山西省忻州市前芦子沟中学高二数学理期末试卷含解析

山西省忻州市前芦子沟中学高二数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，．若二面角的大小为60°，则点C到平面ABC1的距离为（）．
A．B．C．1
D．
参考答案：
B
点到平面的距离为，
∵，，
∵，
即，
∴．
故选．2. 设连续掷两次骰子得到的点数分别为、，则直线与圆相交的概率是（）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
3. 设是定义在上的奇函数，且，则（）A．－1 B．－2 C．1 D．2
参考答案：
B
4. 数列的一个通项公式是 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
5. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，则C的方程是（）A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】双曲线的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设出双曲线方程，利用双曲线的右焦点为F（3，0），离心率为，建立方程组，可求双曲线的几何量，从而可得双曲线的方程．
【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则
∵双曲线C的右焦点为F（3，0），离心率等于，
∴，∴c=3，a=2，∴b2=c2﹣a2=5
∴双曲线方程为．
故选B．
【点评】本题考查双曲线的方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
6. 在△ABC中，若，则最大角的余弦是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
略
7. .如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2， E、F分别是SC和AB的中点，则EF的长为（）
A． B. 3 C. 2 D
参考答案：
D
8. 复数的共轭复数为（）。

A．B．
C．D．
参考答案：
B
9. 将∠B=60o且边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，若，则折后两条对角线AC和BD之间的距离为( )
A．最小值为，最大值为 B．最小值为，最大值为
C．最小值为，最大值为 D．最小值为，最大值为
参考答案：
B
10. 已知函数f（x）=cosωx（sinωx+cosωx）（ω＞0），如果存在实数x0，使得对任意的实数x，都有f（x0）≤f（x）≤f（x0+2016π）成立，则ω的最小值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
【分析】由题意可得区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正
弦公式求得f（x）=sin（2ωx+）+，再根据2016π≥?，求得ω的最小值．
【解答】解：由题意可得，f（x0）是函数f（x）的最小值，f（x0+2016π）是函数f（x）的最大值．
显然要使结论成立，只需保证区间[x0，x0+2016π]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可．
又f （x ）=cosωx（sinωx+cosωx）=sin2ωx+
=sin （2ωx+）+，
故2016π≥?，求得ω≥
，
故则ω的最小值为，
故选：D ．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若命题p ：
，则
是______.
参考答案：
12. 复数满足：(为虚数单位) ，则复数的共轭复数
= .
参考答案：
13.
在行列式中，元素的代数余子式的值是____________.
参考答案：
略
14. 圆心在，半径为1的圆的极坐标方程是 （ ．
参考答案：
其它正确答案同样给分）
分析：
由题意圆心在
，半径为1的圆，利用直角坐标方程，先求得其直角坐标方程，间
接求出所求圆的方程．
解答：
解：由题意可知，圆心在
的直角坐标为（，），半径为1．
得其直角坐标方程为（x ﹣
）2+（y ﹣
）2
=1，即x 2+y 2=
x+y
所以所求圆的极坐标方程是：ρ2=
?．
故答案为：
．
点评： 本题是基础题，考查极坐标方程的求法，考查数形结合，计算能力．
15. 函数
的单调递减区间 .
参考答案：
略
16. 如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动。

设顶点p （x ，y ）
的纵坐标与横坐标的函数关系是，则的最小正周期为 ；
在其两个相邻零点间的图像与x 轴所围区域的面积为 。

说明：“正方形PABC 沿x 轴滚动”包含沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动。

沿x 轴正方向滚
动是指以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形PABC 可以沿着x 轴负方向滚动。

参考答案：
4 ,
17. 设F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，则△PF 1F 2的
面积等于
． 参考答案： 4 略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥ABCD 平面，E 为PD 中点，
.
（Ⅰ）求证：平面AEC ⊥平面PCD ；
（Ⅱ）若二面角的平面角大小满足，求四棱锥P -ABCD 的体积.
参考答案：
（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【详解】试题分析：（Ⅰ）由正三角形性质可得，再利用面面垂直的性质定理得
平
面
，从而，则
，由线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理可得
平面
；（Ⅱ）建立空间直角坐标系
，令
，求出平面
的法向量以及平
面
的法向量，根据二面角的平面角的余弦值列方程求出，利用棱锥的体积公
式可得结果. 试题解析：（Ⅰ）取
中点为
，
中点为
，
由侧面为正三角形，且平面平面知平面，故，
又
，则平面，所以
，
又，则
，又
中点，则，
由线面垂直的判定定理知平面
，
又平面
，故平面
平面
.
（Ⅱ）
如图所示，建立空间直角坐标系，
令
，则
.
由（Ⅰ）知为平面的法向量，
令
为平面
的法向量，
由于均与垂直，
故
即
解得
故
，由
，解得
.
故四棱锥的体积.
【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理、利用空间向量求二面角以及棱锥的体积公式，属于
难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
19. 已知数列具有性质：对任意，，
与两数至少有一个属于．
（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由．
（Ⅱ）求证：．
（Ⅲ）求证：．
参考答案：
见解析
（Ⅰ）由于与均不属于数集，所以该数集不具有性质，
由于，，，，，，，，，，都属于数集，
所以该数集具有性质．
（Ⅱ）因为具有性质，
所以与中至少有一个属于，
由于，所以，故，
从而，所以．
（Ⅲ）因为，所以，故．
由具有性质可知，
又因为，所以，，，，，
从而
，
所以．
20. 双曲线上一点到左，右两焦点距离的差为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）设是双曲线的左右焦点，是双曲线上的点，若，
求的面积；
（3）过作直线交双曲线于两点，若，是否存在这样的直线，使为矩形？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由．
参考答案：
（3）若直线斜率存在，设为，代入
得
若平行四边形为矩形，则
无解
若直线垂直轴，则不满足．
故不存在直线，使为矩形．
21. 设函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab的两个零点分别是－3和2；
(1)求f(x)；
(2)当函数f(x)的定义域是[0,1]时，求函数f(x)的值域．
参考答案：
22. 设函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4．
（Ⅰ）若a是从﹣2、﹣1、0、1、2五个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求函数f（x）无零点的概率；
（Ⅱ）若a是从区间[﹣2，2]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求函数f（x）无零点的概率．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；几何概型．
【分析】（Ⅰ）问题等价于a2+b2＜4，列举可得基本事件共有15个，事件A包含6个基本事件，可得概率；（Ⅱ）作出图形，由几何概型的概率公式可得．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4无零点等价于方程x2+2ax﹣b2+4=0无实根，
可得△=（2a）2﹣4（﹣b2+4）＜0，可得a2+b2＜4
记事件A为函数f（x）=x2+2ax﹣b2+4无零点，
总的基本事件共有15个：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，0），（﹣1，1），（﹣1，2），（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），事件A包含6个基本事件，
∴P（A）=
（Ⅱ）如图，试验的全部结果所构成的区域为（矩形区域）
事件A所构成的区域为A={（a，b）|a2+b2＜4且（a，b）∈Ω}即图中的阴影部分．∴。