2023届高考数学二轮复习大题专讲专练第46讲双变量问题含解析

第46讲双变量问题
经过前面对极值点偏移的学习,我们对双元问题的解决有了一个深刻的认识,本节讲解一般的双元问题,其核心思路和极值点偏移的核心思路差不多,都需要把双元问题转换成一元问题来解决,其转化方法类似前面极值点偏移总结的方法.
韦达代换消元
韦达代换消元是解决双变量问题的常用方法,其题目特征是所求的双变量12,x x 为一元二次方程20ax bx c ++=的两个解,其一般解题步骤为:
第一步:找到两个变量的关系,1212,b c
x x x x a a
+=-=.
第二步:统一变量,把要求解的双变量问题凑出韦达,把根与系数的关系带进去,消掉参数和多余变量,统一为一元变量.
第三步:构造函数求【解析】,构造一元函数,即按照一元函数的方式求解问题. 【例1】函数()()ln a f x ax x a R x =-
-∈,若2
5
a >,函数()f x 有两个极值点1x ,212()x x x <,求()()12f x f x -的取值范围.
【解析】()f x 的定义域为()()222
10,,a ax x a
f x a x x x -++∞=+-='.
设方程()0f x '=,即20ax x a -+=得两根为12,x x ,且120x x <<.
22Δ1405a a =->>
由且21
.52
a <<得 1212111115
1,,2,2x x x x x a x a =+=∴<+=<1111 2.2
x x ∴<<<<或
()()12112212ln ln a a
f x f x ax x ax x x x ⎛⎫-=-
---- ⎪⎝⎭
111111111ln ln 2ln ,a a a
ax x ax x ax x x x x ⎛⎫⎛⎫=-
---+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
① 21
11210,,1
x ax x a a x -+=∴=
+. ()()22211121122111112ln 2ln .112x x f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫
---=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
代入①式得.
2
1
1,1,4
x t t =<<令则()()2
2111(1)ln ,1,'0.1242(1)t t g t t t g t t t t ---=
-<<=<++ ()()()11,1,1,44g t g g t g ⎛⎫⎛⎫
∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在上单调递减从而
()3
0ln2.5
g t <<-即
()()126
02ln2.5
f x f x ∴<-<-
【例2】函数()e e ,x x f x ax a -=-+∈R . (1) 讨论()f x 的单调性.
(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,12x x <.证明:()()()()
12122e x x f x f x a e ->--.
【解析】(1)()()2
1
1x x x x x x x
e ae
f x e e a e a e e --+⎛'⎫
=--+=-++=-
⎪⎝⎭
.
1
12,2x x x
x e e e e ⎛
⎫+
∴-+- ⎪⎝
⎭.
当2a 时,()0f x ',此时()f x
在R 上单调递减.
当2a >时,由()0f x '=
【解析】得x =或
x =.
x
y e =是增函数,∴此时()f x 在
⎛-∞ ⎝⎭和
⎛⎫
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减,在⎛ ⎝⎭上单调递增. (2)证明由(1)题知122,e e 1x x a >∴⋅=,
()()()()()()()
12112211
12122112112120,,.,0.
2(2)x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x a e e e e ax e e ax a e e ---∴+=∴=-=-<∴<----=-+--+---
()()()()()1111111111122x x x x x x x x e e ax e e ax a e e a e e x ----=-+------=-+.
令()e e 2(0)t t g t t t -=-+<,
()122220t t t t t g t e e e e e e -⎛
⎫∴=--+=-++-⋅= ⎪⎭'⎝
.
()g t ∴在(),0-∞上是减函数,()()0g t g >
()111e e 20x x a x -∴-+>
()()()()12122e e .x x f x f x a ∴->--
【例3】函数()21x e f x ax =+,且()f x 存在两个极值点12,x x ,求证:()()212e 1
2f x f x ++<.
【解析】证明由()21x
e f x ax =+,()()()()()
222222122111x x x e ax e ax e ax ax f x ax ax +-⋅-+∴'==++. ()f x 存在两个极值点,2440,1a a a ∴->∴>.
令()0f x '=得2210ax ax -+=,12,x x ∴是方程2210ax ax -+=的两个根.
()12121
2,0,1x x x x a
∴+==∈,
且22
112
212,12ax ax ax ax +=+=. 不妨设12x x <,则12012x x <<<<,
()()1212121222121212111222x x x x x x e e e e e e f x f x ax ax ax ax a x x ⎛⎫
∴+=+=+=+ ⎪++⎝⎭
()()121211221211112111
2222x x x x x x x e x e x e x e x e x e a x x -+⎡⎤=⋅=+=-+⎣⎦.令()()22e e (01)x x h x x x x -=-+<<,
()()()()22221e e 0x x x x x x h x e x e e xe x ---∴=-+-+-=+'->.
()h x ∴在()0,1上单调递增.()()12e h x h ∴<=.
()()()()221212e 1e 1
e,e ..22
f x f x f x f x ++∴+<<∴+<又
【例4】函数()()2
1ln204
f x x ax a x a =
-+≠. (1)若0a <时()f x 在[]1,e 上的最小值是5
ln24
-,求a .
(2)若a e ,且12,x x 是()f x 的两个极值点.证明:()()()22
121212e 2
f x f x x x +<+-(其中e 为自然对数的底数 2.71
e ≈)
【解析】(1)()f x 定义域是()()2220,,22a x x ax a
f x a x x
-+=+'+∞-=.
令()222g x x ax a =-+,对称轴00x a =<.()1,110a g >=>,
∴当[]1,x e ∈时,()0g x >.()()02g x f x x
='∴>.()f x ∴在[]1,e 上单调递增.
()()min 15
1ln2ln244
f x f a a ==
-+=-, 解得1a =-.
(2)证明由()f x 有两个极值点12,x x ,则()0f x '=在()0,+∞上有2个不等的实根,即2
220x ax a -+=在()0,+∞上有2个不等的实根,则2480
0a a a ∆⎩
=->⎧⎨
>,解得2a >.()2
22
212121212122,2,244x x a x x a x x x x x x a a +==+=+-=-.
当a e 时,()()()()()2222
1212121212112ln4224
f x f x x x e a x x a x x x x +-
++=-+-++ ()221
ln824424
a a a a a e =--
-+2ln832a a a a e =-++. 令()()2ln832g a a a a a e a e =-++,()()ln862g a a a a e =-+', 令()()()116ln862,6a
h a g a a a h a a a
-'=-='-=+=
, 当a e 时,()0h a '<,()h a ∴在[),e +∞单调递减.()()h a h e ∴. 即()()()ln86213ln26e 23ln26e 3g a g e e e =-+=+-+=-''+
36e 366e 0<-+=-<
.()g a ∴在[),e +∞上单调递减.
()()()()
22ln83313ln2333ln234g a g e e e e e e e e e e =-+=+-+=-+()()33e 4e 73e 0e <-+=-<. ()0.g a ∴<∴原式成立, 即()()()22
121212e 2
f x f x x x +<+-.
差式引参消元
所谓差式引参消元就是找12x x -这样的作差的式子,整体代换从而实现统一变量,其一般解题步骤和“极值点偏移”的类似,通过变形()()12f x f x =,构造出12x x -,令12x x t -=,引人参数t ,用参数t 表示出变量()()12
x f t x g t =⎧⎪⎨=⎪⎩,进而构造出一元函数. 【例1】已知函数()x f x xe -=,若120x x <<,且()()12f x f x =,求证:1233x x +>.
【解析】证明由120x x <<,且()()12f x f x =得1212x x x x e e
=.2
211121x x x x x e x x e e -∴==.
设21(0)t x x t =->,则11t e x x t -=.
可得12,11t t t t te x x e e ==--.∴要证1233x x +>,即证3e 3e 1e 1
t
t t t t +>--.0,10t t e >∴->.
∴只需证()3e 330t t t -++>.
设()()333(0)t g t t e t t =-++>, 则()()23t g t t e =-+'.
令()()23t h t t e =-+,则()()1t h t t e =-'.
当()0,1t ∈时,()()0,h t h t '<单调递减.当()1,t ∈+∞时,()()0,h t h t '>单调递增.
()()13e 0h t h ∴=->,即()0g t '>,()g t ∴在()0,+∞上单调递增.()()1200.33g t g x x ∴>=∴+>.
【例2】已知函数()e 1x
f x m x =--,若()f x 的两个零点为12,x x 且12x x <,求
()2
121
1x x x x e
e m e e ⎛⎫
-- ⎪+⎝⎭
的取值范围. 【解析】由题意,121210,x x me x me x --=--10=.
设()()21
211x x x x g x e e m e e ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭
()()21
212
121212111x x
x x x x x x e e e x x x x e e e ------=--++. 令21(0)x x t t -=>,()e 1
(0)e 1
t t g t t t -=->+.
又()()
22
e 1
0e
1t t
g t --=
<+',()g t ∴在()0,+∞上单调递减.()()00.g t g ∴<=
()(),0g t ∴∈-∞
()21211x x x x
e e m e e ⎛⎫
∴-- ⎪+⎝⎭的取值范围为(),0-∞.
齐次分式引参消元
所谓齐次分式引参消元,其步骤与“极值点偏移”的类似,先根据已知条件变形出
1
2
x x ,然后令12x t x =,用参数t 表示出变量()()12
x f t x g t =⎧⎪⎨=⎪⎩,进而构造一元函数,将关于12,x x 待求的问题转化为t 的函数问题.
【例1】已知函数()ln f x x x a =-+. (1)求函数()f x 的最大值.
(2)若函数()f x 存在两个零点12,x x 12()x x <.证明12:2ln ln 0x x +<. 【解析】(1)函数定义域是()0,+∞,由题意()111x
f x x x
-=
-=
'. 当01x <<时,()()0,f x f x '>单调递增.当1x >时,()()0,f x f x '<单调递减.
1x ∴=时,()f x 取得唯一的极大值,也是最大值,即()11f a =-+.
(2)证明由(1)题知()110f a =->,即1a >时,()f x 有两个零,点1212,,()x x x x <, 则()()120,1,1,x x ∈∈+∞.
由1122ln ln 0x x a x x a -+=-+=得2
21211
ln ln ln x x x x x x -=-=. 令2
1x t x =
,则111,ln t tx x t >-=,121ln ln ,.11
t t t x x x t t t =
==-- ()212122ln ln 0ln 00x x x x +<⇔<⇔<2212121,0x x x x 显然成立.
要证122ln ln 0x x +<,即证2121x x <,
只要证33
ln 1(1)
t t
t <-,即证33tln (1)(1)t t t <->. 令()()()3
3ln 1,10g t t t t g =--=.()()()2
32ln 3ln 31,10g t t t t g ''=+--=.
令()()h t g t =',则()()()222
3ln 6ln 361ln 2ln 22,10t t h t t t t t t h t t t '⎡⎤=+--=+-'+=⎣
⎦. 令()22ln 2ln 22m t t t t t =+-+,()()22ln 22
42(ln 1,10t m t t t t t m t t t
'=
+-+=+-+=. 令()2ln 12n t t t t =+-+,()1
41,0n t t t t
=-+>'时,()n t '是减函数,
1t ∴>时,()()120n t n '<-'=<.()n t ∴是减函数,()()10n t n <=,
即()0(1)m t t <>'.()m t ∴是减函数,()()10m t m <=.
()()0,h t h t ∴'<在1t >时是减函数,()()10h t h <=,即()0g t '<.
()g t ∴在()1,+∞上是减函数,()g t <()10g =. 33ln (1)0t t t ∴--<,即33ln (1)t t t <-. 综上,122ln ln 0x x +<成立.
【例2】已知函数()21
2
x f x ae x b =--有两个极值点,设函数()f x 的两个极值点分别为12,x x ,
且21
2x
x ,求实数a 的取值范围. 【解析】()x f x ae x =-'.由()0f x '=得121212e ,e (01)x x a x a x x x ==<<<. 两式相除可得2121x x x e x -=.令()21
2x
t t x =,则21x tx = .(
)1
1t x e t -∴=，则1ln 1
t
x t =
- 令2
1
1ln ln ()(2),()1(1)t
t t h t t h t t t --'==--. 令1()1ln (2),()t t t t t ϕϕ'=--=210t
t
-<.
()t ϕ∴在[2,)+∞上单调递减.
1
()(2)ln 202
t ϕϕ∴=
-<,即()h t '<0,因此()h t 在[2,)+∞上单调递减. 1()(2)ln 2,0ln 2h t h x ∴=<. 又1
1,()e e x x x x
a g x =
=在[0,ln 2)上单调 1
0ln 22
a
∴<. 齐次分式整体代换消元
所谓齐次分式整体代换消元就是变形出齐次分式
1
2
x x ,然后整体代换12x t x =得出一元函
数求解,一般步骤和“极值点偏移”的类似,通过将所有涉及12,x x 的式子转化为关于1
2
x x 的式子,整体代换
1
2
x t x =,构造关于t 的一元函数()g t 来求解.
【例1】已知函数()ln ,f x x ax a =-为常数,若函数()f x 有两个零点12,x x .证明:
212e x x >.
【解析】证明法一:齐次分式整体代换消元
不妨设12x x >,()11221212ln 0,ln 0,ln ln x ax x ax x x a x x -=-=∴+=+ ()12
121212
ln ln ln ln .x x x x a x x a x x --=-∴
=-
欲证明212e x x >,即证12ln ln 2x x +>.()1212ln ln x x a x x +=+,∴即证12
2
a x x >
+. ∴原命题等价于证明
1212ln ln x x x x ->
-12
2
x x +,即证()1212122ln x x x x x x ->+. 令1
2,1x t t x =>,设函数()ln h t t =-()21,11t t t ->+,则()()()()
2212111t t h t t t +--=-=+'22
(1)0(1)t t t ->+,()h t ∴为()1,+∞上的增函数.注意到()10h =,因此,()()10h t h >=. 于是,当1t >时,有()21ln 1
t t t ->
+.12ln ln 2x x ∴+>成立,212e x x >.
法二:参变分离换分式引参消元 12221211
ln ln ln ,ln x x x x
a x x x x =
=⇔= 设2
121
,,(1)x x x t t x <=
>,则21x tx =,1111ln ln ln .ln ln tx t x t t x x +=⇔= 反解出:121ln ln ,ln ln ln 1t x x tx t t =
==+-ln ln 11
t t t
t t =--, 故212121
e ln ln 2ln 1
t x x x x t t +>⇔+>⇔
>- 2.转化为一元函数求解,同上,略.
【例2】设()ln x a x x ϕ=-,若()x ϕ有两个相异零点12,x x ,且12x x <,求证:12
ln ln x x +2ln 0a <.
【解析】证明
12,x x 是方程ln 0a x x -=的两个不同的实数根,1122
0alnx x alnx x -=⎧∴⎨-=⎩,
两式相减得()()1212ln ln 0a x x x x ---=, 解得12
12
ln x x a x x -=
. 要证12ln ln 2ln 0x x a +-<,
即证2
12x x a <,即证()
2
12122
12ln x x x x x x -<
⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
即证()22
1211221221ln 2x x x x x x x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭
.
令
()1
122
0,1.0x t x x x =∈<<,则只需 证21
ln 2t t t
<-+.
设()21ln 2g t t t t
=--+,()22111ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫
∴=-+=-+ ⎝'⎪⎭.
令()12ln h t t t t =-+,()2
2211110h t t t t ⎛⎫
∴=--=- ⎪⎝⎭
'-<.()h t ∴在()0,1上为减函数.
()()10h t h ∴>=.()()0,g t g t ∴'>在()0,1上为增函数,()()10g t g <=.
即21
ln 2t t t
<-+在()0,1上恒成立，12ln ln 2ln 0x x a ∴+-<.
【例3】已知函数()2
2ln (x
g x x t t e =-+∈R)有两个零点12,x x . (1)求实数t 的取值范围. (2)求证:
212114e
x x +>. 【解析】(1) 函数()()22ln x
g x x t t R e
=-
+∈ 的定义域为()()2120,,g x x e ∞=-'+22
2e x
e x
-=.
令()0g x '=得2
2e x =,可得()g x 在20,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在2,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减.
又当0x →时,()g x →-∞;当x →+∞时,()g x →-∞,
故欲使()g x 有两个零点,只需22e g ