上海市第二中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题参考答案

上海市第二中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题
参考答案 1．3【思路点拨】解方程
3
sin 5
θ=，再检验即得解. 【解析】由题得
3
sin ,35m θ=∴=±.当m=-3时，点P 在第四象限，不满足题意. 所以m=3.故答案为3
【解后反思】本题主要考查三角函数的坐标表示，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2．>【思路点拨】根据函数的性质，直接判断符号.
【解析】根据指数函数的性质可知当1,0a s >>时，1s a >.故答案为：> 3．1【思路点拨】根据函数零点的定义以及韦达定理可得结果.
【解析】因为函数2()1f x x x =+-的两个零点分别为1x 和2x ，所以1x 和2x 是210x x +-=的
两个实根，所以121x x +=-，121x x =-，所以22
1212x x x x 1212()1(1)1x x x x =+=-⨯-=.
4．5
3
【思路点拨】3在反函数的定义域中，它必在原函数的值域中，因为反函数与原函数
的对应关系相反，故由2
31
x =-解得x 值为所求. 【解析】由231
x =-解得53x =，所以1
5(3)3f -=.
故答案为：5
3
5．()1,1--【思路点拨】可得()11f -=-，即可得出定点. 【解析】
()12x f x a +=-，
当1x =-时，()0
121f a -=-=-，
()f x ∴恒过的点A 是()1,1--.
故答案为：()1,1--.
6．2,53⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【思路点拨】首先求出2021x y =值域为()0,∞+，则原方程有解等价于
2305a a +>-，解不等式即可求解.
【解析】设2021x y =，则2021x y =值域为()0,∞+，
所以方程2320215x
a
a +=
-有实数根，等价于
2305a a
+>-， 即()()3250a a +-<，解得：2
53a -<<，
所以实数a 的取值范围为2,53⎛⎫
- ⎪⎝⎭，
故答案为：2,53⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【解后反思】关键点点睛：本题解题的关键点是找出方程2320215x
a
a
+=
-有实数根，等价于2305a
a
+>-即可. 7．2【思路点拨】由对数与指数的互化以及对数的运算即可求解. 【解析】解：log 4a m =，log 5a n =， 4m a ∴=，5n a =，
()2
2245100m n m n a a a +⋅⨯∴===，
2lg lg1002m n a +∴==.
故答案为：2.
8．1
2【思路点拨】由对数函数性质确定3log 2的范围，再根据分段函数定义求函数值即可.
【解析】由对数函数性质知333log 1log 2log 3<<，即30log 21<<，则3log 20-<
故()()()
33
1
log 2log 2
1331log 2log 23322
f f ---=-====
. 故答案为：1
2.
9．(1,)+∞【思路点拨】构造函数()3
232log x f x x x =++，原不等式即为()()1f x f >，再根据
()f x 的单调性即可求解.
【解析】令()32
32log x f x x x =++，
因为3
2y x =，2x y =，3log y x =在公共的定义域()0,∞+都是单调递增函数， 所以()3
232log x f x x x =++在()0,∞+单调递增， 因为()312
3112log 13f =++=，
所以不等式3
232log 3x x x ++>等价于()()1f x f >，
由()32
32log x f x x x =++在()0,∞+单调递增， 所以1x >，
所以原不等式的解集为(1,)+∞. 故答案为：(1,)+∞
【解后反思】关键点点睛：本题解题的关键点是构造函数，利用函数的单调性解不等式. 10．4a >. 【解析】
由已知得不等式2
112
2
log (42)log 1ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，所以不等式
2421ax x a -+->对任意x R ∈恒成立，即不等式2430ax x a -+->对任意x R ∈恒成立，当
0a =时，则不等式430x -->对任意x R ∈不恒成立，所以0a ≠．所以
2
0(4)4(3)0a a a >⎧⎨∆=---<⎩ ，即20340a a a >⎧
⎨-->⎩ ，所以014a a a >⎧⎨-⎩
或．解得4a >． 【点睛】解对数不等式应将两边都化成同底数的对数，利用对数函数的单调性比较真数的大
小．不等式
2
12
log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，可转化为不等式2430ax x a -+->对任意x R ∈恒成立，分0a =与0a ≠两种情况讨论．0a ≠时结合二次函数的图像得结论． 11．2
{2 }3
-，
【思路点拨】根据k y x =不能是奇函数排除1-和13，再利用幂函数的性质排除2即可得出.
