以AC BM
⊥.
此时M点即为所找点，在ABN
△中，由题意可得
1
2
AN=,所以
3
2
CN=.
由//
MN PA，可得PAC MNC
△∽△，所以
CM CN
PC AC
==
3
3
2
24
=，所以
1
3
PM
MC
=.
4．如图,三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，E是棱CC1的中点，F是AB 的中点，AC＝BC＝1，AA1＝2.
(1）求证：CF∥平面AB1E；
(2)点C到平面AB1E上的距离．
N
M
C
B
A
P
∵E为侧棱CC1的中点，∴FG∥EC,FG＝EC，
∴四边形FGEC是平行四边形，∴CF∥EG，
∵CF⊄平面AB1E，EG⊂平面AB1E，
∴CF∥平面AB1E.
(2)∵三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱AA1⊥底面ABC，AA1∥BB1，∴BB1⊥平面ABC。

又AC⊂平面ABC，∴AC⊥BB1，
∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，
∵BB1∩BC＝B，BC⊂平面BCC1B1,BB1⊂平面BCC1B1，
∴AC⊥平面EB1C，∴AC⊥CB1,
∴VA－EB1C＝1
3
S△EB
1
C·AC＝错误!×(错误!×1×1）×1＝错误!。

∵AE＝EB1＝错误!，AB1＝错误!,∴S△AB1E＝错误!，
∵VC－AB1E＝VA－EB1C，
∴点C到平面AB1E上的距离为错误!＝错误!。

5．如图（1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°,D为AC的中点,AE⊥BD于E(不同于点D）,延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A
1
－BCD,如图（2)所示．
(1）若M是FC的中点，求证：直线DM∥平面A1EF；
(2）求证：BD⊥A1F；
(3）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．
（3)直线A1B与直线CD不能垂直．
因为平面A1BD⊥平面BCD，平面A1BD∩平面BCD＝BD，EF⊥BD，EF⊂平面BCD,
所以EF⊥平面A1BD.
因为A1B⊂平面A1BD，
所以A1B⊥EF，
又因为EF∥DM，
所以A1B⊥DM。

假设A1B⊥CD，
因为A1B⊥DM，CD∩DM＝D，
所以A1B⊥平面BCD，
所以A1B⊥BD，这与∠A1BD为锐角矛盾,
所以直线A1B与直线CD不能垂直．
6．如图,AB是圆O的直径，点C是圆O上异于,A B的点,PO垂直于圆O所在的平面，且PO OB
==．
1
（1）若D为线段AC的中点，求证:AC⊥平面PDO;
(2）求三棱锥P ABC
-体积的最大值；
（3）若2
BC=E在线段PB上，求CE OE
+的最小值．
O
E
B
C
D
A
P
又因为三棱锥P ABC
-的高1
PO=,故三棱锥P ABC
-体积的最大值为
11
11
33
⨯⨯=．
（3）解法一:在POB
△中，1
PO OB
==，90
POB
∠=，所以22
112
PB=+=．同理2
PC=PB PC BC
==．
在三棱锥P ABC
-中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BC P'，使之与平面ABP共面,
如图所示．
'C
B
E
P
O
A
当,,
O E C'共线时，CE OE
+取得最小值．
又因为OP OB
=，C P C B
''
=，所以OC'垂直平分PB，即E为PB中点．
从而OC OE EC
''
=+=
2626
2
+
=,即CE OE
+
26
+
解法二：由解法一可知,1
PO OB
==，2
PC CB PB
===
所以当E为PB的中点时，OE与CE同时取得最小值。

故()()()
min min min
2626
222
OE CE OE CE
+=+=+=。

所以CE OE
+
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