北师大课标版七年级数学上册《4.5 多边形和圆的初步认识》同步作业3(精品习题)
《5 多边形和圆的初步认识》同步练习含答案
北师大版数学七年级上册第四章5多边形和圆的初步认识同步练习一、选择题1.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．11答案：C解析：解答：设多边形有n条边，则n－2＝8，解得n＝10．故这个多边形的边数是10．故选：C．分析：经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n－2）个三角形，根据此关系式求边数．2.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是（）A．6B．7C．8D．9答案：C解析：解答：设这个多边形是n边形．依题意，得n－3＝5，解得n＝8．故这个多边形的边数是8．故选C．分析：根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n－3）条对角线，由此可得到答案．3.过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（）A．八边形B．九边形C．十边形D．十一边形答案：B解析：解答：设多边形有n条边，则n－2＝7，解得：n＝9．所以这个多边形的边数是9，故选：B．分析：经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n－2）个三角形，根据此关系式求边数．4.七边形的对角线共有（）A．10条B．15条C．21条D．14条答案：D解析：解答：七边形的对角线总共有：()773142⨯-=条．故选D．分析：可根据多边形的对角线与边的关系求解．5.连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是（）边形．A．五B．六C．七D．八答案：D解析：解答：设原多边形是n 边形， 则n －2＝6， 解得n ＝8． 故选：D ．分析：根据n 边形从一个顶点出发可把多边形分成（n －2）个三角形进行计算． 6.一个多边形有五条对角线，则这个多边形的边数为（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 答案：D解析：解答：设多边形的边数为n ，则()352n n -=，整理得23100n n --=， 解得15n =，22n =-（舍去）． 所以这个多边形的边数是5． 故选：D ．分析：根据n 边形的对角线公式()32n n -进行计算即可得解．7.已知过一个多边形的某一个顶点共可作2014条对角线，则这个多边形的边数是（ ） A ．2011 B ．2014 C ．2016 D ．2017 答案：D解析：解答：∵多边形从一个顶点出发可引出2014条对角线， 设多边形为n 边形，则 n －3＝2014， 解得n ＝2017． 故选：D ．分析：根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n－3）求出边数即可得解．8.若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（）A．十三边形B．十二边形C．十一边形D．十边形答案：A解析：解答：设这个多边形是n边形．依题意，得n－3＝10，∴n＝13．故这个多边形是13边形．故选：A．分析：根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n－3）条对角线，由此可得到答案．9.高中要好的五个学生，相互约定在毕业后的一周，每两人通话一次．则在毕业后的一周，这五位同学一共通讯（）次．A．8B．10C．14D．12答案：B解析：解答：5×（5－1）÷2＝5×4÷2＝20÷2＝10（次）．故选：B．分析：5个人每两个人通话一次，则每个人都要和其他4个人分别通话，则每人通话的次数为：5－1＝4次，则所有的人通话的次数为：5×4＝20次，由于通话是在两个人之间进行的，所以共通话20÷2＝10次．10.图中的五个半圆，邻近的两半圆相切，两只小虫同时出发，以相同的速度从A点到B点，甲虫沿1ADA 、1A E 2A 、2A F 3A 、3A GB 路线爬行，乙虫沿AC 1B 路线爬行，则下列结论正确的是（ ）A ．甲先到B 点 B ．乙先到B 点C ．甲、乙同时到BD ．无法确定 答案：C解析：解答：12π（A 1A ＋1A 2A ＋2A 3A ＋3A B ）12π×AB ，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等， 因此两个同时到B 点． 故选C ．分析：甲虫走的路线应该是4段半圆的弧长，那么应该是12π（A 1A ＋1A 2A ＋2A 3A ＋3A B ）＝12π×AB ，因此甲虫走的四段半圆的弧长正好和乙虫走的大半圆的弧长相等，因此两个同时到B 点．11.下列说法，正确的是（ ） A ．弦是直径 B ．弧是半圆 C ．半圆是弧D ．过圆心的线段是直径 答案：C解析：解答：A.弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，不是所有的弦都是直径．故本选项错误；B.弧是圆上任意两点间的部分，只有直径的两个端点把圆分成的两条弧是半圆，不是所有的弧都是半圆．故本选项错误；C.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．所以半圆是弧是正确的．D.过圆心的弦才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，故本选项错误．故选：C．分析：根据弦，弧，半圆和直径的概念进行判断．弦是连接圆上任意两点的线段．弧是圆上任意两点间的部分．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．直径是过圆心的弦．12.有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：B解析：解答：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．其中错误说法的是①③两个．故选：B．分析：根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．13.下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧答案：B解析：解答：A.直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B.长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C.圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D.一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意， 故选：B ．分析：利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；14.有两个圆，⊙1O 的半径等于地球的半径，⊙2O 的半径等于一个篮球的半径，现将两个圆都向外膨胀（相当于作同心圆），使周长都增加1米，则半径伸长的较多的圆是（ ） A ．⊙1O B ．⊙2OC ．两圆的半径伸长是相同的D ．无法确定 答案：C解析：解答：设⊙1O 的半径等于R ，膨胀后的半径等于R ′；⊙2O 的半径等于r ，膨胀后的半径等于r ′，其中R ＞r ．由题意得，2πR ＋1＝2πR ′，2πr ＋1＝2πr ′，解得R ′＝R ＋12π，R ′＝R ＋12π； 所以R ′－R ＝12π，R ′－R ＝12π，所以，两圆的半径伸长是相同的． 故选C ．分析：由L ＝2πR 计算出半径的伸长量，然后比较大小． 15.下列语句中，不正确的个数是（ ）①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：C解析：解答：①根据直径的概念，知直径是特殊的弦，故正确；②根据弧的概念，知半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误；③根据等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧．长度相等的两条弧不一定能够重合，故错误；④如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，故错误．故选C．分析：根据弦、弧、等弧的定义即可求解．二、填空题16.若点M取在多边形的一条边上（不是顶点），再将点M与n边形个顶点连结起来，将此多边形分割成9个三角形，则n边形是_____边形．答案：十解析：解答：多边形一条边上的一点M（不是顶点）出发，连接各个顶点得到9个三角形，则这个多边形的边数为9＋1＝10．故答案为：十．分析：可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解．17.从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为_____边形．答案：九解析：解答：由题意可知，n－2＝7，解得n＝9．则这个多边形的边数为9，多边形为九边形．故答案为：九．分析：从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n－3）条对角线，把n边形分为（n－2）的三角形．18.从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是_____．答案：8解析：解答：设多边形有n条边，则n－2＝6，解得n＝8．故答案为：8．分析：根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n－3）条对角线，把n边形分为（n－2）的三角形作答．19.如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于_____．答案：80°解析：解答：∵OM＝ON，∴∠N＝∠M＝50°，∴∠MON＝180°－∠M－∠N＝80°，故答案为80°．分析：利用等腰三角形的性质可得∠N的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数．20.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A ＝65°，则∠DOE＝_____．答案：50°解析：解答：如图，连接BE．∵BC为⊙O的直径，∴∠CEB＝∠AEB＝90°，∵∠A＝65°，∴∠ABE＝25°，∴∠DOE＝2∠ABE＝50°，（圆周角定理）故答案为：50°．分析：如图，连接BE．由圆周角定理和三角形内角和定理求得∠ABE＝25°，再由“同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”进行答题．三、解答题21.（1）六边形从一个顶点可引出几条对角线？共有几条对角线？答案：3|9解答：（1）六边形从一个顶点可引出对角线：6－3＝3（条），共有对角线：() 66392⨯-=（条）；（2）n边形从一个顶点可以引出几条对角线？共有几条对角线？答案：（n－3）|()32 n n-解答：n边形从一个顶点可以引出（n－3）条对角线，共有()32n n-条对角线．解析：分析：根据n边形从一个顶点可引出（n－3）条对角线，及n边形一共()32n n-条对角线可求解（1）与（2）．22.在凸多边形中，四边形的对角线有两条，五边形的对角线有5条，经过观察、探索、归纳，你认为凸九边形的对角线为多少？简单扼要地写出你的思考过程．答案：27条．解答：27条．通过四边形和五边形的对角线图形可知，过n边形的1个顶点可以作（n－3）条对角线，故过n个顶点可作n（n－3）条对角线，而这些对角线重复一遍，故n边形的对角线为()32n n-条，所以凸九边形的对角线为()993272⨯-=．解析：分析：作出四边形与五边形的对角线，然后观察从一个顶点作出的对角线的条数，从而确定规律并求出n边形的对角线的条数公式，再令n＝9进行计算即可得解．23.画出下面多边形的全部对角线．答案：解答：如图所示：解析：分析：此图为5边形，有()55352⨯-=条对角线，依次画出即可．24.实践探究：有一个周长62.8米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷灌装置进行喷灌，现有射程为20米、15米、10米的三种装置，你认为应选哪种比较合适？安装在什么地方？答案：选射程为10米的喷灌装置，安装在圆形草坪的中心处．解答：设圆形草坪的半径为R，则由题意知，2πR＝62.8，解得：R≈10m．所以选射程为10米的喷灌装置，安装在圆形草坪的中心处．解析：分析：具体应选哪一种装置，取决于圆形草坪的半径，周长为62.8米的圆的半径约是10米．25.（1）经过凸n边形（n＞3）其中一个顶点的对角线有_______条；答案：（n－3）．解答：n边形过每一个顶点的对角线有（n－3）条；故答案为：（n－3）．（2）一个凸边形共有20条对角线，它是几边形；答案：八解答：根据()32n n-＝20，解得：n＝8或n＝－5（舍去），∴它是八边形．（3）是否存在有18条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理．答案：不存在，理由：()3n n-＝18，解得：n=，∵n不为正整数，∴不存在．解析：分析：（1）根据n边形从一个顶点出发可引出（n－3）条对角线即可求解；（2）根据任意凸n边形的对角线有()32n n-条，即可解答；（3）不存在，根据()32n n-＝18，解得：n，n不为正整数所以不存在．。
北师大版七年级数学上册《4.5 多边形和圆的初步认识》同步训练题-带答案
北师大版七年级数学上册《4.5 多边形和圆的初步认识》同步训练题-带答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列说法正确的是（）A．三棱柱有六条棱B．圆锥的侧面展开图是三角形C．两点之间，线段最短D．各边相等的多边形是正多边形2．在长方形、长方体、三角形、球、直线、圆中有（）个平面图形．A．3B．4C．5D．63．用边长为1的正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一座桥，则桥中阴影部分的面积为原正方形面积的（）A．12B．13C．23D．不能确定4．如图是一块电脑主板的示意图，每一转角处都是直角，数据如图所示（单位：mm），则该主板的周长是（）A．88mm B．96mm C．80mm D．84mm5．过七边形的一个顶点共有a条对角线，将这个七边形分成b个三角形，则a，b的值分别为（）A．4，5B．5，4C．3，4D．4，36．小丽用圆规画了一个半径为2cm的圆，小杰用12.56cm的线围成一个圆．下列说法正确的是（）A．两个圆一样大B．小杰围的圆大C ．小丽画的圆大D ．无法确定两个圆的大小7．从六边形的一个顶点出发，可以画出m 条对角线，它们将六边形分成n 个三角形.则m n 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．某正方形园地是由边长为1的四个小正方形组成的，现要在园地上建一个花坛（阴影部分）使花坛面积是园地面积的一半，以下图中设计不合要求的是( )． A ． B ． C ． D ． 9．如图，在边长为1的小正方形网格中小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，①，①，①四个格点多边形的面积分别记为1234,,,,S S S S 下列说法正确的是（ ）A ．12S SB ．23S S =C ．124S S S +=D ．134S S S +=二、填空题14．如图，用正多边形镶嵌地面，则图中α的大小为度．三、解答题15．计算阴影部分的面积．16．已知从一个七边形的某一个顶点出发的所有对角线将这个七边形分成了x个三角形，且的值．这些对角线的条数是y，求x xy17．如图，长方形的长为a，宽为b，在它的内部分别挖去以b为半径的四分之一圆和以b 为直径的半圆．（1）用含a、b的代数式表示阴影部分的面积；（2）当a＝8，b＝4时，求阴影部分的面积（π取3）．参考答案：1．C2．B3．A4．B5．A6．A7．C8．B。
