北京市朝阳区年一模数学文科答案

位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生．
事件 B 包括 M1M5 , M1M 6 ， M 2M 5 , M 2M 6 ， M3M5 , M3M 6 ， M 4M5 , M 4M 6 , M5M 6 ，共 9
种可能．
P(B) 9 3
所以
15 5 ．
3
所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为 5 ．
时，
截距 z 最小，即 z 最大为 6 ．
故选D
4 【答案】D 【解析】解：因为 p 是“甲落地站稳”，则 p 表示“甲落地没有站稳”； q 是“乙落地站稳”，则 q 表示“乙落地没有站稳” 所以“至少有一位队员落地没有站稳”可以表示为 (p) (q) ．
5 【答案】B
【解析】解：列表法：
S
1
20． 解：记{an} 的 a1 b1 a ，{an} 公差为 d ，{bn} 公比为 q ，由 d 0 ，得 q 1
（Ⅰ） b3
b1q2
0 ， a2
a1
a3 2
b1
b3 2
， b22
b1b3 ， b2
b1b3 ，
当 b2 b1b3 时，显然 a2 b2 ；
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P( A) 2 a 1
则
20 5 ．
解得 a 2 ．
所以 b 4 ．
……………………………………………………………………………………5分
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（Ⅱ）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有 6 位，分别记为
M1, M 2 , M3 , M 4 , M5 , M 6 ．其中 M 5 和 M 6 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生．
从中任意抽取 2 位，可表示为 M1M 2 , M1M3 , M1M 4 , M1M5 , M1M 6 ， M 2M3 , M 2M 4 ,
M 2M 5 , M 2M 6 ， M3M 4 , M3M5 , M3M 6 ， M 4M5 , M 4M 6 , M5M 6 ，共15 种可能． 设事件 B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取 2
a2 b2 =3,
19．
1
解：（Ⅰ）由题意得 a2
3 4b2
1,
解得 a=2 ， b 1 ．
x2 y2 1
所以椭圆 C 的方程是 4
．
………………………………………………………4分
y k(x 1),
（Ⅱ）由
x2 4
y2
1,
得
(1 4k 2 )x2 8k 2 x 4k 2 4 0 ．
……………………………………………13分
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、、 选择题 1 【答案】C
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试答案（文史类）
【解析】解：因为 A ｛x N | 0 x 3} {1, 2}， B ｛x | 2x1 1} {x | x 1} 所以 A I B {2} 故选C
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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试答案（文史类）
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
答案 C
C
D
D
B
二、填空题
题号
9
10
11
12
答案 x 2 16 三、解答题
2 3 ； 30o
1
2 ；3 2
f (x) sin 2x 3 cos 2x 2sin(2x π )
在直角三角形 OC1E 中， OE 1 ， OC1
3 2
，
C1E
7
2，
OM min
所以
OC1 OE C1E
21
7．
……………………………………………………………14分
18．解：（I）
f
( x)
1 x
，则函数
f
(x)
在
x
k e 处的切线的斜率为
1 e
．又
f
(e)
1，
所以函数
f
(x)
在
x
e
处的切线方程为
0
，解得
0
x
1 a
．
