中考数学分类试题 直线和圆的位置关系

中考数学分类试题 直线和圆的位置关系
考点1：直线和圆的位置关系
相关知识：
1、直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，公共点叫做切点；
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

2、直线和圆位置关系的判定标准
如果⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d,那么：
直线l 与⊙O 相交⇔d<r ；直线l 与⊙O 相切⇔d=r ；直线l 与⊙O 相离⇔d>r ；
相关试题：
1. （2011宁波市，11，3分）如图，⊙O 1的半径为1，正方形ABCD 的边长为6，点O 2为正方形ABCD 的中心，O 1O 2垂直AB 于P 点，O 1O 2＝8．若将⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O 1与正方形ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现
A ． 3次
B ．5次
C ． 6次
D ． 7次
【答案】B
2. （2011四川成都，10,3分）已知⊙O 的面积为29cm π，若点O 到直线l 的距离为cm π，则直线l 与⊙O 的位置关系是
(A)相交 (B)相切 (C)相离 (D)无法确定
【答案】C
3. （2011山东东营，12，3分）如图，直线333
y x =+与x 轴、y 分别相交与A 、B 两点，圆心P 的坐标为（1，0），圆P 与y 轴相切与点O 。

若将圆P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P ′的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ． 5
【答案】B
4. （2011浙江杭州，5，3）在平面直角坐标系xOy 中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（ ）
A ．与x 轴相交，与y 轴相切
B ．与x 轴相离，与y 轴相交
C ．与x 轴相切，与y 轴相交
D ．与x 轴相切，与y 轴相离
【答案】C
5. （2011山东济宁，13，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，BC =4cm ，以点C 为圆心，以3cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB
的位置关系是 ． 【答案】相交
考点2：切线的性质
相关知识：切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

相关试题： 1． （2011福建福州，9，4分）如图2,以O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB 切小圆于点C ,若120AOB ∠=,则大圆半径R 与小圆半径r 之间满足（ ）
3r = B ．3R r = C ．2R r = D ．22R r =
【答案】C
2. （2011台湾台北，16）如图(六)，BD 为圆O 的直径，直线ED 为圆O 的切线，A 、C 两点在圆上，AC 平分
∠BAD 且交BD 于F 点。

若∠ADE ＝︒19，则∠AFB 的度数为何？
A ．97
B ．104
C ．116
D ．142
【答案】C
3. （2011山东泰安，23 ，3分）如图，PA 与⊙O 相切，切点为A ，PO 交⊙O 于点C ，点B 是优弧CBA 上一点，
若∠ABC ==320，则∠P 的度数为 。

