第二十二届“华杯赛”决赛小高组试题A详细解答

第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛
试题A(小学高年级组)详细解答
一、填空题（每小题10分，共80分）
1.用[x]表示不超过xx的最大整数，例如：[3.14]=3，则
�2017×311�+�2017×411�+�2017×511�+�2017×611�+�2017×711�+�2017×811�的值为。

2.从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8,12, 1023和913，则原来给定的4个整数的和为。

3.在3×3的网格中（每个格子是1×1的正方形）放两枚相同的棋子，
每个格子最多放一枚棋子，共有种不同的摆放方法。

（如果两种
方法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）。

4.甲从A地出发去找乙，走了80千米后达到B地，此时，乙已于半小时前离开B地
去了C地，甲已离开A地2小时，于是，甲以原来速度的2倍去C地，又经过了2个小时后，甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是千米/小时。

5.某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组，已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的27，是只参加朗诵小组人数的15，那么书法小组与朗诵小组的人数比是。

6.右图中，⊿ABC的面积为100平方厘米，⊿ABD的面积为72
平方厘米。

M为CD边的中点，∠MHB=90º。

已知AB=20厘米，
则MH的长度为厘米。

7.一列数a1, a2,…,a n,…,记S(a i)为a i的所有数字之和，如S(22)=2+2=4.
若a1=2017, a2=22, a n=S(a n-1)+S(a n-2),那么a2017等于。

8.如右图，六边形的六个顶点分别标志为A,B,C,D,E,F.开始的
时候“华罗庚金杯赛”六个汉子分别位于A,B,C,D,E,F顶点
处。

将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处
仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同
的摆放方法共有种。

二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）
9.平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有多少个不同的数
值？
10.某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐。

每名学生至少选择一
种，也可以多选。

统计结果显示：70%的学生选择了苹果，40%的学生选择了香蕉，30%的学生选择了梨。

那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？
11.箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，所有珠子的重量为2017
克，求两种珠子的数量和所有可能的值。

12.使3n+25n+1不为最简分数的三位数n之和等于多少？
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13.班上共有60名同学，生日记为某月某号。

问每个同学两个同样的问题：班上有几
个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你的生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。

结果发现，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？
14.将1到9填入右图的网格中，要求每个格子填一个整数，不
同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子
有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数
倍。

已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母x的
格子所填的数字最大是多少？
第二十二届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛
试题A(小学高年级组)详细解答
一、填空题（每小题10分，共80分）
1.用[x]表示不超过xx的最大整数，例如：[3.14]=3，则
�2017×311�+�2017×411�+�2017×511�+�2017×611�+�2017×711�+�2017×811�的值为。

【解】：∵201711=183+411
∴[201711×3] = [183×3+411×3]= 183×3+1
类似地，可知：
[2017
11×4]= 183×4+1；[201711×5]= 183×5+1
[2017
11×6]= 183×6+2；[201711×7]= 183×7+2；[201711×8]= 183×8+2
∴原式= 183×[3+4+5+6+7+8]+1+1+1+2+2+2=6048
【答】：所求值为6048。

2.从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：8,12, 1023和913，则原来给定的4个整数的和为。

【解】：假设原来四个整数分别为a,b,c,d,则按照题意所求的四个数的表达式分别为：
a+b+c3+d, a+b+d3+c a+c+d3+b, b+c+d3+a
∵a+b+c3+d+a+b+d3+c+a+c+d3+b+b+c+d3+a=3（a+b+c+d）3+(a+b+c+d)=2(a+b+c+d)∴a+b+c+d=12×�8+12+1023+913�=12×(20+20) =20
【答】：原来给定的4个整数的和为20。

3.在3×3的网格中（每个格子是1×1的正方形）放两枚相同的棋子，
每个格子最多放一枚棋子，共有种不同的摆放方法。

（如果两
种方法能够由旋转而重合，则把它们视为同一种摆放方法）。

【解】：分三种情形，共有10种不同摆法，如下图：
（1）两个点都在第一行；
（2）两个点不在同一行但相邻；
（3）两个点不在同一行且不相邻；
【答】：共有10种不同的摆放方法。

4.甲从A地出发去找乙，走了80千米后达到B地，此时，乙已于半小时前离开B
地去了C地，甲已离开A地2小时，于是，甲以原来速度的2倍去C地，又经过了2个小时后，甲乙两人同时到达C地，则乙的速度是千米/小时。