综上所述，当 a ≤ 0 时，函数 F(x) 的增区间是 (0, ) ；
当
a
0
时，函数
F
(x)
的增区间是
(0,
1 a
)
，减区间是
(
1 a
,
)
．
…………………………………………9分
（Ⅲ）依题意，函数 F(x) 没有零点，即 F (x) ln x ax 1 0 无解．
由（Ⅱ）知，当
矛盾，故①错；
VA ' BCD
对于②，
1 3 S△
BCD A ' E
1 3
1 2
2
2 2 2
2
6 ，故②错；
对于③，因为 A' E 面 BCD ，则 A' E CD ，又 CD BD ， A' E I BD E ，所以 CD 平面 ABD ；故③正确； 对于④，由③知， CD 平面 ABD ，所以 CD A' B ；又 A' B A' D ， A' D I CD D ，所以 A' B 面 A' DC ； 又 A' B 平面 ABC ，所以平面 ABC 平面 ADC ．故④正确；
．
4 (1 k 2 )(1 3k 2 )
| AB | | PQ |
1 4k 2 1 k2
4 1 3k 2 4 3 2
1 k2
1 k2
于是，
1 4k 2
．
13 2 3
因为 k 0 ，所以
1 k2 ．
| AB |
所以 | PQ | 的取值范围为 (4, 4 3) ．
……………………………………………………14分
M
D
C
………………………………………………………………4分 E
（Ⅱ）连接 AC ，交 BD 于点 E ，连接 C1E ．
A
B
依题意， AA1 ∥ CC1 ，
且 AA1 CC1 ， AA1 AC ，
所以 A1ACC1 为矩形．
所以 OC1 ∥ AE ．
又
OC1
1 2
A1C1
，
AE
1 2
AC
，
A1C1
所以 a d aq, a 3d aq3, 得 q3 1 3(q 1),
所以 q2 q 1 3, q 1或 q 2 ． 因为 q 1，所以 q 2 ， d a(q 1) 3a ．
令 ak b10 ，即 a1 (k 1)d b1q9 ， a 3(k 1)a a(2)9 ， k 172 ，
15． 解：（Ⅰ）因为
3
所以， f (0) 3 ．
6
7
8
A
C
B
13
2, 2
14
二；3, 4,9
π 2kπ ≤≤2x π π 2kπ
由2
32
，k Z ，
π kπ ≤≤x 5π kπ
得 12
12 ， k Z
所以
f
(x)
的单调递增区间是
kπ
π 12
, kπ
5π 12
，
k
Z
．
………………………………………8分
………………………………………………13分
17． 解：（Ⅰ）依题意， 因为四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 底面 ABCD ，
所以 BB1 底面 A1B1C1D1 ． 又 A1C1 底面 A1B1C1D1 ， 所以 BB1 A1C1 ．
D1
C1
O
A1
B1
因为 A1B1C1D1 为菱形， 所以 A1C1 B1D1 ．而 BB1 I B1D1 B1 ， 所以 A1C1 平面 B1BDD1 ．
AC
，
所以 OC1 = AE ，所以 AOC1E 为平行四边形，
则 AO ∥ C1E ． 又 AO 平面 BC1D ， C1E 平面 BC1D ，
所以 AO ∥平面 BC 1D ．
………………………………………………………9分
（Ⅲ）在 BC1D 内，满足 OM B1D1 的点 M 的轨迹是线段 C1E ，包括端点． 分析如下：连接 OE ，则 BD OE ．
由于 BD ∥ B1D1 ，故欲使 OM B1D1 ，只需 OM BD ，从而需 ME BD ．
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又在 BC1D 中， C1D C1B ，又 E 为 BD 中点，所以 BD C1E ．
故 M 点一定在线段 C1E 上． 当 OM C1E 时， OM 取最小值．
2 【答案】C
2i 2i(1 i) 2i+2i2 2i 2 1 i
【解析】解： 1 i (1 i)(1 i) 1 i2
2
故选C
3 【答案】D
x y ≤3,
y
≤
x
1,
【解析】画出 x 3y ≥ 3, 表示的区域，如图所示：
由 z 2x y ，得 y 2x z ，画出 y 2x 并平移，当过 (3,0)
(
x
1
4k 2 4k
2
)
．
3k 2
于是，线段
AB
的垂直平分线与
x
轴的交点
Q
( 1
4k 2
, 0)
，又点
P(1,
0)
，
PQ
所以
1
3k 2 1 4k 2
1 k2 1 4k 2
．
AB
又
(1
k
2
