2015高考数学配套课件：7-3 二元一次不等式(组)的解与简单的线性规划

x－y＋5≥0， 所以不等式组x＋y≥0，
x≤3
表示的平面区3,8]．
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(2)由图形及不等式组知 －x≤y≤x＋5， －2≤x≤3，且x∈Z. 当 x＝3 时，－3≤y≤8，有 12 个整点； 当 x＝2 时，－2≤y≤7，有 10 个整点； 当 x＝1 时，－1≤y≤6，有 8 个整点； 当 x＝0 时，0≤y≤5，有 6 个整点； 当 x＝－1 时，1≤y≤4，有 4 个整点； 当 x＝－2 时，2≤y≤3，有 2 个整点．
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∴平面区域内的整点共有 2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)． (3)由(1)知，x∈[－52，3]，y∈[－3,8]， ∴S＝12(3＋52)(3＋8)＝1241. 【答案】 (1)x∈[－52，3]，y∈[－3,8] (2)42 (3)1241
【答案】 A
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例 2 已知 x，y 满足约束条件xx≥－13，y≤－4， 3x＋5y≤30.
(1)求目标函数 z＝2x－y 的最大值和最小值；
(2)求目标函数 z＝2x＋y 的最大值和最小值；
(3)若目标函数 z＝ax＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，
上面的区域，④表示下面的区域，故选 B. 【答案】 B
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(2)设不等式组x3＋x－y－y＋113≥≥00，， 5x－3y＋9≤0
表示的平面区域为 D.若指
数函数 y＝ax 的图像上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是
求 a 的值；
(4)求 z＝yx＋ ＋55的取值范围；
(5)求 z＝x2＋y2 的取值范围．
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【解析】 (1)作出不等式组表示的可行域如图： 作直线 l：2x－y＝0，并平行移动使它过可行域内的 B 点， 此时 z 有最大值；过可行域内的 C 点，此时 z 有最小值， 解3x－x＋35y＝y＝－304，， 得 B(5,3)． 解3x＝x＋15，y＝30， 得 C(1，257)． ∴zmax＝2×5－3＝7，zmin＝2×1－257＝－157.
(1)指出 x，y 的取值范围；
(2)平面区域内有多少个整点？ (3)求所围平面区域的面积． 【思路】 (1)数形结合．
(2)整点是指横、纵坐标均为整数的点．
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【解析】 (1)不等式 x－y＋5≥0 表示直线 x－y＋5＝0 上及 右下方的平面区域．x＋y≥0 表示直线 x＋y＝0 上及右上方的平 面区域，x≤3 表示直线 x＝3 上及左方的平面区域．
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探究 1 (1)确定 Ax＋By＋C≥0 表示的区域有两种方法．① 试点法，一般代入原点，②化为 y≥kx＋b(y≤kx＋b)的形式．不 等式 y≥kx＋b 表示的区域为直线 y＝kx＋b 的上方，不等式 y≤kx ＋b 表示的区域为直线 y＝kx＋b 的下方．
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1．(课本习题改编)点 A(1,1)，B(－1，b)位于直线 2x－3y＋4
＝0 的同侧，则实数 b 的取值范围是________．
答案
2 b<3
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又 kBC＝－35，∴－a＝－35，∴a＝35.
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例1
画出不等式组xx－ ＋yy＋ ≥50≥ ，0， x≤3
表示的平面区域，并
回答下列问题：
－y 整理为 y＝2x－z，将 y＝2x 向下平移至过点(3,3)时，z 取得
最大值，为 zmax＝2×3－3＝3.
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4 ． (2013·课 标 全 国 Ⅱ ) 已 知 a>0 ， x ， y 满 足 约 束 条 件
C．－13 答案 C
D．－12
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解析 已知不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 显然当点 M 与 A 重合时直线 OM 的斜率最小，由直线方程 x＋ 2y－1＝0 和 3x＋y－8＝0，解得 A(3，－1)，故 OM 斜率的最小 值为－13.