【解析】若(1 0)(0 1)x ∈-，
，，且||k x x >， 则幂函数k y x =的图象一定在y x =的上方， 故k y x =不可能为奇函数，即k 不能取1-和1
3
，
当k 取2
2,,23-时，k y x =是偶函数，故只需满足(0 1)x ∈，
即可， 此时k x x >，即11k x ->，则10k -<，即1k <，
则k 可取22,3-，故k 取值的集合是2
{2 }3-，. 故答案为：2
{2 }3
-，. 【解后反思】本题考查幂函数的性质，解题的关键是正确理解幂函数的性质的特点，以及不同幂函数的图象特点.
12．4【思路点拨】由()g x 在(]0,2上的单调性求出a 的一个范围，再令()()
f x h x x
=
，则()h x 在(]0,2上是减函数，分类讨论根据()h x 的单调性求参数a 的范围，两范围取交集即可得解.
【解析】由题意可知函数()()2
4g x x a x a =+-+在(]0,2上是增函数，
4
02
a -∴
≤，解得4a ≤， 令()()4f x a
x a x
x
h x +
=
=+-，则()h x 在(]0,2上是减函数， ①当0a ≤时，()h x 在(]0,2上为增函数，不符合题意；
②当0a >时，由对勾函数的性质可知()h x 在上单调递减，
2，解得4a ≥，又4a ≤，4a ∴=.
故答案为：4
【解后反思】本题考查函数的单调性、一元二次函数的单调性，属于中档题. 13．C 【思路点拨】根据题意列出函数模型即可得答案．
【解析】解：一年后，小明的本金和利息共有()1000001 1.75%+， 两年后，小明的本金和利息共有()2
1000001 1.75%+， 则x 年后，小明的本金和利息共有()1000001 1.75%x +， 共取得的利息可构建函数()()1000001 1.75%100000x f x =+-， 采用了指数函数模型． 故选：C ．
14．C 【思路点拨】讨论a 的范围再利用对数函数的单调性可求解. 【解析】2log 13
a
>，即2
log log 3a a a >，
当01a <<时，解得23a >，即2
13
a <<， 当1a >时，解得2
3
<a ，此时无解， 综上，
2
13
a <<. 故选：C.
15．D 【思路点拨】A.根据函数的对应关系判断选项；B.根据奇函数与()00f =的关系判断
选项；C.根据零点存在性定理判断选项；D.先求函数的定义域，再根据函数的奇偶性的定义判断选项.
【解析】A. 函数()y f x =的图像与垂直于x 轴的直线的交点个数是0个或1个，故A 不正确；
B.()00f =不能推出函数是奇函数，例如()2
f x x =，若函数是奇函数，定义域里没有0x =，
函数也不过原点，所以(0)0f =是函数()y f x =是奇函数的既不充分也不必要条件，故B 不正确；
C. 若函数()y f x =在区间[,]a b 上有零点，()2
1f x x =-，在区间[]22-,
有零点，但()()220f f ->，故C 不正确；
D.函数的定义域是22
40
40x x ⎧-≥⎨-≥⎩
，解得：2x =±，即0y =，{}2,2x ∈-，函数既满足()()f x f x -=，又满足()()f x f x -=-，所以函数既是奇函数，又是偶函数. 故选：D
16．BC 【思路点拨】对任意的[0x ∈，)+∞，总有()0f x ，令0x y ==，则(0)(0(0))f f f +，
判断A ；利用特例法判断B ；如果x 、y Q ∉，设
x y =()1g x y +=，
()()112g x g y +=+=，可判断C ；利用新定义的性质判断D.
【解析】A.若函数()f x 为“Ω函数”，若满足（1）则()00f ≥，若满足条件（2）当0x y ==时，()()()()00000f f f f ≥+⇒≤，若同时满足（1）（2）则()00f =，故A 正确； B.若函数是常函数，如：()0f x =，[)0,x ∈+∞ 满足条件（1）（2），但不是增函数，故B 不正确；
C.当x y ==1f =，1f =，1f =，
f
f
f <+，不满足（2）
，所以不是“Ω函数”，故C 不正确； D.()[]g x x =的最小值是0，显然符合（1），设[)0,+∞的每一个数有两部分构成，整数部分和小数部分，设x 的整数部分是m ，小数部分是n ，即x m n =+，则[]x m =，设y 的整数部分是a ，小数部分是b ，即y a b =+，[]y a =，当n b +没有进到整数位时，[]x y m a +=+，
若n b +进到整数位时，[]1x y m a +=++，所以[][][]x y x y +≥+，所以函数()[]g x x =满足条件（2）所以()[]g x x =在[0,)+∞上是“Ω函数”，故D 正确. 故选：BC
【解后反思】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
17．【思路点拨】（1）根据对数的性质，解不等式22040x x ->⎧⎨+>⎩
即可求解；
（2）由1a >可得log a y x =在()0,∞+单调递增，根据单调性可得224x x ->+，结合定义域即可求解.
【解析】（1）由题意可得：220
40x x ->⎧⎨+>⎩
，解得41x -<<，
所以函数()y f x =的定义域为(4,1)-； （2）()0f x >等价于log (22)log (4)a a x x ->+， 当1a >时，log a y x =单调递增， 所以224x x ->+，解得：2
3
x <-，
又因为41x -<<， 所以2
43
x -<<-，
所以不等式()0f x >的解集为24,3⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭.
18．【思路点拨】（1）根据公式 5.0lg L V =+，再结合对数运算法则计算求值；（2）先求甲的小数视力值，再根据乙的小数视力值，计算乙的对数视力值. 【解析】（1）①当 1.5V =时，
5.0lg1.5 5.0lg3lg 2 5.00.47710.3010 5.2L =+=+-=+-≈，
② 5.0L =时，5.0 5.0lg 1V V =+⇒=;
③0.4V =时， 5.0lg 0.4 5.02lg 21 4.6L =+=+-≈ ④ 4.0L =时，4.0 5.0lg 0.1V V =+⇒=；
（2）甲的对数视力值为4.5，则4.5 5.0lg lg 0.5V V =+⇒=-， 1
2
10V -∴=， 乙的小数视力值是甲的小数视力值的2倍，
12
1=5.0lg 2 5.0lg 210
5.0lg 2 4.82L V -
⎛⎫
∴+=+⨯=+-+≈ ⎪⎝⎭
乙.
【解后反思】关键点点睛：本题的关键是根据理解题意，并能根据 5.0lg L V =+，计算求值，第二个关键是对数运算法则.
19．.【思路点拨】（1）对()y f x =化简可得6
()132x
y f x ==-++，利用单调性的定义，取值、作差、化简、定号即可证明； （2）6()132x y f x ==-+
+，利用20
x >先求出233x
+>，再计算321103
x <+<即可求解. 【解析】（1）()326326
()1323232x
x x x
x
y f x -++-====-++++， 设任意的1x ，2x R ∈，且12x x <， 12
12
126666()()1132323232x x x x f x f x ⎛⎫
-=-+
--+=- ⎪++++⎝⎭
()()
()()()
()()
2121121
2
63263262232323232x x x x x x x x +-+-=
=
++++，
因为12x x <，所以2122x x >，
因为1320x +>，2320x +>，所以12()()f x f x >， 所以32()32x
x
y f x -==+在R 上单调递减，
（2）6
()132x
y f x ==-+
+， 因为20x >，所以233x +>，321103x <+<，26
230x
+<<， 所以6
11132x
-<-+
<+， 函数()y f x =的值域为()1,1-
【解后反思】方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤： 1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <， 2.作差：计算()()12f x f x -； 3.定号：确定()()12f x f x -的正负；
4.得出结论：根据同增异减得出结论.