北师大版(2024)七年级上册《4.3_多边形和圆的初步认识》2024年同步练习卷+答案解析
北师大版（2024）七年级上册《4.3多边形和圆的初步认识》2024年同步练习卷一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的图形中，属于多边形的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边数为()A.6B.7C.8D.93.过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是()A.8B.9C.10D.114.下列说法正确的是()A.弧就是一条弯曲的线B.扇形就是一条弧和两条半径组成的图形C.若干个小扇形组成一个圆D.弧是圆周的一部分5.从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为()A.4，3B.3，3C.3，4D.4，46.从多边形一条边上的一点不是顶点出发，连接各个顶点得到2023个三角形，则这个多边形的边数为()A.2021B.2025C.2024D.20267.已知从一个顶点出发有4条对角线的正多边形的周长为42cm，则这个正多边形的边长为()A.6cmB.7cmC.D.8.扇子最早称“翣”，在我国已有两千多年历史.“打开半个月亮，收起兜里可装，来时荷花初放，去时菊花正黄.”这则谜语说的就是扇子.如图，一竹扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC夹角为，AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面面积为A. B. C. D.9.在学习完多边形后，小华同学将一个五边形沿如图所示的直线1剪掉一个角后，得到一个多边形，下列说法正确的是()A.这个多边形是一个五边形B.从这个多边形的顶点A出发，最多可以画4条对角线C.从顶点A出发的所有对角线将这个多边形分成4个三角形D.以上说法都不正确二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
10.如图所示，将一个圆分成4个扇形，已知扇形AOB，AOD，BOD的圆心角的度数之比为2：3：4，OC为的平分线，圆心角的度数为______.11.如图，甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比是1：2：3：4，则扇形“丁”的圆心角度数是______.12.如图所示，若扇形甲、乙的圆心角的度数之比为2：1，则扇形甲圆心角的度数为______；扇形丙圆心角的度数为______.13.已知扇形的面积为圆心角为，则它的半径为______.三、解答题：本题共4小题，共32分。
七年级数学上册第四章基本平面图形4.5多边形和圆的初步认识同步作业【北师大版】
班别
姓名
基础题：
1、一个多边形对角线的条数与它的边数相等，这个多边形的边数（是 ）
A．7
B．6
C．5
D．4
2、一个正方形纸片，截去一角后得到的多边形是（ ）
A．三角形
B．四边形
C．五边形
D．以上都有可能3、判断题①扇形是圆的一部分. （ ）
②圆的一部分是扇形. （ ）
③扇形的周长等于它的弧长. （ ）
个三角形。
个多边形的边数为（ ）
A．2 001
B．2005
C．2004
D ．2006
提高题：
1、已知扇形AOB 的圆心角为270° ,其面积为9cm2.求扇形AOB 所在的圆的面积。
2、过四边形的一个顶点引的所有对角线可分出
个三角形，过五边形的一个顶点引的
所有对角线可分出
个三角形，过n 边形的一个顶点引的所有对角线可分出
④所有边长都相等的多边形叫做正多边形。（ ）
⑤所有角的度数都相等的多边形叫做正多边形。（ ）
4、把图形分割成三角形，至少可以分割成 5 个三角形的多边形是（ ）
A．五边形
B．六边形 C．七边形
D．八边形
5、 已知一个圆，任意 画出它的三条半径，能得到（ ）个扇形.
A．4
B．5
C．6
D．8
6、从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到 2003 个三角形 ，则这
北师大版数学七年级上册 第四章 基本平面图形 4.5 多边形和圆的初步认识 同步练习题 含答案
北师大版数学七年级上册第四章基本平面图形 4.5 多边形和圆的初步认识同步练习题1．下列说法不正确的是( )A．三角形、四边形、五边形、六边形都是多边形B．正多边形的各边都相等C．各边相等的多边形是正多边形D．六个角相等的六边形不一定是正六边形2．如图所示的图形中，属于多边形的有( )A．3个 B．4个 C．5个 D．6个3．关于七边形的下列说法：①七边形有7条边；②七边形有7个内角；③七边形有7个顶点；④七边形有4条对角线．其中，正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．若一个多边形从一个顶点可以引六条对角线，则它是( )A．五边形 B．七边形 C．九边形 D．十边形5．五边形对角线的条数为( )A．5条 B．10条 C．15条 D．3条6．从一个九边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其不相邻的各顶点，可以把这个九边形分割成几个三角形( )A．6 B．5 C．8 D．77．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n 的值是( )A ．6B ．7C ．8D ．98．一个四边形切掉一个角后变成( )A ．三角形B ．四边形或五边形C ．五边形D ．三角形、四边形或五边形9．圆心角为60°所对的弧是整个圆周的( )A.16B.14C.13D.1210. 如图所示，阴影部分扇形的圆心角是( )A ．45°B ．43°C ．50°D ．54°11. 如图所示，在一个圆中任意画3条半径，可以把这个圆分成几个扇形( )A ．3B ．4C ．5D ．612. 如图，△ABC ，△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，若AB ＝4，则图形ABCDEFG 外围的周长是( )A ．12B ．15C ．18D ．2113. 把一个圆分成四个扇形，四个扇形面积分别占圆面积的10%，20%，30%，40%，则这四个扇形的圆心角分别为_____________________________．14. n(n ≥3，且n 为自然数)边形的对角线一共有___________条．15. 如图，甲、乙、丙三个扇形圆心角的度数分别为_______________________．16. 过m边形的一个顶点有8条对角线，n边形没有对角线，p边形有p条对角线，则(m－p)n的值是________．17. 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内作半圆，求图中阴影部分的面积．18. 将如图所示的一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2∶3∶4∶3.(1) 求这四个扇形的圆心角的度数，并画出这四个扇形；(2) 若圆的半径为2 cm，请求出这四个扇形的面积．参考答案：1---12 CACCA DCDAD DB13. 36°，72°，108°，144°14. n （n －3）215. 90°，108°，162°16. 21617. 解：S 阴影＝12π×(a 2)2＝18πa2 18. 解：(1)60°，90°，120°，90° 画图略(2)23π cm 2，π cm 2，43π cm 2，π cm 2。
北师大版初中数学七年级上册《4.5 多边形和圆的初步认识》同步练习卷(含答案解析
北师大新版七年级上学期《4.5 多边形和圆的初步认识》同步练习卷一．选择题（共20小题）1．两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．都有可能2．下列判断错误的是（）A．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线相互垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相互平分的四边形是平行四边形3．对角线互相垂直平分的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形4．一个四边形截去一个内角后变为（）A．三角形B．四边形C．五边形D．以上均有可能5．从五边形的一个顶点作对角线，把这个五边形分成三角形的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个6．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（）A．4，3B．3，3C．3，4D．4，47．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（）A．十三边形B．十二边形C．十一边形D．十边形8．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．119．n边形所有对角线的条数为（）条．A．B．C．D．10．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧11．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（）A．2条B．3条C．4条D．5条12．过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（）A．1条B．2条C．3条D．1条或无数条13．下列语句中，不正确的个数是（）①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．A．1个B．2个C．3个D．4个14．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．1215．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个B．2个C．1个D．4个16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB=AD B．BC=CD C．D．∠BCA=∠DCA 17．如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°18．如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是（）A．B．C．2D．19．如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（∠BAC）为120°，骨柄AB 的长为30cm，扇面的宽度BD的长为20cm，那么这把折扇的扇面面积为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．300πcm2 20．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1D．1﹣二．填空题（共19小题）21．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出个三角形．22．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是．23．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．24．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形是边形．25．从五边形的一个顶点，可引条对角线．26．一个五边形共有条对角线．27．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，则∠A 的度数是．28．已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为cm．29．如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=度．30．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为°．31．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC为直径作⊙O交AB 于点D，则图中阴影部分的面积是．32．已知扇形的圆心角是120°，半径是6，则它的面积是．33．如图，在半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．34．如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为．35．一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm2，则此扇形的半径长为．36．如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．37．如图，将长为8cm的铁丝尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形=cm2．38．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．39．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．三．解答题（共3小题）40．已知正n边形的周长为60，边长为a（1）当n=3时，请直接写出a的值；（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．