【解】：设甲的速度为V甲，乙的速度为V乙，AB两地距离为SAB，BC两地距离为SBC 根据题意可知：V甲=80÷2=40 (千米/小时) ，甲原来的速度的2倍为80(千米/小时)
所以，BC两地距离：SBC=2×80=160 (千米)
又，乙从B地到C地花了2.5小时，所以，乙的速度为：
V乙=SBC÷2.5=160÷2.5=64(千米/小时)
【答】：乙的速度为 64 千米/小时。

5.某校开设了书法和朗诵两个兴趣小组，已知两个小组都参加的人数是只参加书法小组人数的27，是只参加朗诵小组人数的15，那么书法小组与朗诵小组的人数比是。

【解】：设两个小组都参加的人数为单位1，则：
只参加书法小组的人数为72，只参加朗诵小组的人数为5.
∴参加书法小组的总人数为72+1=92，参加朗诵小组的总人数为5+1=6
∴书法小组与朗诵小组人数比=92︰6=9︰12=3:4
【答】：书法小组与朗诵小组人数比是3:4。

6.右图中，⊿ABC的面积为100平方厘米，⊿ABD的面积为
72平方厘米。

M为CD边的中点，∠MHB=90º。

已知AB=20
厘米，则MH的长度为厘米。

【解】：作DE垂直于AB交于E，作CF垂直于AB交于F
则：S⊿ABD=12AB×DE, S⊿ABC=12AB×CF
∴S⊿ABD+S⊿ABC=12AB×(DE+CF)
∵DE、MH和CF都是AB的垂线，∴DE∥MH∥CF
∵M是CD的中点，∴MH是梯形EFCD的中位线，从而有：
MH=12(DE+CF)=（S⊿ABD+S⊿ABC）/AB=(100+72)/20=8.6(厘米)
【答】：MH的长度为 8.6 厘米。

7.一列数a1, a2,… ,an,…,记S(ai)为ai的所有数字之和，如S(22)=2+2=4.
若a1=2017, a2=22, a n=S(a n-1)+S(a n-2),那么a2017等于。

【解】：根据题意，a3=S(a2)+ S(a1)= S(22)+ S(2017)=4+10=14
a4=S(a3)+ S(a2)= S(14)+ S(22)=5+4=9，类似地，我们可以算出：
a5=14，a6=14，a7=10，a8=6，a9=7，a10=13，a11=11，a12=6，a13=8，a14=14，a15=13，
a16=9，a17=13，a18=13，a19=8，a20=12，a21=11，a22=5，a23=7，a24=12，a25=10，a26=4，
a27=5，a28=9，a29=14，a30=14，a31=10，a32=6
从中可以找出规律：从a4项开始，每24（注：28-4=24）个项一次循环，如下：
a4= 9，a5=14，a6=14，a7=10，a8=6，……
a28= 9，a29=14，a30=14，a31=10，a32=6，……
……
∵(2017-4) ÷(28-4)=2013÷24=83余21
∴a2017= a(4+21)= a25=10
【答】：a2017等于10。

8.如右图，六边形的六个顶点分别标志为A,B,C,D,E,F.开始的
时候“华罗庚金杯赛”六个汉子分别位于A,B,C,D,E,F顶点
处。

将六个汉字在顶点处任意摆放，最终结果是每个顶点处
仍各有一个汉字，每个字在开始位置的相邻顶点处，则不同
的摆放方法共有种。

【解】：若“华”字确定了摆放位置，则“庚”和“杯”字的位置就确定了。

若“罗”字确定了摆放位置，则“金”和“赛”字的位置就确定了。

∵“华”字和“罗”字各有两种摆法，且可以任意组合，
∴不同的摆放方法总共有： 2×2=4 （种）。

【答】：不同的摆放方法总共有 4 种。

二、解答下列各题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）
9.平面上有5条不同的直线，这5条直线共形成n个交点，则n有多少个不同的数值？
【解】：在5条直线之中，最多的相互平行的直线数量可能有：5、4、3、2、0五种情况。

若五条直线都相互平行，则n=0;
若四条直线相互平行，则另外一条直线与这4条直线各有1个交点，即n=4，
若最多三条直线相互平行，则交点的个数可能是：6、7或5，依次如下图：
若最多两条直线相互平行，则交点的个数可能是：4、6、8、7或9，依次如下图：
若没有直线相互平行，则交点的个数可能是：1、5、6、8或10，依次如下图：
综上所述，交点个数可能有：0、1、4、5、6、7、8、9、10。