20．【思路点拨】（1）由题意可得：2230m m --<，解不等式结合m ∈Z 即可求解； （2）由（1）可得4(2)y ax a x -=+-，分别讨论0a =、2a =、0a ≠且2a ≠时奇偶性即可求解.
【解析】（1）因为幂函数2
23
()m
m y f x x --==（m Z ∈）在(0,)+∞是严格减函数，
所以2230m m --<，即()()310m m -+< ，解得：13x ， 因为m Z ∈，所以0,1,2m =，
当0m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意； 当1m =时，4()y f x x -==，此时()y f x =为偶函数，符合题意； 当2m =时，3()y f x x -==，此时()y f x =为奇函数，不符合题意； 所以4()y f x x -==，
（2）4544(2)(2)y ax a x x ax a x ---=+-⋅=+-，
令()4
(2)F x ax a x -=+-
当0a =时，()2F x x =-，()()()22F x x x F x -=-⨯-==-，此时是奇函数， 当2a =时()4
422F x x x -==，()()()444222F x x x
x --=-==-，此时是偶函数，
当0a ≠且2a ≠时，()1(2)22F a a a =+-=-，()1(2)2F a a -=--=，
()()11F F ≠-，()()11F F -≠-，此时是非奇非偶函数函数.
【解后反思】关键点点睛：本题解题的关键点是利用幂函数的单调性求出m 可能性的取值，再利用奇偶性可确定m 的值，即可求解析式，第（2）问注意讨论a 的值.
21．【思路点拨】（1）令2x t =，因为01x ≤≤，所以12t ≤≤，可将函数()y f x =转化为关于
t 的二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值和最小值，利用零点存在定理即可求k 的
取值范围；
（2）由1
1x x ≥-⎧⎨-≥-⎩
即可求()y g x =的定义域，()()()y g x f x f x ==+-可化为
()2
22123x x y k -=+-+-，令2x m =，则
122
m ≤≤，1
2211x x y m m -=+-=+-利用其单调性即
可求出()y g x =的最小值；
（3）由题意可得min max ()4()g x g x >，由（2）可以求出()y g x =的最小值和最大值，代入解不等式即可求解.
【解析】（1）令2x t =，因为01x ≤≤，所以12t ≤≤， 所以()2
2()211y f t t t k t k ==-+=-+-， 所以当1t =时()()min 1121f t f k k ==-+=-， 当2t =时，()()max 244f t f k k ==-+=，
因为函数()y f x =在区间[0,1]上有零点，则()y f t =在[]1,2上有零点， 可得()10k k -≤，解得：01k ≤≤ 所以实数k 的取值范围是[0,1]，
（2）由1
1
x x ≥-⎧⎨-≥-⎩可得11x -≤≤，
11()()()4242x x x x y g x f x f x k k +--+==+-=-++-+
()()()2
4422222222222x x x x x x x x k k ----=+-++=+-++-
()2
22123x x k -=+-+-
令2x m =，则1
22m ≤≤
12211x x y m m
-=+-=+
-在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减，在()1,2单调递增，
所以当1m =时1
1y m m
=+-最小为1， 当12m =
时，132122y =+-=，当2m =时132122
y =+-=， 所以min ()12322y g x k k ==+-=-， 2
max
33()23224y g x k k ⎛⎫
==+-=- ⎪⎝⎭
，
所以()y g x =的定义域为[1,1]-，最小值为22k -；
（3）因为对于任意()y g x =定义域中的实数1x 、2x 、3x 、4x 、5x ，
51234()()()()()g x g x g x g x g x >+++恒成立可得min max ()4()g x g x >，
由（2）知min 22()g x k =-，max 3
()24
g x k =-
所以224324k k ⎛⎫-> ⎝
-⎪⎭，即61k <，解得1
6k <，
所以实数k 的取值范围是：1
6
k <
【解后反思】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.。