41．如图，AD、BC是⊙O的两条弦，且AD=BC，求证：AB=CD．42．如图，在Rt△AOB中，∠B=40°，以OA为半径，O为圆心作⊙O，交AB于点C，交OB于点D．求的度数．北师大新版七年级上学期《4.5 多边形和圆的初步认识》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．都有可能【分析】如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形，理由为：利用对角线互相平分的四边形为平行四边形得到ABCD为平行四边形，再利用对角线互相垂直的平行四边形为菱形，再利用对角线相等的菱形为正方形即可得证．【解答】解：如果一个四边形的两条对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形，已知：四边形ABCD，AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AC=BD，求证：四边形ABCD为正方形，证明：∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD为菱形，∵AC=BD，∴四边形ABCD为正方形．故选：C．【点评】此题考查了正方形的判定，以及角平分线定理，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．2．下列判断错误的是（）A．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线相互垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相互平分的四边形是平行四边形【分析】根据平行四边形的判定方法、正方形的判定方法、矩形的判定方法以及菱形的判定方法逐项分析即可．【解答】解：A、对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；B、对角线相互垂直平分的四边形是菱形，正确；C、对角线相等平分的四边形是矩形，错误；D、对角线相互平分的四边形是平行四边形，正确；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定等内容，要求学生对这些基本的图形熟练掌握．3．对角线互相垂直平分的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的对角线的性质进行判断即可．【解答】解：平行四边形对角线不一定互相垂直，A不正确；矩形对角线不一定互相垂直，B不正确；菱形对角线互相垂直平分，C正确；正方形对角线互相垂直平分且相等，D错误．故选：C．【点评】本题考查的是多边形的对角线的性质，掌握不同的四边形的对角线的性质是解题的关键．4．一个四边形截去一个内角后变为（）A．三角形B．四边形C．五边形D．以上均有可能【分析】一个四边形截去一个角是指可以截去两条边，而新增一条边，得到三角形；也可以截去一条边，而新增一条边，得到四边形；也可以直接新增一条边，变为五边形．可动手画一画，具体操作一下．【解答】解：如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形．故选：D．【点评】本题考查了多边形，解决此类问题的关键是动手画一画准确性高，注意不要漏掉情况．5．从五边形的一个顶点作对角线，把这个五边形分成三角形的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】从n边形的一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，共分成了（n﹣2）个三角形．【解答】解：当n=5时，5﹣2=3．即可以把这个六边形分成了3个三角形，故选：C．【点评】本题考查了多边形的对角线，注意n边形中的一些公式：从n边形的一个顶点出发有（n﹣3）条对角线，共分成了（n﹣2）个三角形．6．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（）A．4，3B．3，3C．3，4D．4，4【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．【解答】解：对角线的数量=6﹣3=3条；分成的三角形的数量为n﹣2=4个．故选：C．【点评】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．7．若从一多边形的一个顶点出发，最多可引10条对角线，则它是（）A．十三边形B．十二边形C．十一边形D．十边形【分析】根据多边形的对角线的定义可知，从n边形的一个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，由此可得到答案．【解答】解：设这个多边形是n边形．依题意，得n﹣3=10，∴n=13．故这个多边形是13边形．故选：A．【点评】多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点所有的对角线有（n﹣3）条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形．8．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．11【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣2=8，解得n=10．故这个多边形的边数是10．故选：C．【点评】考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．9．n边形所有对角线的条数为（）条．A．B．C．D．【分析】根据多边形的边数与对角线的条数的关系解答．【解答】解：从n边形的一个顶点引出的所有对角线有（n﹣3）条，n边形有n 个顶点，所以所有对角线有n（n﹣3）条．但每条对角线重复一次，所以n边形所有对角线的条数为．故选：C．【点评】熟记多边形的边数与对角线的条数的关系式是解决此类问题的关键．10．下列说法错误的是（）A．直径是圆中最长的弦B．长度相等的两条弧是等弧C．面积相等的两个圆是等圆D．半径相等的两个半圆是等弧【分析】根据直径的定义对A进行判断；根据等弧的定义对B进行判断；根据等圆的定义对C进行判断；根据半圆和等弧的定义对D进行判断．【解答】解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．11．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（）A．2条B．3条C．4条D．5条【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．【解答】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条，故选：B．【点评】理解弦的定义是解决本题的关键．12．过圆内一点A可以作出圆的最长弦有（）A．1条B．2条C．3条D．1条或无数条【分析】由于直径是圆中最长的弦，过圆心的弦即是直径，根据点A与圆心的位置分两种情况进行讨论：①点A不是圆心；②点A是圆心．【解答】解：分两种情况：①点A不是圆心时，由于两点确定一条直线，所以过点A的最长弦只有1条；②点A是圆心时，由于过一点可以作无数条直线，所以过点A的最长弦有无数条．即过圆内一点A可以作出圆的最长弦有1条或无数条．故选：D．【点评】本题主要考查了弦、直径的概念以及直线的性质公理．掌握直径和弦的关系是解决本题的关键．13．下列语句中，不正确的个数是（）①直径是弦；②弧是半圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据弦、弧、等弧的定义即可求解．【解答】①根据直径的概念，知直径是特殊的弦，故正确；②根据弧的概念，知半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误；③根据等弧的概念：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧．长度相等的两条弧不一定能够重合，故错误；④如果该定点和圆心不重合，根据两点确定一条直线，则只能作一条直径，故错误．故选：C．【点评】理解圆中的一些概念：弦、直径、弧、半圆、等弧．14．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．12【分析】作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，再利用勾股定理，继而求得答案．【解答】解：作直径CF，连结BF，如图，则∠FBC=90°，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴=，∴DE=BF=6，∴BC==8．故选：A．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形中位线的性质以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法．15．下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．A．3个B．2个C．1个D．4个【分析】①和④、没有前提；②、注意不是直径的弦；③、注意对称轴是直线．【解答】解：①和④、错误，应强调在同圆或等圆中；②、错误，应强调不是直径的弦；③、错误，应强调过圆心的直线才是它的对称轴．故选D．【点评】在叙述命题时注意要强调命题成立的条件．16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（）A．AB=AD B．BC=CD C．D．∠BCA=∠DCA 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．17．如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=40°，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：连接CO，如图：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=∠AOC=20°，故选：C．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理；熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．18．如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是（）A．B．C．2D．【分析】如图，连接CE．图中S阴影=S扇形BCE﹣S扇形BOD﹣S△OCE．根据已知条件易求得OB=OC=OD=2，BC=CE=4．∠ECB=60°，OE=2所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可．【解答】解：如图，连接CE．∵AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，∴∠ACB=90°，OB=OC=OD=2，BC=CE=4．又∵OE∥AC，∴∠ACB=∠COE=90°．∴在直角△OEC中，OC=2，CE=4，∴∠CEO=30°，∠ECB=60°，OE=2∴S阴影=S扇形BCE﹣S扇形BOD﹣S△OCE=﹣π×22﹣×2×2=﹣2，故选：A．【点评】本题考查了扇形面积的计算．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．19．如图，扇形折扇完全打开后，如果张开的角度（∠BAC）为120°，骨柄AB 的长为30cm，扇面的宽度BD的长为20cm，那么这把折扇的扇面面积为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．300πcm2【分析】先求出AD的长，再根据S阴影=S扇形BAC﹣S扇形DAE即可得出结论．【解答】解：∵AB=30cm，BD=20cm，∴AD=30﹣21=10（cm），∴S阴影=S扇形BAC﹣S扇形DAE===cm2．故选：C．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．20．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（）A．B．1﹣C．﹣1D．1﹣【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即﹣1=．【解答】解：如图：正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．故选：A．【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．二．填空题（共19小题）21．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出（n﹣1）个三角形．【分析】（1）三角形分割成了两个三角形；（2）四边形分割成了三个三角形；（3）以此类推，n边形分割成了（n﹣1）个三角形．【解答】解：n边形可以分割出（n﹣1）个三角形．【点评】此题注意观察：是连接n边形的其中一边上的点．根据具体数值进行分析找规律．n边形分割成了（n﹣1）个三角形．22．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是5，6，7．【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．【点评】此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．23．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是n2+2n．【分析】第1个图形是2×3﹣3，第2个图形是3×4﹣4，第3个图形是4×5﹣5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2+2n．【解答】解：第一个是1×3，第二个是2×4，第三个是3×5，…第n个是nx（n+2）=n2+2n故答案为：n2+2n．【点评】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去．24．过某个多边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形是八边形．【分析】根据n边形对角线公式，可得答案．【解答】解：设多边形是n边形，由对角线公式，得n﹣2=6．解得n=8，故答案为：八．【点评】本题考查了多边形对角线，n边形过一个顶点的所有对角线公式是（n ﹣2）条．25．从五边形的一个顶点，可引2条对角线．【分析】根据多边形过一个顶点的对角线与边的关系求解．【解答】解：过五边形（n≥3）的一个顶点可以作5﹣3=2条对角线．故答案为：2．