)[( 1
8k 2 4k
2
)2
4
4k 2 4 1 4k2 ]
4
(1 k 2 )(1 3k 2 ) 1 4k 2
a
0
时，函数
F
(x)
在区间
(0,
1 a
)
上为增函数，区间
(
1 a
,
)
上为减函数，
由于
F
(1)
a
1
0
，只需
F
(
1 a
)
ln
1 a
a
1 a
1
ln
a
2
0
，
解得 a e2 ．
( 1 , )
所以实数 a 的取值范围为 e2
．
…………………………………………………………………13分
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0 ≤≤x π ,
（Ⅱ）因为
2
π ≤≤2x π 2π
所以 3
3 3．
所以，当
2x
π 3
π 3
，即
x
0
时，
f
(x)
取得最小值
3；
当
2x
π 3
π 2
即
x
5π 12
时，
f
(x)
取得最大值
2
．
……………………………………………13分
16． 解：（I）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有 (2 a) 人． 设事件 A ：从 20 位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，
画出折起后的几何体，设 BD 中点为 E ，并连接 A' E 如图所示， 对于①，因为 A' B A' D ，所以 A' E BD ；又平面 ABD 平面 BCD ，则 A' E 面 BCD ， A' E BC ； 若 AD BC ， A' D I A' E A' ，则 BC 面 ABD ，则 BC BD
设
A( x1 ,
y1), B(x2 ,
y2 ) ，则有
x1
x2
8k 2 1 4k 2
，
x1 x2
4k2 4 1 4k2
，
y1
y2
k ( x1
x2
2)
2k 1 4k 2
．
4k 2 k
所以线段
AB
的中点坐标为
( 1
4k
2
,
1
4k
2
)
，
所以线段
AB
的垂直平分线方程为
y
k 1 4k 2
1 k
所以 b10 是{an} 中的一项．
（ⅱ）假设 bm ak ，则 a1 (k 1)d b1qm1 ， a 3(k 1)a a(2)m1 ， 4 3k (2)m1 当 m 1, 或 m 2n ，（ n N ）时， k N ．
正整数 m 的集合是 m m = 1 或 m = 2n, n N ．
1
；
则
uuur uuur uur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2
uuur uuur
uuur 2
(2AB AC) CA (2AB AC) AC 2AB AC AC 2 AB AC cos 60 AC 0
所以 cos 0 ，则 =90 ． 故选C
8 【答案】B 【解析】解：依题意，标出平面图形上的信息如图所示，
当 b2
b1b3
时，由平均值不等式
b1
2
b3
≥
b1b3 ，当且仅当 b1 b3 时取等号，
而 b1 b3 ，
b1 b3
所以 2
b1b3 即 a2 b2 ．
综上所述， a2 b2 ．
……………………………………………………………………5分
（Ⅱ）（ⅰ）因为 a2 b2 , a4 b4 ，
2
5
10
17
循
环
结
束
i
1
3
5
7
9
故答案选B
6 【答案】A
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f (x) sin(x) sin x f (x)
【解析】解：因为
(x)2 1 x2 1
，所以 f (x)
是奇函数，图象关于原点对称；故排除C．D；
f
(π) 2
1 π2 1
0
又ห้องสมุดไป่ตู้
4
y
1
1 (x
e
e)
，即
y
1 e
x
…………………………………4分
（Ⅱ） F (x)
ln x ax 1 ，
F ( x)
1 x
a
1 ax x ，（ x
0 ）．
①当 a ≤ 0 时， F(x) 0 ， F(x) 在区间 (0, ) 上单调递增；
②当
a
0
时，令
F (x)
0
，解得
x
1 a
；令
F (x)
，排除B．
故选A．
7 【答案】C
uuur uuur uur
【解析】解：设
uuur 2 AB
uuur AC
与
uur CA
的夹角是
cos ，则
(2 AB uuur
2 AB
AC) uuur AC
CA uur CA
uuur
又 AB
uuur
和 AC
是平面内两个单位向量，则
uuur AB
1
，
uuur AC