【答案】260
4. （2011浙江台州，10,4分）如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 的距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PB 切⊙O 于点B ，则PB 的最小值是（ ）
A. 13
B.5
C. 3
D.2 【答案】B
A B O
C
图2
5. （2011浙江温州，10，4分）如图，O 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，⊙O 边AB ，BC 都相切，点E ，F 分别在边AD ，DC 上．现将△DEF 沿着EF 对折，折痕EF 与⊙O 相切，此时点D 恰好落在圆心O 处．若DE ＝2，则正方形ABCD 的边长是
( )
A ．3
B ．4
C ．22
D ．22
【答案】C
6. （2011湖北鄂州，13，3分）如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且CO=CD ，则
∠PCA=（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．67.5°
【答案】D
7. (2011 浙江湖州，9，3)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，BC ＝OB ，CE 是⊙O 的切线，切
点为D ，过点A 作AE ⊥CE ，垂足为E ，则CD ：DE 的值是
A ．12
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C
8．（2011甘肃兰州，3，4分）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于点C ，若∠A=25°，则∠D 等于
A ．20°
B ．30°
C ．40°
D ．50°
【答案】C 9. （2011山东枣庄，7，3分）如图，PA 是O ⊙的切线，切点为A ，PA 3,∠APO =30°，则O ⊙的半径为（ ） A
B D O C
C
D
A O P
B
A.1
B.3
C.2
D.4 【答案】C 10. （2011浙江衢州，16,4分）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r .用角尺的较短边紧靠O ，并使较长边与O 相切于点C .假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点B ，较短边8cm AB =.若读得BC 长为cm a ，则用含a 的代数式表示r 为 .
【答案】当08a <≤时，r a =；当22118 4.08,;41616
a r a r r a r a >=+<≤==+时，或当当. 11. （2011江苏苏州，16,3分）如图，已知AB 是⊙O 的一条直径，延长AB 至C 点，使得AC=3BC ，CD 与⊙O 相切，切点为D.若CD=3，则线段BC 的长度等于__________.
【答案】1
12. （2011江苏宿迁,17,3分）如图，从⊙O 外一点A 引圆的切线AB ，切点为B ，连接AO 并延长交圆于点C ，连
接BC ．若∠A ＝26°，则∠ACB 的度数为 ▲ ．
【答案】32
13. （2011山东威海，17，3分）如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC ）纸片放置成轴对称图形，∠ACB =90°,CD ⊥AB ,垂足为D ，半圆（量角器）的圆心与点D 重合，测得CE ＝5cm ，将量角器沿DC 方向平移2cm ，半圆（量角器）恰与△ABC 的边AC 、BC 相切，如图②，则AB 的长为 cm.（精确到0.1cm ）
图①图②
【答案】24.5
14.（2010湖北孝感，18，3分）如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦AB与小半圆
N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设CD、CE的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）= .
【答案】8π
15. （2011台湾全区，33）如图(十五)，AB为圆O的直径，在圆O上取异于A、B的一点C，并连接BC、AC．若想在AB上取一点P，使得P与直线BC的距离等于AP长，判断下列四个作法何者正确？
A．作AC的中垂线，交AB于P点
B．作∠ACB的角平分线，交AB于P点
C．作∠ABC的角平分线，交AC于D点，过D作直线BC的并行线，交AB于P点
D．过A作圆O的切线，交直线BC于D点，作∠ADC的角平分线，交AB于P点
【答案】Ｄ
16. （2011山东滨州，8，3分）如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A、C分别在y轴、x轴上,以AB 为弦的⊙M与x轴相切.若点A的坐标为(0,8),则圆心M的坐标为( )
A.(-4,5)
B.(-5,4)
C.(5,-4)
D.(4,-5)
17. （2011江苏南通，22，8分）如图，AM为⊙O的切线，A为切点，BD⊥AM于点D，BD交⊙O于C，OC平分∠AOB.求∠B的度数.
【答案】60°.
考点3：切线的判定
相关知识：
1.作垂直，证半径：若不已知直线与圆是否有公共点，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径。