【点评】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n﹣3）条对角线．26．一个五边形共有5条对角线．【分析】可根据多边形的对角线与边的关系求解．【解答】解：n边形共有条对角线，∴五边形共有=5条对角线．【点评】熟记多边形的边数与对角线的关系式是解决此类问题的关键．27．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于点B，且AB=OC，则∠A 的度数是28°．【分析】根据等腰三角形的性质，可得∠A与∠AOB的关系，∠BEO与∠EBO的关系，根据三角形外角的性质，可得关于∠A的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由AB=OC，得AB=OB，∠A=∠AOB．由BO=EO，得∠BEO=∠EBO．由∠EBO是△ABO的外角，得∠EBO=∠A+∠AOB=2∠A，∠BEO=∠EBO=2∠A．由∠DOE是△AOE的外角，得∠A+∠AEO=∠EOD，即∠A+2∠A=84°，∠A=28°．故答案为：28°．【点评】本题考查了圆的认识，利用了等腰三角形的性质，利用三角形外角的性质得出关于∠A的方程是解题关键．28．已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为10cm．【分析】根据直径为圆的最长弦求解．【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，∴⊙O的直径为10cm，即圆中最长的弦长为10cm．故答案为10．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．29．如图，⊙O中，已知弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，则∠AOC=144度．【分析】在同圆中等弧对的圆心角相等进行分析即可．【解答】解：∵弧AB=弧BC，且弧AB：弧AmC=3：4，∴弧ABC：弧AmC=6：4，∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4=144°．【点评】本题利用了在同圆中等弧对的圆心角相等，一个周角为360度求解．30．如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD=150°，∠A=65°，∠D=60°，则的度数为40°．【分析】连接OB、OC，如图，利用等腰三角形的性质得∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°，则根据三角形内角和定理得到∠AOB=50°，∠COD=60°，则∠BOC=∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD=40°，于是得到的度数为40°．【解答】解：连接OB、OC，如图，∵OA=OB，OC=OD，∴∠OBA=∠A=65°，∠OCD=∠D=60°，∴∠AOB=180°﹣2×65°=50°，∠COD=180°﹣2×60°=60°，∴∠BOC=∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD=150°﹣50°﹣60°=40°，∴的度数为40°．故答案为40．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．31．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC为直径作⊙O交AB 于点D，则图中阴影部分的面积是﹣π．【分析】连接连接OD、CD，根据S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）计算即可解决问题．【解答】解：如图，连接OD、CD．∵AC是直径，∴∠ADC=90°，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形，∵BC是切线．∴∠ACB=90°，∵BC=2，∴AB=4，AC=6，∴S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）=×6×2﹣×3×3﹣（﹣×32）=﹣π．故答案为：﹣π．【点评】本题考查扇形面积公式、直角三角形30度角性质、等边三角形性质等知识，解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．32．已知扇形的圆心角是120°，半径是6，则它的面积是 12π ．【分析】直接根据扇形的面积公式计算即可．【解答】解：由题意得，n=120°，R=6，故可得扇形的面积S===12π．故答案为：12π．【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式，难度一般．33．如图，在半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ﹣1 ．【分析】假设出扇形半径，再表示出半圆面积，以及扇形面积，进而即可表示出两部分P ，Q 面积相等．连接AB ，OD ，根据两半圆的直径相等可知∠AOD=∠BOD=45°，故可得出绿色部分的面积=S △AOD ，利用阴影部分Q 的面积为：S 扇形AOB ﹣S 半圆﹣S 绿色，故可得出结论．【解答】解：∵扇形OAB 的圆心角为90°，扇形半径为2，∴扇形面积为：=π（cm 2），半圆面积为：×π×12=（cm 2）， ∴S Q +S M =S M +S P =（cm 2），∴S Q =S P ，连接AB ，OD ，∵两半圆的直径相等，∴∠AOD=∠BOD=45°， ∴S 绿色=S △AOD =×2×1=1（cm 2），∴阴影部分Q 的面积为：S 扇形AOB ﹣S 半圆﹣S 绿色=π﹣﹣1=﹣1（cm 2）．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了扇形面积求法，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．34．如图所示，扇形AOB 的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．【分析】过点O 作OD ⊥AB ，先根据等腰三角形的性质得出∠OAD 的度数，由直角三角形的性质得出OD 的长，再根据S 阴影=S 扇形OAB ﹣S △AOB 进行计算即可．【解答】解：过点O 作OD ⊥AB ，∵∠AOB=120°，OA=2，∴∠OAD==30°，∴OD=OA=×2=1，AD===．∴AB=2AD=2，∴S 阴影=S 扇形OAB ﹣S △AOB =﹣×2×1=﹣． 故答案为：﹣．【点评】本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S 阴影=S 扇形OAB ﹣S △AOB 是解答此题的关键．35．一个扇形的圆心角为100°，面积为15π cm 2，则此扇形的半径长为 3cm ． 【分析】根据扇形的面积公式S=即可求得半径．【解答】解：设该扇形的半径为R ，则=15π， 解得R=3．即该扇形的半径为3cm ． 故答案是：3cm ．【点评】本题考查了扇形面积的计算．正确理解公式是关键．36．如图，四个小正方形的边长都是1，若以O 为圆心，OG 为半径作弧分别交AB 、DC 于点E 、F ，则图中阴影部分的面积为 ．【分析】先根据OD=OF 得出∠DOF=60°，同理可得出∠AOE=60°，进而得出∠EOF 的度数，根据扇形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵OD=1，OF=OG=2，∴cos∠DOF==，∴∠DOF=60°．同理，∠AOE=60°，∴∠EOF=180°﹣60°﹣60°=60°，∴图中阴影部分的面积==．故答案为：．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．37．如图，将长为8cm的铁丝尾相接围成半径为2cm的扇形，则S扇形=4cm2．=×弧长×半径，求出面积即可．【分析】根据扇形的面积公式S扇形【解答】解：由题可知，弧长=8﹣2×2=4cm，∴扇形的面积=×4×2=4cm2，故答案为：4．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，主要考核了学生能否正确运用扇形的面积公式进行计算，题目比较好，难度不大．38．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，则图中阴影部分的面积为﹣1（结果保留π）．。
北师大版数学七年级上册4.5多边形和圆的初步认识同步测试(无答案)
北师大版数学七年级上册4.5多边形和圆的初步认识同步测试（无答案)4.5多边形和圆的初步认识一、单选题1．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．82．若多边形的边数由3增加到n时，其外角和的度数A.增加B.减少C.不变D.变为(n-2)180º3．下面图形中，平面图形是（）A. B. C. D.4．若从多边形的某一顶点出发只能画两条对角线，则它是( )A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形5．从一个n边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个n边形分割成三角形个数是（）A．3个B．（n﹣1）个C．5个D．（n﹣2）个6．下列正多边形地砖中，单独选用一种地砖不能铺满地面的是（）A．正三角形地砖B．正方形地砖C．正六边形地砖D．正八边形地砖7．以3cm为半径画圆，这样的圆有（）A.1个B.2个C.3个D.无数个8．下列图中表示六边形的是（）1 / 4A. B. C. D.9．如图4-2，作出正五边形的所有对角线，得到一个五角星，那么，在五角星含有的多边形中（）A.只有三角形B.只有三角形和四边形C.只有三角形、四边形和五边形D.只有三角形、四边形、五边形和六边形10．如图中三个小圆周长之和与大圆周长比较,较长的是( )A．三个小圆周长之和B．大圆周长C．一样长D．不能确定二、填空题11．已知圆的半径为r，用r表示圆的周长_________，面积__________。
12．从一个多边形的某顶点出发，连接其余各顶点，把该多边形分成了4个三角形，则这个多边形是______边形．13．从十边形的一个顶点出发共有_____条对角线．14．如果一个正多边形的内角和等于它外角和的5倍，则这个正多边形的对称轴条数为_____．15．过m边形的一个顶点有8条对角线，n边形没有对角线，则m-n=________．北师大版数学七年级上册4.5多边形和圆的初步认识同步测试（无答案)3 / 416．用三根火柴依次首尾相接，形成一个封闭图形是_____形.17．如图，1∠，2∠，3∠，4∠，5∠是五边形ABCDE 的5个外角，若1234300∠+∠+∠+∠=︒，则5∠=_________。
北师大版七年级数学上学期同步练习：4.5 多边形和圆的初步认识
5多边形和圆的初步认识
1．判断题：
(1)扇形是圆的一部分．()
(2)扇形的周长等于它的弧长．()
(3)所有边都相等的多边形叫做正多边形．()
(4)所有角的度数都相等的多边形是正多边形．()
(5)到圆心的距离小于半径的点一定在圆的内部．() 2．经过同一点，用各种不同的方法把图形分割成三角形，至少可以分割成5个三角形的多边形是() A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
3．已知一个圆，任意画出它的三条半径，能得到()个扇形．( ) A．3 B．4 C．5 D．6
4．连接各个顶点与其余各顶点之间的对角线，回答下列问题：
四边形共有________条对角线，五边形共有________条对角线，六边形共有________条对角线，七边形共有________条对角线，n边形共有________条对角线．
5．已知扇形AOB的圆心角为240°，其面积为8 cm2，则扇形AOB所在的圆的面积是________cm2.
6．如图所示，扇形A的圆心角为150°，扇形B的圆心角为135°，扇形C的圆心角为45°，若圆的面积为单位1，则扇形D的面积是多少？
5 多边形和圆的初步认识
1．(1)√ (2)× (3)× (4)×
(5)√
2．C 3.D
4．2 5 9 14 n （n －3）2
5.12 6．扇形D 的圆心角的度数为：360°－150°－135°－45°＝30°，所以扇形D 的面积为：30360
×1＝112
.。
最新北师大版七年级数学上册《多边形和圆的初步认识》同步精品练习题
4.5 多边形和圆的初步认识1.(8分)如图三角形的对角线有0条,四边形的对角线有2条,五边形的对角线有5条,六边形的对角线有9条.通过分析上面的材料,请你说说十边形的对角线有多少条?你能总结出n边形的对角线有多少条吗?2.(8分)一个圆和一个扇形的半径相等,已知圆的面积是30cm2,扇形的圆心角是36°.求扇形的面积.【拓展延伸】3.(10分)已知扇形的圆心角为120°,面积为300π.求扇形的弧长.答案解析1.【解析】十边形的对角线有错误!未找到引用源。
=5×7=35(条),n 边形的对角线有错误!未找到引用源。
条.2.【解析】设半径为r,则30÷π=r 2,错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=3(cm 2).答:扇形的面积是3cm 2.3.【解析】设扇形的半径为R, 根据题意,得300π=错误!未找到引用源。
,所以R 2=900,因为R>0,所以R=30.所以扇形的弧长=错误!未找到引用源。
=20π.【知识拓展】扇形的弧长公式我们知道圆心角为n °,半径为R 的扇形面积为错误!未找到引用源。
,这个公式是借助扇形面积与圆面积的比而求出的.借助推导这一公式的思想方法,我们可以推导出其所对弧的长度的公式,即: C 弧l =错误!未找到引用源。
,则l 弧=错误!未找到引用源。
×2πR=错误!未找到引用源。
.学习名言：1、学习必须与实干相结合。
——泰戈尔2、学而时习之，不亦说乎？——孔子3、鸟欲高飞先振翅，人求上进先读书。
——李苦禅4、求学的三个条件是：多观察、多吃苦、多研究。
——加菲劳5、知识有如人体血液一样的宝贵。
人缺少了血液，身体就要衰弱，人缺少了知识，头脑就要枯竭。
——高士其6、少年读书，如隙中窥月；中年读书，如庭中望月；老年读书，如台上玩月。
皆以阅历之深浅，为所得之深浅耳。
——张潮。
北师大版七年级数学上册同步课时作业 多边形和圆的初步认识
