四川省攀枝花市第十二中学2017届高三数学上学期第二次月考试题文

高 2017 届 10 月月考数学（文）试题
一、选择题（共60 分，每题 5 分）
1. 设z10i，则 z 的共轭复数为（）
3i
A．1 3i B． 1 3i C． 1 3i D． 1 3i
2. 已知会合A x x24x 3 0 ，B x 2x 4 ,则 AI B（）
（ A）（ 1， 3）（ B）（ 1， 4）（ C）（ 2， 3）（ D）（ 2， 4）
【答案】 C
【分析】由于 A x x24x 3 0x 1 x3
所以AIB x 1 x 3 I x 2 x 4x 2 x 3 .
应选： C.
x20
3. 设变量x, y知足拘束条件x y30 ，则目标函数 z x 6 y 的最大值为( )
2x y30
（A）3（ B）4（C） 18（D） 40
【答案】 C
4．将函数 y＝sin x
π
y＝ f(x) 的图象，则以下说法正确的选项是的图象向左平移 2
个单位，获得函数
A．y＝ f(x)是奇函数B． y＝ f(x)的周期为π
ππ
C．y＝ f(x)的图象对于直线 x＝2对称 D． y＝ f(x) 的图象对于点－2，0 对称
分析：选 D函数 y＝sin x 的图象向左平移π
f ( x)＝sin
π
＝ cos x 个单位后，获得函数x＋
22
ππ
的图象， f ( x)＝cos x 为偶函数，A错； f ( x)＝cos x 的周期为2π， B 错；由于f2＝ cos2＝ 0，
所以
f ( x)＝
cos x
不对于直线
x
＝π对称，
C
错；函数
f ( x)
的对称中心是点 kπ＋π， 0
k
∈ ，
D
22Z
对．
5．以下说法错误的选项
是 ()
A．命题“若 x2－ 5x＋ 6＝0，则 x＝2”的逆否命题是“若x≠2，则 x2－ 5x＋6≠0”
2
p：对随意2
B．若命题 p：存在 x0∈ R， x0＋ x0＋ 1<0，则x∈R， x ＋ x＋1≥0 C．若 x， y∈R，则“ x＝y”是“ xy≥
x＋ y 2”的充要条件
2
D．已知命题 p 和 q，若“p 或 q”为假命题，则命题p 与 q 中必一真一假D．已知命题p和q，若“p或q”为假命题，则命题p 与 q 中必一真一假
分析：选 D由原命题与逆否命题的关系知 A 正确；由特称命题的否认知
x＋ y2 B 正确；由xy≥?
2
4 xy ≥( ＋) 22＋
y
2＋ 2? (
x
－
y
) 2≤0?
x
＝
y
知 C正确；对于 D，命题“
p
或”为假命题，x y? 4xy≥x xy q
则命题 p 与 q 均为假命题，所以D不正确
6．函数 f(x) ＝cos( ωx＋φ ) 的部分图象如下图，则f(x) 的单一递减区间为
1 3
1 3
A.
k π－ ，k π＋
， k ∈ Z B.
2k π－ ，2k π＋
， k ∈ Z
4 4 4
4
1
3
1 3
C. k － 4， k ＋ 4 ， k ∈ Z
D. 2k － 4， 2k ＋4 ， k ∈Z
5 1
分析：选 D 由图象知，周期 T ＝ 2 4－4 ＝ 2，
2π
∴ ω ＝2，∴ ω ＝π.
1
π π
由 π× 4＋ φ＝ 2 ＋ 2k π，得 φ ＝ 4 ＋ 2k π， k ∈ Z ，
π
π
不如取 φ＝ 4 ，∴ f ( x ) ＝ cos π x ＋ 4 .
π
由 2k π＜π x ＋ 4 ＜ 2k π＋π，
得 2k －1＜ x ＜ 2k ＋3
， k ∈ Z ，
44
∴
f ( x ) 的单一递减区间为
2k － 1 ， 2k ＋ 3 ， ∈ ，应选
D.
4 4 k Z
7、履行如下图的程序框图，则输出的
Z 值为(
)
A ． 64
B ． 6
C ． 8
D ． 3
答案： B
8．已知 sin
π
＋sin α＝
4 3
，则 sin α＋ 7π 的值是 ＋α 5 6
3
( )
A ．－
2
3
B. 2 3
C.
4 D
．－
4
5
5 5
5
π
4 3
分析：选 D
∵ sin
3 ＋α ＋ sin
α＝ 5 ，
π
π
4 3
∴ sin
3 cos α＋cos
3 sin
α＋ sin α＝ 5 ，
3
α
3 α
4
3
∴ 2sin ＋ 2 cos ＝ 5
，
3
α
1
α
4 即 2 sin
＋ 2cos ＝5，
7π
7π
7π 故 sin α
＋
6 ＝ sin αcos
6 ＋ cos αsin
6
3
1
4
＝－
2 sin α＋ 2cos α ＝－ 5.
9．设函数 f(x) 为偶函数，当 x ∈(0 ，＋∞ ) 时， f(x) ＝ log 2x ，则 f( －
2)＝（ )
1 1 C ．2D
．－ 2
A ．－ B.
2
2
分析：选 B
由于函数 f ( x ) 是偶函数，所以
f ( － 2) ＝ f ( 2) ＝ log
1
2
2＝2.
10．设函数 f(x) ＝
3x － b ， x<1，
5 ＝ 4，则 b ＝ (
)
2x ，x ≥1.
若 f
f
6
7 3
1 A ． 1
B. 8
C.
4 D.
2
5
5
5
5
3
5
15
分析：选 D f
6 ＝3× 6－ b ＝ 2－ b ，若 2－ b <1，即 b >2，则 3× 2
－ b － b ＝ 2 － 4b ＝ 4，解得 b 7
5
3
5
＝ 4，解得
b
1
＝ ，不切合题意，舍去；若
－ ≥1，即
≤，则2－ ＝ .
8
2 b b 2 2 b
2 11．已知函数 f(x)
的图象对于直线 x ＝ 1 对称，当 x 2>x 1>1 时， [f(x 2) － f(x 1)](x
2
－ x 1)<0 恒成立，设
1
a ＝f － 2 ，
b ＝ f(2) ，
c ＝ f(e) ，则 a ， b ， c 的大小关系为 (
)
A ． c>a>b
B ． c>b>a
C ． a>c>b
D ．b>a>c
分析：选 D
因 f ( x ) 的图象对于直线
x ＝ 1 对称．由此可得 f 1
＝ f
5
. 由 x 2>x 1>1 时， [ f ( x 2)
－2 2 － f ( x 1)]( x 2－ x 1)<0 恒成立，知 f ( x ) 在 (1 ，＋∞ ) 上单一递减．
5
5
∴ b >a >c .
12．已知定义在 ( －1,1) 上的奇函数
f(x) ，其导函数为 f ′(x) ＝ 1＋ cos x ，假如 f(1 － a) ＋ f(1 －
a 2)<0 ，则实数 a 的取值范围为 (
)
A ． (0,1)
B ．(1 ， 2)
C ．( －2，－
2) D ．(1 ， 2) ∪ ( － 2，－ 1)
分析：选 B
依题意得， f ′(x )>0 ，则 f ( x ) 是定义在 ( － 1,1) 上的奇函数、增函数．不等式 f (1
－ a ) ＋ f (1 － a 2)<0 等价于 f (1 － a 2)< － f (1 － a ) ＝ f ( a － 1) ，则－ 1<1 － a 2<a － 1<1 ，由此解得
1<a < 2.
二、填空题（共
20 分，每题 5 分）
π
13．函数 f(x) ＝ sin －2x ＋
的单一减区间为 ______．
3
分析：由已知函数为
y ＝－ sin 2x － π
，欲求函数的单一减区间，只要求
y ＝ sin 2x － π
的单
3 3
调增区间即可．
π π
π
由 2k π－
≤2x － ≤2k π＋
， k ∈ Z ，
2
3
2
π
5π
得 k π－ 12≤x ≤ k π＋ 12 ， k ∈ Z.
故所给函数的单一减区间为k
π－
π
， π＋ 5π
12 k
12 ( k ∈ Z) ．
14．设 f(x) 是定义在 R 上的周期为
2 的函数，当 x ∈ [ － 1,1) 时， f(x)
－ 4x 2＋ 2，－ 1≤x<0，
＝
0≤x<1，
x ，
3
则 f
2 ＝ ________.
分析：由题意得， f
3 ＝ f － 1 ＝－4× － 1 2＋ 2＝ 1.
2 2
2
答案： 1
3
15．一个几何体的三视图如下图 ( 单位： m)，则该几何体的体积为 ________m.
分析：由几何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱组成，此中圆锥的底面半径和高均为 1，圆柱的底面半径为 1 且其高为2，故所求几何体的体积为
1228
V＝3π×1×1×2＋π×1×2＝3π.
16．函数 y＝xe x在其极值点处的切线方程为________．
分析：由题知 y′＝e x＋ x e x，令 y′＝0，解得 x＝－1，
代入函数分析式可得极值点的坐标为－1，－
1
e
，
1
又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故切线方程为y＝－e.