2.作半径，证垂直：若已知直线与圆有公共点，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

相关试题：
1. （2011浙江丽水，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ ） x
y
11
0B C A
A ．点(0，3)
B ．点(2，3)
C ．点(5，1)
D ．点(6，1)
【答案】C 2. （2011安徽芜湖，23，12分）如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径,点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD PA ⊥，垂足为D .
(1) 求证：CD 为⊙O 的切线；
(2) 若DC +DA =6，⊙O 的直径为10，求AB 的长度.
【答案】
（1）证明：连接OC ， ……………………………………1分
因为点C 在⊙O 上，OA =OC ，所以.OCA OAC ∠=∠ 因为CD PA ⊥，所以90CDA ∠=，有90CAD DCA ∠+∠=.因为AC 平分∠PAE ，所以.DAC CAO ∠=∠……………3分
所以90.DCO DCA ACO DCA CAO DCA DAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠= ……4分
又因为点C 在⊙O 上，OC 为⊙O 的半径，所以CD 为⊙O 的切线. ………………5分
（2）解:过O 作OF AB ⊥，垂足为F ，所以90OCD CDA OFD ∠=∠=∠=，
所以四边形OCDF 为矩形，所以,.OC FD OF CD == ……………………………7分
因为DC +DA =6，设AD x =,则6.OF CD x ==-
因为⊙O 的直径为10，所以5DF OC ==，所以5AF x =-.
在Rt AOF △中，由勾股定理知222.AF OF OA +=
即()()22
5625.x x -+-=化简得211180x x -+=， 解得2x =或x=9. ………………9分
由AD DF <，知05x <<，故2x =. ………10分
从而AD =2，52 3.AF =-= …………………11分
因为OF AB ⊥，由垂径定理知F 为AB 的中点，所以2 6.AB AF ==…………12分
3. （2011山东聊城，23，8分）如图，AB 是半圆的直径，点O 是圆心，点C 是OA 的中点，CD ⊥OA 交半圆于点
D ，点
E 是BD 的中点，连接OD 、AE ，过点D 作D P ∥AE 交BA 的延长线于点P ，
（1）求∠AOD 的度数；（2）求证：P D 是半圆O 的切线；
【答案】（1）∵点C 是OA 的中点，∴OC ＝21OA ＝
21
OD ，∵CD ⊥OA ，∴∠OCD ＝90°，在Rt △OCD 中，cos ∠COD ＝2
1 OD OC ，∴∠COD ＝60°，即∠AOD ＝60°， （2）证明：连接OC ，点E 是BD 弧的中点，DE 弧＝BE 弧，∴∠BOE ＝∠DOE ＝21∠DOB ＝2
1 (180°－∠COD )＝60°，∵OA ＝OE ，∴∠EAO ＝∠AEO ，又∠EAO ＋∠AEO ＝∠EOB ＝60°，∴∠EAO ＝30°，∵P D ∥AE ，∴∠P ＝∠EAO ＝30°，由（1）知∠AOD ＝60°，∴∠P DO ＝180°－(∠P ＋∠P OD )＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴P D 是圆O 的切线
4. （2011江苏淮安，25，10分）如图，AD 是⊙O 的弦，AB 经过圆心O ，交⊙O 于点C ，∠DAB=∠B=30°.
(1)直线BD 是否与⊙O 相切？为什么？(2)连接CD ，若CD=5，求AB 的长.
C O B
A D
【答案】(1)答：直线BD 与⊙O 相切.理由如下：
如图，连接OD ，∵∠ODA=∠DAB=∠B=30°，
∴∠ODB=180°-∠ODA-∠DAB-∠B=180°-30°-30°-30°=90°，
即OD ⊥BD ，∴直线BD 与⊙O 相切.
(2)解：由（1）知，∠ODA=∠DAB=30°，
∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°，
又∵OC=OD ，
∴△DOB 是等边三角形，
∴OA=OD=CD=5.
又∵∠B=30°，∠ODB=30°，
∴OB=2OD=10.
∴AB=OA+OB=5+10=15.
5. （2011湖南衡阳，24，8分）如图，△ABC 内接于⊙O ，CA =CB ，CD ∥AB 且与OA 的延长线交与点D ．
(1)判断CD 与⊙O 的位置关系并说明理由；
(2)若∠ACB =120°，OA =2，求CD 的长．
【解】 (1) CD 与⊙O 的位置关系是相切，理由如下：
作直径CE ，连结AE ．
∵CE 是直径， ∴∠EAC ＝90°，∴∠E ＋∠ACE=90°，
∵CA =CB ，∴∠B ＝∠CAB ，∵AB ∥CD ，
∴∠ACD ＝∠CAB ，∵∠B ＝∠E ，∠ACD ＝∠E ，
∴∠ACE＋∠ACD=90°，即∠DCO=90°，∴OC⊥D C，∴CD与⊙O相切．
（2）∵CD∥AB，OC⊥D C，∴OC⊥A B，又∠ACB=120°，∴∠OCA＝∠OCB=60°，∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形，