4.5多边形和圆的初步认识一、单选题1.下列图形为正多边形的是( )A. B. C. D.2.若某多边形从一个顶点一共可引出4条对角线，则这个多边形是( )A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形3.一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是( )A.2πB.4πC.12πD.24π4.下列说法中，正确的有( )①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形；②三角形是边数最少的多边形；③n边形有n条边、n个顶点.A.0个B.1个C.2个D.3个5.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是( )A.8B.9C.10D.116.如图所示，四边形ABCD中残缺CD∠=︒，145∠=︒，则这个四边∠=︒，75∠，经测量得110A形残缺前的C∠的度数为( )A.75°B.60°C.45°D.40°7.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是( )A.6B.7C.8D.98.一个四边形截去一个角后，可以变成( )A.三角形B.四边形C.五边形D.以上都有可能9.若某一个顶点与和它不相邻的其他各顶点连接，可将多边形分成七个三角形，则这个多边形是( )A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形二、填空题10.将一个正六边形纸片对折，使完全重合，则得到的图形是________边形.11.若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是___________.12.已知从十边形的一个顶点出发，可以引m条对角线，这些对角线可以把这个十边形分成n个三+=___________.角形，则m n三、解答题13.观察、探究及应用.（1）观察如图所示的图形并填空.一个四边形有条___________对角线；一个五边形有条___________对角线；一个六边形有条___________对角线；一个七边形有条___________对角线.（2）分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作___________条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作___________条对角线；（3）结论：一个n边形有___________条对角线？（4）应用：一个十二边形有多少条对角线？参考答案1.答案：D解析：正多边形的每个角都相等，每条边也都相等，D选项符合题意，故选D.2.答案：C解析：设这个多边形的边数为n，该多边形从一个顶点出发可引出4条对角线，34n∴-=，解得7n=，即这个多边形是七边形，故选C.3.答案：C解析：2120π612π360S⨯⨯==.故选C.4.答案：C解析：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，所以①不正确；易知②③正确.故选C.5.答案：C解析：设多边形有n条边，则28n-=，解得10n=.故这个多边形的边数是10.故选C.6.答案：D解析：如图所示，145∠=︒，18045135ABC∴∠=︒-︒=︒，3603601107513540C A D ABC ∴∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，故选D.7.答案：C解析：设这个多边形是n 边形.依题意，得35n -=，解得8n =.故这个多边形的边数是8.故选C.8.答案：D解析：如图，一个四边形截去一个角后可以变成三角形或四边形或五边形.故选D.9.答案：D解析：从n 边形的一个顶点出发的对角线把n 边形分成(2)n -个三角形，则将多边形分成七个三角形对应的多边形是九边形.故选D.10.答案：四或五解析：如图1，折痕是对角线所在的直线时，得到的图形是四边形；如图2，折痕是对边中点所在的直线时，得到的图形是五边形.所以得到的图形是四边形或五边形.11.答案：5，6或7解析：如图所示，原来多边形的边数可能是5或6或7.12.答案：15解析：因为从n 边形的一个顶点出发，可以引(3)n -条对角线，把n 边形分成(2)n -个三角形，所以当n 为10时，可以引7条对角线，把十边形分成8个三角形.所以78m n ==，，所以15m n +=.13.答案：（1）2；5；9；14 （2）(3)n-；(3)n n-（3）(3)2n n-（4）当12n=时，12(123)542⨯-=（条），所以一个十二边形有54条对角线.。
七年级数学上册 4.5 多边形和圆的初步认识课时作业 (新版)北师大版
4.5 多边形和圆的初步认识1.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成( )个三角形．A ．6B ．5C ．8D ．72．如图，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为( )A ．21B ．26C ．37D ．423．(1)十边形的一个顶点的对角线把十边形分成________个三角形． (2)正多边形是指________，________的多边形．4．如图所示，∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝12∠AOE，则∠DOE＝________.5．如图，正方形ABCD 的边长为2，E ，F ，G ，H 分别为各边中点，EG ，FH 相交于点O ，以O 为圆心，OE 为半径画圆，则图中阴影部分的面积为________．6．如图所示，从一个多边形内任意取一点，分别连接这一点与各顶点．(1)数一数，每一个多边形各被分成了多少个三角形？(2)总结一下，三角形的个数与多边形的边数有怎样的关系？7．一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为72°，另外两个扇形的圆心角度数的比为3∶5，求这两个扇形的圆心角的度数．8．(1)如图(1)所示是四边形，小明作出它对角线为2条，算法为－2＝2.(2)如图(2)是五边形，小明作出它的对角线有5条，算法为－2＝5.(3)如图(3)是六边形，可以作出它的对角线有________条，算法为________．(4)猜想边数为n的多边形对角线条数的算法及条数．(2012·铜仁)如图，第1个图形中一共有1个平行四边形，第2个图形中一共有5个平行四边形，第3个图形中一共有11个平行四边形，……，则第10个图形中平行四边形的个数是( )A．54 B．110C．19 D．109课后作业1．B 可以分成7－2＝5个三角形． 2．D 周长为(16＋5)×2＝42.3．(1)8 (2)各边相等 各角相等 4.36° 5.π2图中阴影部分可以拼成一个半圆，根据圆的面积公式计算即可．由题意可得：OE ＝1，阴影面积＝12π×12＝π2.6．解：(1)四边形被分成了4个三角形；五边形被分成了5个三角形；六边形被分成了6个三角形；(2)以这种方式分割，n 边形被分成了n 个三角形．7．解：另外两个扇形占整个圆的比例是：1－72360＝45，因为另外两个扇形的圆心角度数的比为3∶5，所以其中一个扇形占整个圆的45×38＝310，另一个扇形占整个圆的45×58＝12.所以360°×310＝108°，360°×12＝180°，所以另外两个圆心角分别为108°，180°.8．(3)9 －2＝9 (4)－2中考链接D 第1个图形中有1个平行四边形；第2个图形中有1＋4＝5个平行四边形；第3个图形中有1＋4＋6＝11个平行四边形；第4个图形中有1＋4＋6＋8＝19个平行四边形；…；第n 个图形中有1＋2(2＋3＋4＋…＋n)个平行四边形；则第10个图形中有1＋2(2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10)＝109个平行四边形．故选D .。
北师大版七年级上册数中考题同步试卷：4-5-多边形和圆的初步认识(03)
北师大新版七年级（上）中考题同步试卷：4.5 多边形和圆的初步认识（03）一、选择题（共13小题）1．如图所示是某公园为迎接“中国﹣﹣南亚博览会”设置的一休闲区．∠AOB＝90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）A．（10π）米2B．（）米2C．（6π）米2D．（6）米22．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC＝60°，AC＝1，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．π3．如图在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，分别以A、B为圆心，以的长为半径作圆，将直角△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（）A．B．C．D．4．如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．π﹣D．π﹣5．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB＝90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2，则S阴影＝（）A．πB．2πC．D．π7．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．8．如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．（﹣1）cm2B．（+1）cm2C．1cm2D．cm29．在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA＝6cm，则扇形OAB的面积是（）A．6πcm2B．8πcm2C．12πcm2D．24πcm210．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（）A．B．C．D．11．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．B．C．D．πr212．如图，扇形AOB中，半径OA＝2，∠AOB＝120°，C是的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分面积是（）A．﹣2B．﹣2C．﹣D．﹣13．如图，是某公园的一角，∠AOB＝90°，的半径OA长是6米，点C是OA的中点，点D在上，CD∥OB，则图中草坪区（阴影部分）的面积是（）A．（3π+）平方米B．（π+）平方米C．（3π+9）平方米D．（π﹣9）平方米二、填空题（共15小题）14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）15．如图，一个圆心角为90°的扇形，半径OA＝2，那么图中阴影部分的面积为（结果保留π）．16．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是．17．已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是cm，扇形的面积是cm2（结果保留π）．18．已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为（结果保留π）．19．如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为．20．如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为1cm，则中间阴影部分的面积为cm2．21．如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C 三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是．22．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（结果保留π）23．如图，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以BC为直径作半圆，圆心为O．以点C为圆心，BC 为半径作弧AB，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是．24．如图，扇形OAB中，∠AOB＝60°，扇形半径为4，点C在上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为．25．如图，正方形ABCD的边长为2，四条弧分别以相应顶点为圆心，正方形ABCD的边长为半径．求阴影部分的面积．26．如图1，折线段AOB将面积为S的⊙O分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为S1、S2，若＝0.618，则称分成的小扇形为“黄金扇形”．生活中的折扇（如图2）大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为°．（精确到0.1）27．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，分别以点B和C为圆心的两个等圆外切，则图中阴影部分面积为（结果保留π）28．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，则图中阴影部分的面积是．三、解答题（共2小题）29．如图，在矩形ABCD中，AB＝2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA＝2．（1）求线段EC的长；（2）求图中阴影部分的面积．30．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠ACD＝120°．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．北师大新版七年级（上）中考题同步试卷：4.5 多边形和圆的初步认识（03）参考答案一、选择题（共13小题）1．C；2．A；3．A；4．A；5．C；6．D；7．D；8．A；9．C；10．B；11．C；12．A；13．A；二、填空题（共15小题）14．10﹣π；15．π﹣2；16．6π；17．5π；15π；18．；19．+2（cm2）；20．4﹣π；21．﹣；22．3π；23．﹣2；24．2π﹣4；25．16﹣4﹣；26．137.5；27．π；28．π﹣2；三、解答题（共2小题）29．；30．；。
最新北师大版数学七年级上册4.5《多边形和圆的初步认识》课堂同步练习题[精品试卷].doc