1
答案： y＝－
e
三、解答题（共70 分）
17．( 本小题满分12 分 ) 在等差数列{ a n}中，a1a38，且 a4为 a2和 a9的等比中项，求数列 { a n}的首项、公差及前n 项和．
4 ，公差为0 ，或首项为1，公差为3；S n 3n2n
【答案】首项为4n 或 S n.
2
18．（本小题 12 分）在△ ABC中，a2c2b22ac .（ I ）求 B 的大小；（II）求 2 cos A cosC 的最大值.
【答案】（ I ）π
；（ II ）1. 4
19．（本小题12 分）在如下图的多面体中，四边形ABB1A1和 ACC1A1都为矩形． (1) 若 AC⊥ BC，证
明：直线BC⊥平面 ACC1A1；
(2) 设 D， E 分别是线段BC， CC1的中点，在线段 AB上能否存在一点M，使直线DE∥平面 A1MC？请证明你的结论．
解： (1) 证明：由于四边形ABB1A1和 ACC1A1都是矩形，
所以 AA1⊥ AB， AA1⊥AC.
由于 AB， AC为平面 ABC内两条订交直线，
所以 AA1⊥平面 ABC.
由于直线BC?平面 ABC，所以 AA1⊥ BC.
又由已知， AC⊥ BC， AA1， AC为平面 ACC1A1内两条订交直线，
所以 BC⊥平面 ACC1A1.
(2)取线段 AB的中点 M，连结 A1M， MC， A1C， AC1，设 O为 A1C， AC1的
交点．由已知， O为 AC1的中点．
连结 MD， OE，则 MD， OE分别为△ ABC，△ ACC1的中位线，
11
所以， MD綊2AC， OE綊2AC，
所以 MD綊 OE.
连结 OM，进而四边形MDEO为平行四边形，则DE∥ MO.
由于直线 DE?平面 A1MC， MO?平面 A1MC，
所以直线DE∥平面 A1MC.
即线段 AB上存在一点M(线段 AB的中点)，使直线
20. （本小题 12 分）设椭圆x
2y2 1
（a b0 ）的左、右焦点为F1, F2，右极点为A，上顶a2b2
点为 B．已知AB =
3
F1F2．2
（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设 P 为椭圆上异于其极点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F1，经过原点 O 的直线l与该圆相切，求直线l 的斜率
【答案】（Ⅰ） e =
2
15或4- 15．；（Ⅱ）直线 l 的斜率为 4 +
2
21.（本小题满分
12
分）已知函数 f x e x ax
y 轴交于点 A ，曲线y f x
（ a 为常数）的图象与
在点 A 处的切线斜率为-1.
（ I ）求a的值及函数 f x 的极值；（II）证明：当x 0 时，x2e x；
（ III）证明：对随意给定的正数 c ，总存在 x0，使适当 x x0，，恒有x2ce x.
请考生在22、23、 24 题中任选一题作答, 假如多做 , 则按所做的第一题计分, 做答时请写清题号
（ 22）（本小题满分10 分）选修4-1 ：几何证明选讲
如图，在正方形ABCD，E,G 分别在边DA,DC上（不与端点重合），且 DE=DG，过 D 点作 DF⊥ CE，垂足为 F.
(I) 证明： B,C,G,F 四点共圆； (II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积 .
（23）（本小题满分 10 分）选修 4— 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xoy 中，圆 C 的方程为（ x+6）2+y2=25.
（ I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，求 C 的极坐标方程；
（ II ）直线 l 的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣ AB∣=，求l的斜率。

（ 24）（本小题满分10 分），选修 4— 5：不等式选讲
已知函数 f x x 1
x
1
，M为不等式f(x)＜2的解集.
2 2
（I ）求M；（II）证明：当a,b∈ M时，∣ a+b∣＜∣ 1+ab∣。

（22 题）
【答案】（Ⅰ）212cos11 0；（Ⅱ）15
. 3
【分析】
试题剖析：（ I ）利用2x2y 2， x cos可得 C的极坐标方程；（II）先将直线 l 的参数方程化为一般方程，再利用弦长公式可得l 的斜率．
试题分析：（I ）由x cos, y sin 可得圆C的极坐标方程212cos 11 0.
（ II ）在（ I ）中成立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为(R)
由 A, B 所对应的极径分别为 1 ,2 , 将l的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得
2
12 cos110.
于是1212cos ,1211,
|AB| |12|(
12 ) 2
4
1 2144cos244,
由|AB|10得cos23, tan15，
83
所以 l 的斜率为15 或15.
33
考点：圆的极坐标方程与一般方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式.【结束】。