共有9个不同的数值。

【答】：n有9种不同的数值。

10.某校给学生提供苹果、香蕉和梨三种水果，用作课间加餐。

每名学生至少选择一
种，也可以多选。

统计结果显示：70%的学生选择了苹果，40%的学生选择了香蕉，30%的学生选择了梨。

那么三种水果都选的学生数占学生总数至多是百分之几？
【解】：要想使吃三种水果的人数最多，则吃两种水果的人数
均为0，如右图所示：
根据题意，我们有：
70%―X＋40%―X＋30%―X＋X=100%
解方程得：X=20%
【答】：三种水果都选的学生数占学生总数至多为百分之20。

11.箱子里面有两种珠子，一种每个19克，另一种每个17克，所有珠子的重量为2017
克，求两种珠子的数量和所有可能的值。

【解】：设19克的珠子有X个，17克的珠子有y个，则：19X＋17y=2017
根据题意，可知：x>0且y>0，所以，x≦106，y≦118
∵19X＋17y=17(x+y)+2x
而2017=17×118+11=17×117+28=17×115+62=17×113+96=17×111+130=17×109+164
=17×107+198=17×105+232=……
根据题意可知，2x为偶数，且x≦106，所以，2x小于212。

从上式可以看出，2X的可能取值为：28、62、96、130、164、198，相应地X+Y的可能取值为：117、115、113、111、109、107。

【答】：两种珠子的数量和所有可能的值为：117、115、113、111、109、107。

12.使3n+25n+1不为最简分数的三位数n之和等于多少？
【解】：∵n是三位数，∴100≦n≦999 ,(5n+1)―(3n+2)=2n―1>0 即：5n+1>3n+2 ∵(5n+1) <(6n+1)<(6n+4)<2(3n+2)，∴(5n+1)÷(3n+2)<2
用转辗相除法求最大公约数，步骤如下：(5n+1)÷(3n+2)=1余2n-1; (3n+2)÷(2n-1)=1余n+3;
(2n-1)÷(n+3)=1余n-4;(n+3)÷(n-4)=1余7;
因此，要想(5n+1)和(3n+2)的最大公约数大于1，则(n-4)必须是7的倍数。

满足上述条件的三位数n有：102,109,116，……,991,998
它们的和为：102+109+116+…+998=[(102+998)÷2]×[(998-102)÷7+1]=70950
【答】：所有满足条件的三位数n之和等于70950。

三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13.班上共有60名同学，生日记为某月某号。

问每个同学两个同样的问题：班上有几
个人与你生日的月份相同？班上有几个人与你的生日的号数相同（比如生日为1月12日与12月12日的号数是相同的）。

结果发现，在所得到的回答中包含了由0到14的所有整数，那么，该班至少有多少个同学生日相同？
【解】：该班至少有2个同学生日相同，分析如下：如果得到的答案包含0~14，则说明生日属于某个月份或某个号数的人数应该为1~15
∵1+2+3+4+…+15=120=2X60, ∴根据抽屉原理，所有同学的生日的月份都必须属于这些月份之中的某一个，同时也必须属于这些号数的某一个。

以下是某一种可能的情形：
一月二月三月四月五月六月日小计1号 1 1 0 0 0 0 2
2号0 1 2 0 0 0 3
3号 2 0 0 2 0 0 4
4号 2 2 2 0 0 0 6
5号 2 2 1 2 0 0 7
6号 2 2 2 2 0 0 8
7号 2 2 2 2 1 0 9
8号 2 2 2 2 2 0 10
9号 2 2 2 2 2 1 11
月小计15 14 13 12 5 1 60
【答】：该班至少有两位同学生日相同。

(下一题转下一页)
14.将1到9填入右图的网格中，要求每个格子填一个整数，不
同格子填的数字不同，且每个格子周围的格子（即与该格子
有公共边的格子）所填数字之和是该格子中所填数字的整数
倍。

已知左右格子已经填有数字4和5，问：标有字母x的
格子所填的数字最大是多少？
【解】：根据题意可知，所有格子里面的数字之和为45，因此，存在一个正整数K，使得：K*x=45-4-5-x即(K+1)x=36，注意：此处K+1为正整数。

∴ X可能的取值从大到小依次为：9、6、4、3、2、1。

假定X周边6个格子里面的数字依次为a到f,如右图所示。

下面分情况讨论：
（1）若x=9,则a+b=4或8（因为a和b不能等于4、9，所以a+b不可能等于12）若a=1,b=3,则可以推导出：c=7,d=2,e=8,f=6,但这样的话，f+9+d+5=22,不是e的整数
倍，所以，这种情况不能成立；
若a=1,b=7,则c无法取满足题设条件的数值。

综上分析，x不能等于9。

（2）若x=6,可能的组合如右图所示：
综合上述分析，x的最大值为6。

【答】：标有字母x的格子所填的数字最大是6。