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4.5多边形和圆的初步认识1.从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成( )个三角形．A．6 B．5C．8 D．72．如图，多边形的相邻两边均互相垂直，则这个多边形的周长为( )A．21 B．26C．37 D．423．(1)十边形的一个顶点的对角线把十边形分成________个三角形．(2)正多边形是指________，________的多边形．4．如图所示，∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝12∠AOE，则∠DOE＝________.5．如图，正方形ABCD的边长为2，E，F，G，H分别为各边中点，EG，FH相交于点O，以O为圆心，OE为半径画圆，则图中阴影部分的面积为________．6．如图所示，从一个多边形内任意取一点，分别连接这一点与各顶点．(1)数一数，每一个多边形各被分成了多少个三角形？(2)总结一下，三角形的个数与多边形的边数有怎样的关系？7．一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的圆心角为72°，另外两个扇形的圆心角度数的比为3∶5，求这两个扇形的圆心角的度数．8．(1)如图(1)所示是四边形，小明作出它对角线为2条，算法为44－32＝2.(2)如图(2)是五边形，小明作出它的对角线有5条，算法为55－32＝5.(3)如图(3)是六边形，可以作出它的对角线有________条，算法为________．(4)猜想边数为n的多边形对角线条数的算法及条数．(2012·铜仁)如图，第1个图形中一共有1个平行四边形，第2个图形中一共有5个平行四边形，第3个图形中一共有11个平行四边形，……，则第10个图形中平行四边形的个数是( )A．54 B．110C．19 D．109课后作业1．B 可以分成7－2＝5个三角形．2．D 周长为(16＋5)×2＝42. 3．(1)8 (2)各边相等各角相等 4.36°5.π2图中阴影部分可以拼成一个半圆，根据圆的面积公式计算即可．由题意可得：OE＝1，阴影面积＝12π×12＝π2.6．解：(1)四边形被分成了4个三角形；五边形被分成了5个三角形；六边形被分成了6个三角形；(2)以这种方式分割，n边形被分成了n个三角形．7．解：另外两个扇形占整个圆的比例是：1－72360＝45，因为另外两个扇形的圆心角度数的比为3∶5，所以其中一个扇形占整个圆的45×38＝310，另一个扇形占整个圆的45×58＝12.所以360°×310＝108°，360°×12＝180°，所以另外两个圆心角分别为108°，180°.8．(3)9 66－32＝9 (4)n n －32中考链接 D 第1个图形中有1个平行四边形；第2个图形中有1＋4＝5个平行四边形；第3个图形中有1＋4＋6＝11个平行四边形；第4个图形中有1＋4＋6＋8＝19个平行四边形；…；第n 个图形中有1＋2(2＋3＋4＋…＋n)个平行四边形；则第10个图形中有1＋2(2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10)＝109个平行四边形．故选D.。
北师大版初中数学七年级上册《4.5 多边形和圆的初步认识》同步练习卷
北师大新版七年级上学期《4.5 多边形和圆的初步认识》同步练习卷一．填空题（共3小题）1．把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是．2．如图，将一块实心三角板和实心半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一直角边与量角器的零刻度线所在直线重合，斜边与半圆相切，重叠部分的量角器弧对应的圆心角（∠AOB）为120°，BC的长为2，则三角板和量角器重叠部分的面积为．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝4，则阴影部分图形的面积为．二．解答题（共32小题）4．提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当AP＝AD时（如图②）：∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝S△ABD．∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝S△CDA．∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）＝S△DBC+S△ABC．（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：；（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：．5．附加题：如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B1是A1对边A3A4的中点，连接A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．6．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD＝CE．（1）求证：＝；（2）若∠AOB＝120°，CD＝2，求半径OA的长．7．如图，⊙O的直径EF为10cm，弦AB、CD分别为6cm、8cm，且AB∥EF∥CD．求图中阴影部分面积之和．8．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，P A，PB 组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，P A．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．9．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB＝2DE，∠C＝40°，求∠E及∠AOC的度数．10．用三种方法证明：如图，已知在⊙O中，半径OA⊥OB，C是OB延长线上一点，AC 交⊙O于D，求证：弧AD的度数是∠C的2倍．11．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：（1）观察探究请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①；②；（2）实际应用数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？（3）类比归纳乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．12．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．13．一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．（1）写出表示第四条边长的式子；（2）当a＝7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC 于点E．（1）若∠A＝25°，求的度数．（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．15．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝25，AC＝7．（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求P A的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求P A的长．16．如图，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．17．如图所示，在一个半径为R的均匀圆形薄金属片上挖去一个半径为的小圆孔，且圆孔跟圆板的边缘相切，求剩余部分的重心位置．18．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若的度数70°，且AD∥OC，求的度数．19．如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧是圆周长的，其中圆的半径为4cm，求：（1）求AB的长．（2）求阴影部分的面积．20．如图，在⊙O中半径OA⊥OB，C，D是的两个三等分点，弦AB分别交OC，OD于E，F点．求证：AE＝BF＝CD．（提示：连接AC，BD，先证：AC＝CD＝BD）21．已知正n边形共有n条对角线，它的周长等于p，所有对角线长的和等于q，求的值．22．用两个一样大小的含30°角的三角板可以拼成多少个形状不同的四边形？请画图说明．23．已知：A是半径为1的⊙O外一点，OA＝2，AB是⊙O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分面积．24．如图，AB、CD是⊙O的弦，∠A＝∠C．求证：AB＝CD．25．如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，∠B＝45°，，AD⊥BC，垂足为D，以A为圆心，AD为半径画弧EF，求图中阴影部分的面积．26．已知正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的阴影部分（如图）的面积为．27．如图，在⊙O中弦AB⊥CD于点E，过E作AC的垂线交BD于点Q，P为垂足，求证Q为BD的中点．28．如图，已知△ABD与△BCD都是边长为3厘米的等边三角形，以A为圆心，AB长为半径画弧BD；以B为圆心，BC长为半径画弧CD，求阴影部分图形的周长．29．如图，有甲、乙两个圆，它们的半径之比为3：8，每个圆又都被分割成黑、白两个扇形，其中甲圆被分成的黑、白两个扇形的面积之比为1：2，乙圆被分成的黑、白两个扇形的面积之比为1：3，那么图中两个黑色扇形的面积之和与两个白色扇形的面积之和的比是．（直接写出答案）30．如图，已知一把展开的扇子的圆心角是150°，扇子的骨架AO的长是40厘米，扇面宽AB的长是30厘米，求扇面的面积．（结果保留π）31．如图所示，AB，CD是⊙O的两条直径，弦BE＝BD，则与是否相等？为什么？32．如图，矩形ABCD内接于⊙O，且AB＝，BC＝1，求图中阴影部分所表示的扇形OAD 的面积．33．如图，在⊙O中，＝，∠1＝45°，求∠2的度数．34．（1）四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？六边形有几条对角线？…猜想并探索：n边形有几条对角线？（2）一个n边形的边数增加1，对角线增加多少条？35．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，，以A点为圆心，AC长为半径作，求∠B与围成的阴影部分的面积．北师大新版七年级上学期《4.5 多边形和圆的初步认识》2019年同步练习卷参考答案与试题解析一．填空题（共3小题）1．把一个圆心为O，半径为r的小圆面积增加一倍，两倍，三倍，分别得到如图所示的四个圆（包括原来的小圆），则这四个圆的周长之比（按从小到大顺序排列）是1：：：2．【分析】设最小的圆的面积是a，则其它三个圆的面积分别是2a，3a，4a．由题意得四个圆是相似形，根据面积比可求得其相似比，根据周长比等于相似比即可得到答案．【解答】解：设最小的圆的面积是a，则其它三个圆的面积分别是2a，3a，4a，所有的圆都是相似形，面积的比等于半径的比的平方，因而半径的比是1：：：2，周长的比等于相似比，即半径的比，是1：：：2．故答案为：1：：：2．【点评】本题主要考查了圆相似形时，面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比．2．如图，将一块实心三角板和实心半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一直角边与量角器的零刻度线所在直线重合，斜边与半圆相切，重叠部分的量角器弧对应的圆心角（∠AOB）为120°，BC的长为2，则三角板和量角器重叠部分的面积为+2．【分析】根据题意和锐角三角函数求出OB、OC的长，根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即可．【解答】解：∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝60°∵∠OCB＝90°，BC＝2，∴OC＝＝2，OB＝4，∴重叠部分的面积＝+×2×2＝+2，故答案为：+2．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S＝是解题的关键．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝4，则阴影部分图形的面积为．【分析】根据垂径定理求得CE＝ED＝2，然后由圆周角定理知∠COE＝60°，然后通过解直角三角形求得线段OC、OE的长度，最后将相关线段的长度代入S阴影＝S扇形OCB﹣S+S△BED．△COE【解答】解：如图，假设线段CD、AB交于点E，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝ED＝2，又∵∠CDB＝30°，∴∠COE＝2∠CDB＝60°，∠OCE＝30°，∴OE＝CE•cot60°＝2×＝2，OC＝2OE＝4，∴S阴影＝S扇形OCB﹣S△COE+S△BED＝﹣OE×EC+BE•ED＝﹣2+2＝．故答案为：．【点评】考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．二．解答题（共32小题）4．提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：（1）当AP＝AD时（如图②）：∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝S△ABD．∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝S△CDA．∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）＝S△DBC+S△ABC．（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：S△PBC＝S△DBC+S；△ABC（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：S△PBC＝S△DBC+S△ABC．．【分析】（2）仿照（1）的方法，只需把换为；（3）注意由（1）（2）得到一定的规律；（4）综合（1）（2）（3）得到面积和线段比值之间的一般关系；（5）利用（4），得到更普遍的规律．【解答】解：（2）∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝S△ABD．又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝S△CDA．∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）＝S△DBC+S△ABC．∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC（3）S△PBC＝S△DBC+S△ABC；（4）S△PBC＝S△DBC+S△ABC；∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP＝S△ABD．