∴∠DOA=60°，
∴在Rt△DCO
中，tan
DC
DOA OC
=∠
=3，
∴DC=3OC=3OA=23．
考点4：内切圆、切线长定理
相关知识：
1、内切圆的作法
2、内心的性质
3、内切圆半径
4、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长
5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
相关试题：
1.（2011福建泉州，16，4分）已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数
所有可能的情况是.（写出符合的一种情况即可）
【答案】 2（符合答案即可）
2. （2011江西南昌，13，3分）如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB= 度.
【答案】90
3. （2011四川南充市，13，3分）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点， AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P= __________度.
P
O
C B
A
【答案】50
4．（2011四川宜宾,11,3分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=40°，则∠BAC=_____．【答案】20°
5. （2011山东日照，11，4分）已知AC ⊥BC 于C ，BC =a ，CA =b ，AB =c ，下列选项中⊙O 的半径为b
a a
b 的是（ ）
【答案】C
6．（2011山东济宁，20，7分）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是它的两条切线，DE 切⊙O 于点E ，交AM 于点D ，交BN 于点C ，F 是CD 的中点，连接OF ，
（1）求证：OD ∥
BE ；
（2）猜想：OF 与CD 有何数量关系？并说明理由．
【答案】（1）证明：连接OE ，
∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径，
∴∠ADO=∠EDO ，∠DAO=∠DEO =90°， ∴∠AOD=∠EOD=1
2∠AOE ，
∵∠ABE=1
2∠AOE ，∴∠AOD=∠ABE ，∴OD ∥BE
（2）OF =1
2CD ，
理由：连接OC ，
∵BC 、CE 是⊙O 的切线，∴∠OCB=∠OCE
∵AM ∥BN ， ∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°
由（1）得∠ADO=∠EDO ，
∴2∠EDO+2∠OCE=180°，即∠EDO+∠OCE=90°
在Rt △DOC 中，∵F 是DC 的中点，∴OF=1
2CD ．
考点5：直线与圆的位置关系（切线为主）和后面知识的综合问题
1.和相似的综合 F
E
O D A 第20题
1. （2011广东湛江27,12分）如图，在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，点D 是AC 的中点，且90A CDB ︒∠+∠=,过点,A D 作O ，使圆心O 在AB 上，O 与AB 交于点E ．
（1）求证：直线BD 与O 相切；
（2）若:4:5,6AD AE BC ==,求O 的直径．
【答案】（1）证明：连接OD ，在AOD ∆中，OA=OD ，
所以A ODA ∠=∠，
又因为90A CDB ︒∠+∠=，
所以90ODA CDB ︒∠+∠=，所以1809090BDO ︒︒︒∠=-=，即OD BD ⊥，
所以BD 与O 相切；
（2）由于AE 为直径，所以90ADE ︒∠=,由题意可知//DE BC ,又点D 是AC 的中点，且
:4:5,6AD AE BC ==，所以可得5AE =，即O 的直径为5.
2. （2011山东菏泽，18，10分）如图，BD 为⊙O 的直径，AB =AC ，AD 交B C 于点E ，AE =2，ED =4，
(1)求证：△ABE ∽△ADB ；
(2)求AB 的长；
(3)延长DB 到F ，使得BF =BO ，连接FA ，试判断直线FA 与⊙O 的位置关系，并说明理由．
解：(1)证明：∵AB =AC ，∴∠ABC =∠C ，
∵∠C =∠D ，∴∠ABC =∠D ，
又∵∠BAE =∠EAB ，∴△ABE ∽△ADB ，
(2) ∵△ABE ∽△ADB ，∴AB AE
AD AB =，
∴AB 2=AD ·AE =(AE ＋ED )·AE =(2＋4)×2=12
∴AB =3
(3) 直线FA 与⊙O 相切，理由如下：
连接OA ，∵BD 为⊙O 的直径，∴∠BAD =90°， ∴22212(24)43BD AB AD +++=，
BF=BO =1
23 2
BD
=，
∵AB=23，∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，
∴直线FA与⊙O相切．
3. （2011四川凉山州，27，8分）如图，已知ABC
△，以BC为直径，O为圆心的半圆交AC于点F，点E 为CF的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的角平分线，且AD BE
⊥，垂足为点H。

（1）求证：AB是半圆O的切线；
（2）若3
AB=，4
BC=，求BE的长。

【答案】
⑴证明：连接EC，
∵BC是直径∴90
E
∠=
有∵AD BE
⊥于H∴90
AHM
∠=
∵12
∠=∠∴34
∠=∠
∵AD是ABC
△的角平分线∴453
∠=∠=∠
又∵E为CF的中点∴375
∠=∠=∠
∵AD BE
⊥于H
∵5690
∠+∠=即6790
∠+∠=
又∵BC是直径∴AB是半圆O的切线···4分
（2）∵3
AB=，4
BC=。

由（1）知，90
ABC
∠=，∴5
AC=。

在ABM
△中，AD BM
⊥于H，AD平分BAC
∠，∴3
AM AB
==，∴2
CM=。

由CME
△∽BCE
△，得
1
2
EC MC
EB CB
==。

∴2
EB EC
=，∴
8
5
5
BE=。

4. （2011山东滨州，22，8分）如图，直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM, 连接OM、BC.
求证：（1）△ABC∽△POM; (2)2OA2=OP·BC.
【答案】证明：（1）∵直线PM切⊙O于点M，∴∠PMO=90°………………1分
∵弦AB是直径，∴∠ACB=90°………………2分
∴∠ACB=∠PMO………………3分
∵AC∥PM, ∴∠CAB=∠P ………………4分
A A
H
A
C
A
E
A
M
A
F
A
A
∴△ABC ∽△POM………………5分
(2) ∵ △ABC ∽△POM, ∴
AB BC
PO OM =
………………6分 又AB=2OA,OA=OM, ∴2OA BC
PO OA
=
………………7分 ∴2OA 2
=OP·BC………………8分
5. （2011山东日照，21，9分）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，CD 是⊙O 的切线，C 为切点，AD ⊥CD 于点D ．
求证：（1）∠AOC =2∠ACD ；（2）AC 2
＝AB ·AD ．
【答案】证明：（1）∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD =90°， 即∠ACD +∠ACO =90°．…① ∵OC=OA ，∴∠ACO =∠CAO ， ∴∠AOC =180°-2∠ACO ，即
21∠AOC +∠ACO =90°. ② 由①，②，得：∠ACD -2
1
∠AOC =0，即∠AOC =2∠ACD ； （2）如图，连接BC ．
∵AB 是直径，∴∠ACB =90°．
在Rt △ACD 与△Rt ACD 中，∵∠AOC =2∠B ，∴∠B =∠ACD ， ∴△ACD ∽△ABC ，∴
AC
AD AB AC =
，即AC 2
=AB ·AD ． 6. （2011浙江温州，20，8分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F ．已知OA ＝3，AE ＝2，(1)求CD 的长；(2)
求BF 的长．
【答案】解：(1)连结OC ，在Rt △OCE 中，229122CE OC OE =-=-=．
∵CD ⊥AB ， ∴342CD CE == (2) ∵BF 是⊙O 的切线，∴FB ⊥AB ， ∴CE ∥FB ，∴△ACE ∽△AFB ， ∴
CE AE BF AB
=
，2226=， ∴62BF =
7. （2011山东潍坊，23，11分）如图，AB 是半圆O 的直径，AB =2.射线AM 、BN 为半圆的切线.在AM 上取一点D ，
连接BD 交半圆于点C ，连接AC .过O 点作BC 的垂线OE ，垂足为点E ，与BN 相交于点F .过D 点做半圆的切线DP ，切点为P ，与BN 相交于点Q . （1）求证：△ABC ∽ΔOFB ；
（2）当ΔABD 与△BFO 的面积相等时，求BQ 的长；
（3）求证：当D 在AM 上移动时（A 点除外），点Q 始终是线段BF 的中点.
【解】（1）证明：∵AB 为直径， ∴∠ACB =90°，即AC ⊥BC .
又∵OE ⊥BC ，∴OE //AC ，∴∠BAC =∠FOB . ∵BN 是半圆的切线，故∠BCA =∠OBF =90°. ∴△ACB ∽△OBF .
（2）由△ACB ∽△OBF ，得∠OFB =∠DBA ，∠DAB =∠OBF =90°， ∴△ABD ∽△BFO ，
当△ABD 与△BFO 的面积相等时，△ABD ≌△BFO . ∴AD =BO=
1
2
AB =1. ∵DA ⊥AB ，∴DA 为⊙O 的切线. 连接OP ，∵DP 是半圆O 的切线， ∴DA=DP=1，∴DA=AO=OP=DP=1， ∴四边形ADPO 为正方形.
∴DP//AB ，∴四边形DABQ 为矩形. ∴BQ =AD =1.
（3）由（2）知，△ABD ∽△BFO ， ∴
BF AB OB AD =
，∴2
BF AD
=. ∵DPQ 是半圆O 的切线，∴AD =DP ，QB =QP .
过点Q 作AM 的垂线QK ，垂足为K ，在Rt △DQK 中，2
2
2
DQ QK DK =+， ∴()()2
2
2
2AD BQ AD BQ +=-+，
∴1
BQ AD
=
，∴BF =2BQ ，∴Q 为BF 的中点. 8. （2011江苏无锡，27，10分）(本题满分10分)如图，已知O (0，0)、A (4，0)、B (4，3)。

动点P 从O 点出
发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB 的边OA 、AB 、BO 作匀速运动；动直线l 从AB 位置出发，以每秒1个单位的速度向x 轴负方向作匀速平移运动。

若它们同时出发，运动的时间为t 秒，当点P 运动到O 时，它们都停止运动。

(1)当P 在线段OA 上运动时，求直线l 与以点P 为圆心、1为半径的圆相交时t 的取值范围；
(2)当P 在线段AB 上运动时，设直线l 分别与OA 、OB 交于C 、D ，试问：四边形CPBD 是否可能为菱形？若
能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l 的出发时间，使得四边形CPBD 会是菱形。

y
O x
A
B
解：(1)当点P 在线段OA 上时，P (3t ，0)，…………………………………………………………(1分)
⊙P 与x 轴的两交点坐标分别为(3t − 1，0)、(3t + 1，0)，直线l 为x = 4 − t ，
若直线l 与⊙P 相交，则⎩⎨⎧3t − 1 < 4 − t ，
4 −
t < 3t + 1．……………(3分)
解得：34 < t < 5
4
．……………………………………………………………………(5分)
(2)点P 与直线l 运动t 秒时，AP = 3t − 4，AC = t ．若要四边形CPBD 为菱形，则CP // OB ，
∴∠PCA = ∠BOA ，∴Rt △APC ∽ Rt △ABO ，∴AP AB = AC AO ，∴3t − 43 = t 4，解得t = 16
9，……(6分)
此时AP = 43，AC = 169，∴PC = 209，而PB = 7 − 3t = 5
3
≠ PC ，
故四边形CPBD 不可能时菱形．……………………………………………(7分)
(上述方法不唯一，只要推出矛盾即可)
现改变直线l 的出发时间，设直线l 比点P 晚出发a 秒，
若四边形CPBD 为菱形，则CP // OB ，∴△APC ∽ △ABO ，AP AB = PC BO = AC AO ，∴3t − 43 = 7 − 3t 5 = t − a
4，
即：⎩⎨⎧3t − 43 = 7 − 3t 5，3t − 43 = t − a 4．，解得⎩⎨⎧t = 41
24
a = 524
∴只要直线l 比点P 晚出发524秒，则当点P 运动41
24秒时，四边形CPBD 就是菱形．………………(10分)
9. （2011湖南永州，23，10分）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，
BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB=∠ABC ． ⑴求证：BE 是⊙O 的切线；
⑵若OA=10，BC=16，求BE 的长．
【答案】证明：⑴∵AB 是半圆O 的直径 ∴∠ACB=90° ∵OD ∥AC ∴∠ODB=∠ACB=90° ∴∠BOD+∠ABC=90° 又∵∠OEB=∠ABC ∴∠BOD+∠OEB=90° ∴∠OBE=90° ∵AB 是半圆O 的直径 ∴BE 是⊙O 的切线
⑵在ABC Rt ∆中，AB=2OA=20，BC=16，∴1216202222=-=-=BC AB AC ∴341216tan ===AC BC A ∴3
4
tan ==∠OB BE BOE ∴3
113103434=⨯==
OB BE ． 10. （2011江苏盐城，25，10分）如图，在△ABC 中，∠C = 90°，以AB 上一点O 为圆心，OA 长为半径的圆与
BC 相切于点D ，分别交AC 、AB 于点E 、F ．
（1）若AC =6，AB = 10，求⊙O 的半径；
（2）连接OE 、ED 、DF 、EF ．若四边形BDEF 是平行四边形，试判断四边形OFDE 的形状，并说明理由．
A
E
C D
F B
O
【答案】（
1）连接OD . 设⊙O 的半径为r . ∵BC 切⊙O 于点D ，∴OD ⊥BC .
∵∠C =90°，∴OD ∥AC ，∴△OBD ∽△ABC .
∴OD AC = OB AB ，即 r 6 = 10-r 10. 解得r = 154
， ∴⊙O 的半径为154
.
(2)四边形OFDE 是菱形.
∵四边形BDEF 是平行四边形，∴∠DEF =∠B .
∵∠DEF =12∠DOB ，∴∠B =1
2
∠DOB .
∵∠ODB =90°，∴∠DOB +∠B =90°，∴∠DOB =60°.
∵DE ∥AB ，∴∠ODE =60°.∵OD =OE ，∴△ODE 是等边三角形.
∴OD =DE .∵OD =OF ，∴DE =OF .∴四边形OFDE 是平行四边形.
∵OE =OF ，∴平行四边形OFDE 是菱形.
11. (20011江苏镇江27,9分)在平面直角坐标系xOy 中,一次函数3
34
y x =
+的图象是直线12,l l 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点.直线2l 过点C(a,0)且与1l 垂直,其中a>0,点P 、Q 同时从A 点出发,其中点P 沿射线AB 运动,速度为每秒4个单位;点Q 沿射线AO 运动,速度为每秒5个单位. (1)写出A 点的坐标和AB 的长;
(2)当点P 、Q 运动了t 秒时,以点Q 为圆心,PQ 为半径的⊙Q 与直线2l 、y 轴都相切,求此时a 的值.
答案:(1)A(-4,0),AB=5. (2)由题意得：AP=4t,AQ=5t,
AP AQ
t OA OB
==,又∠PAQ=∠QAB,∴△APQ ∽△AOB.∴∠APQ=∠AOB=90°。

∵点P 在1l 上，∴⊙Q 在运动过程中保持与1l 相切。

O B
F D
C
E
A
①当⊙Q 在y 轴右侧与y 轴相切时，设1l 与⊙Q 相切于F ，由△APQ ∽△AOB 得
435
PQ PQ
+=
,∴PQ=6, 连接QF ，则QF=PQ, △QFC ∽△APQ ∽△AOB 得
QF QC
OA AB
=
. ∴
PQ QC OA AB =
,645QC =,∴QC=152,a=OQ+QC=27
2
. ②当⊙Q 在y 轴左侧与y 轴相切时，设1l 与⊙Q 相切于E, 由△APQ ∽△AOB 得
435PQ PQ -=
,∴PQ=3
2
. 连接QE ，则QE=PQ,由△QEC ∽△APQ ∽△AOB 得QF QC OA AB =，∴QF QC OA AB =
，3
245
QC
=， ∴QC=
158,a=QC-OQ=38.∴a 的值为272和3
8。

2.和三角函数的综合
1. （2011浙江义乌，21，8分）如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E . ⊙O 的切线BF 与弦
AD 的延长线相交于点F ，且AD =3，cos ∠BCD=4
3
.
（1）求证：CD ∥BF ；（2）求⊙O 的半径；（3）求弦CD 的长.
【答案】（1）∵BF 是⊙O 的切线 ∴AB ⊥BF ∵AB ⊥CD ∴CD ∥BF
（2）连结BD ∵AB 是直径 ∴∠ADB =90° ∵∠BCD =∠BAD cos ∠BCD =
4
3 ∴cos ∠BAD =
4
3
=AB AD 又∵AD =3 ∴AB =4 ∴⊙O 的半径为2
（3）∵cos ∠DAE =
4
3
=AD AE AD =3∴AE =49
∴ED =4734932
2
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛- ∴CD =2ED =372
2. （2011浙江省舟山，22，10分）如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ． （1）求证：CA 是圆的切线；
（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =
32，tan ∠AEC =3
5
，求圆的直径．
A
B
【答案】（1）∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圆的切线．
(2)在Rt△AEC中，tan∠AEC=5
3
，∴
5
3
AC
EC
=,
3
5
EC AC
=;
在Rt△ABC中，tan∠ABC=2
3
，∴
2
3
AC
BC
=,
3
2
BC AC
=;
∵BC-EC=BE，BE=6，∴33
6
25
AC AC
-=,解得AC=
20
3
,
∴BC=320
10
23
⨯=．即圆的直径为10.
3. （2011四川乐山24，10分）如图，D为O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)过点B作O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tan∠CDA=2
3
,求BE的长
【答案】（1）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠1，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵EB为⊙O的切线，
∴ED=EB，OD⊥BD，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA=2
3
，
∴tan∠OEB=
2
3 OB
BE
=，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴
2
3 CD OD
OB
CB BE BE
===，
∴CD=
2
64
3
⨯=，
在Rt△CBE中，设BE=x，
∴222
(4)6
x x
+=+，
解得
5
2
x=．
即BE的长为
5
2
．
4.（2011广东株洲，22，8分）如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D 为AC上一点，
∠AOD=∠C．
（1）求证：OD⊥AC；（2）若AE=8，
3
tan
4
A=，求OD的长．
【答案】（1）证明：∵BC是⊙O的切线，AB为⊙O的直径
∴∠ABC=90°，∠A+∠C=90°，
又∵∠AOD=∠C，∴∠AOD+∠A=90°，∴∠ADO=90°，∴OD⊥AC.
（2）解：∵OD⊥AE，O为圆心，∴D为AE中点，∴
1
AD=AE=4
2
，
又
3
tan
4
A=，∴ OD=3.
5. （2011四川广安，29，10分）如图8所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且
PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：AQ·PQ= OQ·BQ；
（3）设∠AOQ=α．若cosα=
4
5
．OQ= 15．求AB的长
【答案】（1）证明：如图，连结OP
_Q
_P
_O
_B
_A
∵PA=PB，AO=BO，PO=PO
∴△APO≌△BPO∴∠PBO=∠PAO=90°
∴PB是⊙O的切线
（2）证明：∵∠OAQ=∠PBQ=90° ∴△QPB∽∆QOA
∴PQ BQ
OQ AQ
=即AQ
·PQ
= OQ·BQ
（3）解：cosα=
AO
OQ
=
4
5
∴AO=12
∵△QPB∽∆QOA ∠BPQ=∠AOQ=α
∴tan∠BPQ=
BQ
PB
=
3
4
∴PB=36 PO=1210
∵
1
2
AB·PO= OB·BP ∴AB=
36
10
5
6．（2011湖北武汉市，22，8分）如图，PA为⊙O的切线，A为切点．过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=
2
1
，求sinE的值．
【答案】(本题8分)（1）证明：连接OA
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAO=90°
∵OA＝OB，OP⊥AB于C
∴BC＝CA，PB＝PA
∴△PBO≌△PAO
∴∠PBO＝∠PAO＝90°
∴PB为⊙O的切线
（2）解法1：连接AD，∵BD是直径，∠BAD＝90°
由（1）知∠BCO＝90°
∴AD∥OP
∴△ADE∽△POE
∴EA/EP＝AD/OP 由AD∥OC得AD＝2OC
_Q
_P
_O
_B
_A
∵tan ∠ABE=1/2
∴OC/BC=1/2，设OC ＝t,则BC ＝2t,AD=2t 由△PBC ∽△BOC ，得PC ＝2BC ＝4t ，OP ＝5t ∴EA/EP=AD/OP=2/5，可设EA ＝2m,EP=5m,则PA=3m ∵PA=PB ∴PB=3m ∴sinE=PB/EP=3/5 （2）解法2：连接AD ，则∠BAD ＝90°由（1）知∠BCO ＝90°∵由AD ∥OC ，∴AD ＝2OC ∵tan ∠ABE=1/2,∴OC/BC=1/2,设OC ＝t ，BC ＝2t ，AB=4t 由△PBC ∽△BOC ，得PC ＝2BC ＝4t ， ∴PA ＝PB ＝
25t 过A 作AF ⊥
PB 于F ，则AF·PB=AB·PC
∴AF=
558t 进而由勾股定理得PF ＝5
5
6t ∴sinE=sin ∠FAP =PF/PA =3/5
7. （2011贵州安顺，26，12分）已知：如图，在△ABC 中，BC =AC ，以BC 为直径的⊙O 与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E ．
⑴求证：点D 是AB 的中点；
⑵判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；
⑶若⊙O 的直径为18，cosB =3
1
，求DE 的长．
【答案】（1）证明：连接CD ,则CD AB ⊥，
又∵AC = BC ， CD = CD ， ∴ACD Rt ∆≌BCD Rt ∆ ∴AD = BD ， 即点D 是AB 的中点．
（2）DE 是⊙O 的切线 ．
理由是：连接OD , 则DO 是△ABC 的中位线，∴DO ∥AC ， 又∵DE AC ⊥；∴DE DO ⊥ 即DE 是⊙O 的切线； （3）∵AC = BC ， ∴∠B =∠A ， ∴cos ∠B = cos ∠A =3
1
， ∵ cos ∠B =
3
1
=BC BD ， BC = 18，∴BD = 6 ， ∴AD = 6 ， 第26题图
∵ cos ∠A =3
1=AD AE ， ∴AE = 2， 在AED Rt ∆中，DE =2422=-AE AD ．
8. （2011河北，25，10分）如图14-1至14-4中，两平行线AB,CD 间的距离为6，点M 为AB 上一定点.
思考
如图14-1，圆心为O 的半圆纸片在AB,CD 之间（包括AB,CD ），其直径MN 在AB 上，MN=8，点P 为半圆上一点，设∠MOP=α.
当α= 度时，点P 到CD 的距离最小，最小值为 。

探究一
在图14-1的基础上，以点M 为旋转中心，在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆纸片，直到不能再转动为止，如图14-2，得到最大旋转角∠BMO= 度，此时点N 到CD 的距离是
探究二
将图14-1中的扇形纸片NOP 按下面对α要求剪掉，使扇形纸片MOP 绕点M 在AB,CD 之间顺时针旋转。

（1）如图14-3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P 到CD 的最小距离，并请指出旋转角∠BMO 的最大值；
（2）如图14-4，在扇形纸片MOP 旋转过程中，要保证点P 能落在直线CD 上，请确定α的取值范围. （参考数据：sin49°=43,cos41°=43，tan37°=4
3 ）
图14-4图14-3图14-2图14-1
D C D P
【答案】思考 90，2；
探究一 30，2；
探究二
（1）由已知得M
与P 的距离为4，∴当MP ⊥AB 时，点P 到AB 的最大距离为4，从而点P 到CD 的最小距离为6-4=2.当扇形MOP 在AB,CD 之间旋转到不能再转时，弧MP 与AB 相切，此时旋转角最大，∠BMO 的最大值为90°。

（2）如图，由探究一可知，点P 是弧MP 与CD 的切点时，α达到最大，即OP ⊥CD 。

此时延长PO 交AB 于点H ，α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°。

如图，当点P 在CD 上且与AB 距离最小时，MP ⊥CD,α达到最小，连接MP ，作OH ⊥MP 于点H ，由垂径定理，得MH=3，在Rt △MOH 中，MO=4，∴sin ∠MOH=
4
3=OH MH ，∴∠MOH=49°，∵α=2∠MOH ，∴α最小值为98°。

∴α的取值范围是98°≤α≤120°。