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2．线性规划 求目标函数在 线性约束条件 下的最大值或 最小值 的问 题，统称为 线性规划 问题，满足线性约束条件的解(x，y)叫 做 可行解 ，由所有可行解组成的集合叫做 可行域 ．分别使 目标函数 z＝f(x，y)取得 最大值 和最小值的可行解叫做这个问 题的 最优解 ．
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(3)一般情况下，当 z 取得最大值时，直线所经过的点都是唯 一的，但若直线平行于边界直线，即直线 z＝ax＋y 平行于直线 3x＋5y＝30 时，线段 BC 上的任意一点均使 z 取得最大值，此时 满足条件的点即最优解有无数个．
(2)在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格 逐一数出；若数目较大，则可分 x＝m 逐条分段统计．
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思考题 1 (1)不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)≤0 表示的平面 区域为( )
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请注意！
从考纲和考题中看，该部分内容难度不大，重点考查目标函 数在线性约束条件下的最大值和最小值问题——线性规划问题， 命题形式以选择、填空为主，但也有解答题以应用题的形式出现．
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3 ． (2013·课 标 全 国 Ⅰ ) 设 x ， y 满 足 的 约 束 条 件
1≤x≤3， －1≤x－y≤0，
则 z＝2x－y 的最大值为________．
答案 3
解析 作出可行域如图中阴影部分所示，将目标函数 z＝2x
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第 3 课时 二元一次不等式(组)的解与简单的线性规划
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1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二 元一次不等式组． 3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题， 并能加以解决．
A．(1,3]
B．[2,3]
()
C．(1,2]
D．[3，＋∞)
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【解析】 若要指数函数 y＝ax 与可行域有交点，则底数必 须满足 a>1，利用指数函数的性质，只有当指数函数 y＝ax 过点 B(2,9)时，底数 a 最大，即点 B(2,9)满足 y＝ax，此时有 a2＝9⇒a ＝3，所以 a 的取值范围是(1,3]，故选 A.
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5．(2013·山东)在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组
2x＋x－2yy－ －21≥ ≥00， ， 3x＋y－8≤0
所表示的区域上一动点，则直线 OM 斜率的最
小值为( )
A．2
B．1
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高考调研 【解析】 方法一：可转化为
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①xx－＋y2＋y＋4≤1≥00， 或②xx－＋y2＋y＋4≥1≤0.0， 由于(－2,0)满足②，所以排除 A，C，D 选项． 方法二：原不等式可转化为
③－x＋x＋2y＋y－14≥≥00， 或④－x＋x＋2y＋y－14≤≤00，. 两条直线相交产生四个区域，分别为上下左右区域，③表示
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(2)作直线 l：2x＋y＝0，并平移此直线，当平移直线过可行 域内的 A 点时，z 取得最小值；当平移直线过可行域内的 B 点时， z 取最大值，
解xx－＝31y，＝－4， 得 A(1，53)． 解3x－x＋35y＝y＝－304，， 得 B(5,3)． ∴zmax＝2×5＋3＝13，zmin＝2×1＋53＝131.
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1．二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标 系中表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧所有点组成的 集合 ． (2)由于对在直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)，把 它的坐标(x，y)代入 Ax＋By＋C，所得到实数的符号都 相同 ， 所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从 Ax0＋By0 ＋C 的 符号 即可判断 Ax＋By＋C>0 表示直线哪一侧的平面区 域．
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3．利用图解法解决线性规划问题的一般步骤 (1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式， 作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的 交集． (2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直 线)． (3)求出最终结果．在可行域内平行移动目标函数等值线， 从图中能判定问题有唯一最优解，或者是有无穷最优解，或是无 最优解．
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2．不等式 x－2y＋6>0 表示的区域在直线 x－2y＋6＝0 的
()
A．左下方
B．左上方
C．右下方
D．右上方
答案 C 解析 画出直线及区域范围，如：当 B<0 时，Ax＋By＋C>0
表示直线 Ax＋By＋C＝0 的下方区域；Ax＋By＋C<0 表示直线
Ax＋By＋C＝0 的上方区域．故选 C.
xx≥ ＋1y≤，3， 若 z＝2x＋y 的最小值为 1，则 a＝(
)
y≥ax－3.
1 A.4 C．1 答案 B
1 B.2 D．2
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解析 由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC 内部及边 界部分，由目标函数 z＝2x＋y 的几何意义为直线 l：y＝－2x＋z 在 y 轴上的截距，知当直线 l 过可行域内的点 B(1，－2a)时，目 标函数 z＝2x＋y 的最小值为 1，则 2－2a＝1，a＝12，故选 B.