又∵PD＝AD﹣AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP＝S△CDA∴S△PBC＝S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP＝S四边形ABCD﹣S△ABD﹣S△CDA＝S四边形ABCD﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）＝S△DBC+S△ABC．∴S△PBC＝S△DBC+S△ABC问题解决：S△PBC＝S△DBC+S△ABC．【点评】注意总结相应规律，类似问题通常采用类比的方法求解．5．附加题：如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B1是A1对边A3A4的中点，连接A1B1，我们称A1B1是这个五边形的一条中对线．如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分．求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行．【分析】可以再做五边形的一条中对线，根据它们分割成的两部分的面积相等，都是五边形的面积的一半，导出两个等底的三角形的面积相等，从而得到它们的高相等，则得到五边形的每条边都有一条对角线和它平行．【解答】证明：取A1A5中点B3，连接A3B3、A1A3、A1A4、A3A5，∵A3B1＝B1A4，∴S△A1A3B1＝S△A1B1A4，又∵四边形A1A2A3B1与四边形A1B1A4A5的面积相等，∴S△A1A2A3＝S△A1A4A5，同理S△A1A2A3＝S△A3A4A5，∴S△A1A4A5＝S△A3A4A5，∴△A3A4A5与△A1A4A5边A4A5上的高相等，∴A1A3∥A4A5，同理可证A1A2∥A3A5，A2A3∥A1A4，A3A4∥A2A5，A5A1∥A2A4．【点评】此题要能够根据面积相等得到两条直线间的距离相等，从而证明两条直线平行．6．如图，在⊙O中，D、E分别是半径OA、OB的中点，C是⊙O上一点，CD＝CE．（1）求证：＝；（2）若∠AOB＝120°，CD＝2，求半径OA的长．【分析】（1）连接OC，由SSS证明△OCD≌△OCE，得出对应角相等∠COD＝∠COE，由圆心角，弧，弦的关系即可得出结论；（2）连接AC，证明△AOC是等边三角形，得出CD⊥OA，由三角函数求出OC，即可得出OA．【解答】解：（1）证明：连接OC，如图1所示：∵D、E分别是半径OA、OB的中点，OA＝OB，∴OD＝OE，在△OCD和△OCE中，，∴△OCD≌△OCE（SSS），∴∠COD＝∠COE，∴＝；（2）连接AC，如图2所示：∵∠AOB＝120°，∴∠COD＝∠COE＝60°，∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∵D是OA的中点，∴CD⊥OA，∴OC＝＝＝4，∴OA＝4．【点评】本题考查的是圆心角，弧，弦的关系、全等三角形的判定与性质、三角函数；证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．7．如图，⊙O的直径EF为10cm，弦AB、CD分别为6cm、8cm，且AB∥EF∥CD．求图中阴影部分面积之和．【分析】本题易得出△ABO与△ABE的面积相等，△OCD与△CDF的面积相等（这两组三角形都是同底等高），因此阴影部分的面积为扇形OAB的面积和扇形OCD的面积和．直接求两个扇形的面积由难度，因此可找出它们之间的关系再进行求解．过O作圆的直径MN，使得MN⊥EF与O，交AB于G；那么在Rt△BOG和Rt△COH中，易证得∠GBO ＝∠COH（通过两角的正弦值求证）．因此可得出∠BOF＝∠CON，即扇形OBF的面积与扇形OCN的面积相等，也就得出了扇形OBF与扇形OAE的面积和正好等于扇形OCD 的面积；因此阴影部分的面积和正好是半个圆的面积，由此可得出所求的解．【解答】解：如图，作直径MN，使MN⊥EF于O，交AB于G，交CD于H；连接OA、OB、OC、OD；在Rt△OBG中，BG＝3cm，OB＝5cm，因此OG＝4cm；同理：在Rt△OCH中，CH＝4cm，OC＝5cm，因此OH＝3cm；sin∠DOF＝＝，sin∠BOF＝＝，sin∠COE＝＝，sin∠AOE＝＝，即∠DOF＝∠AOM＝∠COE＝∠BOM，∠CON＝∠DON＝∠AOE＝∠BOF，因此S扇形OAE＝S扇形OBF＝S扇形CON＝S扇形ODN∴S阴影＝S△ABE+S弓形AMB+S△CDF+S弓形CND＝S△OAB+S弓形AMB+S△OCD+S弓形CND＝S扇形OAB+S扇形OCN+S扇形ODN＝S扇形OAB+S扇形OAE+S扇形OBF＝S⊙O＝12.5πcm2．故图中阴影部分面积之和为12.5πcm2．【点评】本题考查扇形面积的计算，学生的观察能力及计算能力．本题中找出两个阴影部分面积之间的联系是解题的关系．8．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论；（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，P A，PB 组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；（3）如图3，P A．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥P A于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．【分析】（1）连接AD，BD，易证△ADB为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性质，可以证得AE＝BE．（2）根据圆内接四边形的性质，先∠CDA＝∠CDF，再证△AFD为等腰三角形，进一步证得PB＝PF，从而证得结论．（3）根据∠ADE＝∠FDE，从而证明△DAE≌△DFE，得出AE＝EF，然后判断出PB＝PF，进而求得AE＝PE﹣PB．【解答】证明：（1）如图1，连接AD，BD，∵C是劣弧AB的中点，∴∠CDA＝∠CDB，∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠DEB＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∠B+∠CDB＝90°，∴∠A＝∠B，∴△ADB为等腰三角形，∵CD⊥AB，∴AE＝BE；（2）如图2，延长DB、AP相交于点F，再连接AD，∵ADBP是圆内接四边形，∴∠PBF＝∠P AD，∵C是劣弧AB的中点，∴∠CDA＝∠CDF，∵CD⊥P A，∴△AFD为等腰三角形，∴∠F＝∠A，AE＝EF，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF，∴AE＝PE+PB（3）AE＝PE﹣PB．连接AD，BD，AB，DB、AP相交于点F，∵弧AC＝弧BC，∴∠ADC＝∠BDC，∵CD⊥AP，∴∠DEA＝∠DEF，∠ADE＝∠FDE，∵DE＝DE，∴△DAE≌△DFE，∴AD＝DF，AE＝EF，∴∠DAF＝∠DF A，∴∠DF A＝∠PFB，∠PBD＝∠DAP，∴∠PFB＝∠PBF，∴PF＝PB，∴AE＝PE﹣PB．【点评】此题主要考查了垂径定理及其推论，垂径定理﹣在5个条件中，1．平分弦所对的一条弧；2．平分弦所对的另一条弧；3．平分弦；4．垂直于弦；5．经过圆心（或者说直径）．只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个．9．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB＝2DE，∠C＝40°，求∠E及∠AOC的度数．【分析】连接OD，根据等边对等角可得∠ODC＝∠C＝40°，再根据AB＝2DE，OD＝AB 可得OD＝DE，再根据三角形外角的性质可得∠E的度数，进而可得∠AOC的度数．【解答】解：连接OD，∵OC＝OD，∠C＝40°，∴∠ODC＝∠C＝40°，∵AB＝2DE，OD＝AB，∴OD＝DE，∵∠ODC是△DOE的外角，∴∠E＝∠EOD＝∠ODC＝20°，∵∠AOC是△COE的外角，∴∠AOC＝∠C+∠E＝40°+20°＝60°．【点评】此题主要考查了圆的认识，以及三角形内角与外角的关系，关键是掌握同圆中的半径是相等的．10．用三种方法证明：如图，已知在⊙O中，半径OA⊥OB，C是OB延长线上一点，AC 交⊙O于D，求证：弧AD的度数是∠C的2倍．【分析】求证：弧AD的度数是∠C的2倍，就是求证∠AOD＝2∠C即可．【解答】证明：证法一：延长AO交圆与点M，连接DM，∵AM是圆的直径，∵∠ADM＝90°则△OAC与△ADM都是直角三角形，且∠A是公共角，∴∠M＝∠C，而∠AOD＝2∠M．∴∠AOD＝2∠C．∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数，∴弧AD的度数是∠C的2倍．证法二：连接OD，在直角△AOC中，∠C＝90°﹣∠A，在△OAD中，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO．∴∠AOD＝180﹣2∠A．∴∠AOD＝2∠C．∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数，∴弧AD的度数是∠C的2倍．证法三：延长AO交圆于点N，连接CN，交圆于点M，连接OM、OD，∵AN⊥OC，OA＝ON，∴AC＝CN．∴∠A＝∠N∠ACN＝2∠ACO．∴∠ACN＝180﹣∠A﹣∠N＝180﹣2∠A．∵△OAD中OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝∠N．∴∠AOD＝∠ACN＝2∠ACO．又∵∠AOD的度数就等于弧AD的度数，弧AD的度数是∠ACO的2倍．【点评】本题把弧的度数转化为角的度数，是解题的关键．11．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：②n（n﹣3）（1）观察探究请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中①n﹣3；②n（n﹣3）；（2）实际应用数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？（3）类比归纳乐乐认为（1）、（2）之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．【分析】（1）依据图形以及表格中的变换规律，即可得到结论；（2）依据数学社团有18名同学，即可得到数学社团的同学们一共将拨打电话数量；（3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点，进而得到每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n﹣3）个电话，据此进行判断．【解答】解：（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n﹣3，多边形对角线的总条数为n（n﹣3）；故答案为：n﹣3，n（n﹣3）；（2）∵3×6＝18，∴数学社团的同学们一共将拨打电话为×18×（18﹣3）＝135（个）；（3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n﹣3）个电话；两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为n（n﹣3）；数学社团有18名同学，当n＝18时，×18×（18﹣3）＝135．【点评】本题主要考查了多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n ﹣3）（n≥3，且n为整数）．12．已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，其周长为56，且各边长是连续的自然数，求这个多边形的各边长．【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线，可求多边形的边数，再根据多边形的周长的定义可求这个多边形的各边长．【解答】解：依题意有n﹣3＝4，解得n＝7，设最短边为x，则7x+1+2+3+4+5+6＝56，解得x＝5．故这个多边形的各边长是5，6，7，8，9，10，11．【点评】考查了多边形的对角线，熟悉从多边形的一个顶点出发的对角线条数公式是解题关键．13．一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是acm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和．（1）写出表示第四条边长的式子；（2）当a＝7cm还能得到四边形吗？为什么？此时的图形是什么形状？【分析】（1）根据题意分别运用代数式表示其它各边，再根据周长进行计算；（2）注意根据（1）中的式子代入进行计算分析．【解答】解：（1）根据题意得：第二条边是3a﹣5，第三条边是a+3a﹣5＝4a﹣5，则第四条边是46﹣a﹣（3a﹣5）﹣（4a﹣5）＝56﹣8a．答：第四条边长的式子是56﹣8a．（2）当a＝7cm时不是四边形，因为此时第四边56﹣8a＝0，只剩下三条边，三边长为：a＝7cm，3a﹣5＝16cm，4a﹣5＝23，由于7+16＝23，所以，图形是线段．答：当a＝7cm不能得到四边形，此时的图形是线段．【点评】首先根据第一条边长表示出第二条边，然后表示出第三条边，最后根据周长表示出第四条边．其中要注意合并同类项法则．（2）中，只需根据（1）中所求的代数式，把字母的值代入计算，然后进行分析图形的形状．14．如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC 于点E．（1）若∠A＝25°，求的度数．（2）若BC＝9，AC＝12，求BD的长．【分析】（1）连接CD，如图，先利用互余计算出∠B＝90°﹣∠A＝65°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BCD的度数，从而得到的度数；（2）作CH⊥BD，如图，根据垂径定理得到BH＝DH，再利用勾股定理计算出AB＝15，接着利用面积法计算出CH＝，然后利用勾股定理计算出BH，从而得到BD的长．【解答】解：（1）连接CD，如图，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，∵CB＝CD，∴∠CDB＝∠B＝65°，∴∠BCD＝180°﹣2∠B＝50°，∴的度数为50°；（2）作CH⊥BD，如图，则BH＝DH，在Rt△ACB中，AB＝＝15，∵CH•AB＝BC•AC，∴CH＝＝，在Rt△BCH中，BH＝＝，∴BD＝2BH＝．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．15．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB＝25，AC＝7．（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求P A的长；（2）如图（2），若点P是弧BC的中点，求P A的长．【分析】（1）根据圆周角的定理，∠APB＝90°，p是弧AB的中点，所以三角形APB是等腰三角形，利用特殊角的三角函数即可求得；（2）根据垂径定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，从而得出△ACB∽△0NP，根据对应边成比例求得ON、AN的长，利用勾股定理求得NP的长，进而求得P A．【解答】解：（1）如图（1）所示，连接PB，∵AB是⊙O的直径且P是的中点，∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∠APB＝90°，又∵在等腰三角形△APB中有AB＝25，∴P A＝＝；（2）如图（2）所示：连接BC．OP相交于M点，作PN⊥AB于点N，∵P点为弧BC的中点，∴OP⊥BC，∠OMB＝90°，又因为AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB＝∠POB，又因为∠ACB＝∠ONP＝90°，∴△ACB∽△ONP∴＝，又∵AB＝25，AC＝7，OP＝，代入得ON＝，∴AN＝OA+ON＝16，∴在Rt△OPN中，有NP2＝OP2﹣ON2＝144在Rt△ANP中有P A＝＝20∴P A＝20．【点评】本题考查了圆周角的定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线是本题的关键．16．如图，半圆的直径AB＝40，C，D是半圆的三等分点，求弦AC，AD与围成的阴影部分的面积．【分析】连接OC、OD，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD 的面积，然后计算扇形面积就可．【解答】解：连接OC、OD、CD．∵△COD和△CDA等底等高，∴S△COD＝S△ACD．∵点C，D为半圆的三等分点，∴∠COD＝180°÷3＝60°，∴阴影部分的面积＝S扇形COD＝＝π．【点评】此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD 的面积是解题关键．17．如图所示，在一个半径为R的均匀圆形薄金属片上挖去一个半径为的小圆孔，且圆孔跟圆板的边缘相切，求剩余部分的重心位置．【分析】采用挖填转换法：设金属片厚为h，密度为ρ．（1）、假设剩余部分的重心还在O点不变，则必须在大圆上的对称位置再挖去一个与原来等大的小圆孔，则剩下部分的重力为G′＝πR2hρg﹣2π•（）2hρg＝πR2hρg（2）、由于左边挖去了一个半径为的小圆孔，必须在它的对应位置（左边）填上一个半径为的小圆孔，则它的重力为G2＝πR2hρg，重心在O2上，OO2＝，设挖孔后的圆片的重心在O′点，经过上面的这一“挖”一“填”，再将1和2综合在一起，就等效于以O′为支点的杠杆，由杠杆的平衡条件知，G2•O2O＝G•OO′，求得OO′的值即可．【解答】解：（采用挖填转换法）①假设剩余部分的重心还在O点不变，则必须在大圆上的对称位置再挖去一个与原来等大的小圆孔．则剩下部分的重力为G′＝πR2hρg﹣2π•（）2hρg＝πR2hρg如答图甲（设金属片厚为h，密度为p）．②由于左边挖去了一个半径为的小圆孔，必须在它的对应位置（左边）填上一个半径为的小圆孔，则它的重力为G2＝π•（）2hρg＝πR2hρg，重心在O2上，且OO2＝，如图乙，设挖孔后的圆片的重心在O′点，经过上面的这一“挖”一“填”，再将①和②综合在一起，就等效于以O′为支点的杠杆．如图丙，由杠杆的平衡条件得G2•O2O′＝G′•OO′，即πR2hρg•（﹣OO′）＝πR2hρg •OO′，解得OO′＝．【点评】本题利用了采用挖填转换法，涉及到物理中的密度知识，杠杆平衡条件的知识，是一道跨学科的题．18．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且点C、D在AB的异侧，连结AD、OD、OC．若的度数70°，且AD∥OC，求的度数．【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠AOC＝70°，则利用平行线的性质得∠A＝∠AOC＝70°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOD＝40°，从而得到的度数．【解答】解：∵的度数70°，∴∠AOC＝70°，∵AD∥OC，∴∠A＝∠AOC＝70°，∵OA＝OC，∴∠D＝∠A＝70°，∴∠AOD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴的度数为40°．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．19．如图，在⊙O中，弦AB所对的劣弧是圆周长的，其中圆的半径为4cm，求：（1）求AB的长．（2）求阴影部分的面积．【分析】（1）要求AB的长，只要作OC⊥AB于点C，然后根据勾股定理即可解答本题；（2）由图可知，阴影部分的面积是扇形的面积与三角形的面积之差．【解答】解：（1）作OC⊥AB于点C，如右图所示，∵在⊙O中，弦AB所对的劣弧是圆周长的，其中圆的半径为4cm，∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°，∠OAC＝30°，∴OC＝2cm，∴AC＝2cm，∴AB＝4cm；（2）∵OC＝2cm，AB＝4cm，∠AOB＝120°，OA＝4cm，∴阴影部分的面积是：＝（）cm2．【点评】本题考查扇形面积的计算、勾股定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．20．如图，在⊙O中半径OA⊥OB，C，D是的两个三等分点，弦AB分别交OC，OD于E，F点．求证：AE＝BF＝CD．（提示：连接AC，BD，先证：AC＝CD＝BD）【分析】由于C、D是弧AB的三等分点，易得∠AOC＝∠DOB，又OA＝OB＝OC，易证得△AOC≌△OCD，可得∠ACO＝∠OCD，易知∠AEC＝∠OCD，因此∠ACO＝∠AEC，即AE＝BF＝CD．【解答】解：连接AC、BD，∵C，D是的三等分点，∴AC＝CD＝BD，∠AOC＝∠COD，OA＝OC＝OD，在△ACO与△DCO中，∵∴△ACO≌△DCO（SAS），∴∠ACO＝∠OCD．∵∠OEF＝∠OAE+∠AOE＝45°+30°＝75°，∠OCD＝＝75°，∴∠OEF＝∠OCD，∴CD∥AB，∴∠AEC＝∠OCD，∴∠ACO＝∠AEC，∴AC＝AE，同理，BF＝BD．又∵AC＝CD＝BD，∴AE＝BF＝CD．【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．21．已知正n边形共有n条对角线，它的周长等于p，所有对角线长的和等于q，求的值．【分析】n边形的对角线有n•（n﹣3）条，根据正n边形共有n条对角线，列方程即可求得多边形的边数为5．再作正五边形ABCDE，连接AD，根据正五边形的特点求出△ABC ≌△AED，△ACD为等腰三角形，作∠ACD的平分线，交AD于F；根据△ACD与△CDF 各角的度数可求出△FCD∽△CAD，根据其对应边成比例即可解答．【解答】解：设这个多边形的边数是n．。
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《4.5 多边形和圆的初步认识》同步作业3
一、选择题
1．平面上有四点，经过其中的两点画直线最多可画出( )．
A．三条B．四条C．五条D．六条
2．在实际生产和生活中，下列四个现象：①用两个钉子把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设天线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有( )．
A．①②B．①③C．②④D．③④
3．平面上有三点A，B，C，如果AB＝8，AC＝5，BC＝3，那么( )．
A．点C在线段AB上B．点C在线段AB的延长线上C．点C在直线AB外D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外
4．下列各角中，是钝角的是( )．
A.1
4周角 B.2
3
周角 C. 2
3
平角 D.
1
4
平角
5．如图，O为直线AB上一点，∠COB＝26°30′，则∠1＝( )．
A．153°30′B．163°30′C．173°30′D．183°30′
6．在下列说法中，正确的个数是( )．
①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是平角；
②钟表上六点整时，时针和分针形成的角是平角；
③钟表上十二点整时，时针和分针形成的角是周角；
④钟表上差一刻六点时，时针和分针形成的角是直角；
⑤钟表上九点整时，时针和分针形成的角是直角．
A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下面等式不正确的是( )．
A．CD＝AC－DB B．CD＝AD－BC
C．CD＝1
2AB－BD D．CD＝1
3
AB
8．如图，C，D是线段AB上两点，若CB＝4 cm，DB＝7 cm，且D是AC的中点，则AC的长等于( )．
A．3 cm B．6 cm C．11 cm D．14 cm
9．A，B，C，D，E五个景点之间的路线如图所示．若每条路线的里程a(km)及行驶的平均速度b(km/h)用(a，b)表示，则从景点A到景点C用时最少的路线是( )．
A．A→E→C B．A→B→C C．A→E→B→C D．A →B→E→C
10．如图所示，云泰酒厂有三个住宅区，A，B，C各区分别住有职工30人，15人，10人，且这三点在金斗大道上(A，B，C三点共线)，已知AB＝100米，BC＝200米．为了方便职工上下班，该厂的接送车打算在这个路段上只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在( )．
A．点A B．点B C．AB之间D．BC 之间
二、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分)
11．如图所示，线段AB比折线AMB__________，理由是：____________________.
12．如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则CD＝__________.
13．现在是9点20分，此时钟面上的时针与分针的夹角是__________．
14．如图所示，由泰山到青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山——济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的火车票有__________种．
三、解答题(本题共4小题，共54分)
15．(12分)计算：
(1)将24.29°化为度、分、秒；
(2)将36°40′30″化为度．
16．(7分)请以给定的图形“”(两个圆，两个三角形，两条线段)构思独特而且又有意义的图形，并且写上一句贴切的解说词．
17．(8分)已知线段a，b(如图)，画出线段x，使x＝a＋2b.
18．(8分)已知在平面内，∠AOB＝70°，∠BOC＝40°，求∠AOC的度数．
19．(9分)如图，已知AB和CD的公共部分BD＝1
3AB＝1
4
CD.
线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10 cm，求AB，CD 的长．
20．(10分)某摄制组从A市到B市有一天的路程，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一(原计划行驶到C地)，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C地到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A，B两市相距多少千米？
答案
1答案：D 2答案：D 3答案：A
4答案：C 点拨：因为2
3平角＝2
3
×180°＝120°，所以2
3
平
角是钝角，故选C.
5答案：A 点拨：∠1＝180°－26°30′＝153°30′.
6答案：C 点拨：说法①④错误．
7答案：D
8答案：B
9答案：D 点拨：分别计算各选项中的用时可知，从景点A 到景点C用时最少的线路是A→B→E→C，故选D.
10答案：A
11答案：短两点之间，线段最短
12答案：2 点拨：∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝AB－AC＝10－6＝4.又∵点D是线段BC的中点，
∴CD＝1
2
BC＝2.
13答案：160°点拨：可画出钟表的示意图帮助解答(如图)．观察图可知，9点20分时，时针和分针的夹角是5个大格加时针从9点开始转过的角度，所以9点20分时，时针和分针的夹角是5×30°＋20×0.5°＝160°.
14答案：10 点拨：由泰山到青岛的某一次列车的车票的种数是：泰山——济南，泰山——淄博，泰山——潍坊，泰山——青岛；济南——淄博，济南——潍坊，济南——青岛；淄博——潍坊，淄博——青岛；潍坊——青岛，共10种． 15解：(1)先将0.29°化为17.4′，再将0.4′化为24″. 24．29°＝24°＋0.29×60′
＝24°＋17′＋0.4×60″＝24°＋17′＋24″
＝24°17′24″.
(2)先将30″化为0.5′，再将40.5′化为0.675°.
∵1′＝160⎛⎫︒ ⎪⎝⎭，1″＝160⎛⎫' ⎪⎝⎭
， ∴30″＝160⎛⎫' ⎪⎝⎭×30＝0.5′，40.5′＝160⎛⎫
︒ ⎪⎝⎭
×40.5＝0.675°.
∴36°40′30″＝36.675°.
16解：以下答案供参考．
17答案：略
18解：(1)当∠BOC 在∠AOB 的外部时，如图1所示，∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝70°＋40°＝110°；
(2)当∠BOC 在∠AOB 的内部时，如图2所示，∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝70°－40°＝30°.
故∠AOC 的度数为110°或30°.
19解：设BD ＝x cm ，则AB ＝3x cm ，CD ＝4x cm. 因为E ，F 分别是线段AB ，CD 的中点，
所以EB ＝12AB ＝1.5x ，FD ＝12CD ＝2x.
又EF ＝10 cm ，EF ＝EB ＋FD －BD ，
所以1.5x ＋2x －x ＝10.
解得x ＝4.
所以3x ＝12,4x ＝16.
所以AB 长12 cm ，CD 长16 cm.
20解：如图，设小镇为D ，傍晚汽车在E 处休息，由题意知，DE ＝400千米，AD ＝12DC ，EB ＝12CE ，AD ＋EB ＝12(DC ＋CE)＝1
2DE ＝12×400＝200(千米)．
所以AB ＝AD ＋EB ＋DE ＝600(千米)．
答：A，B两市相距600千米．。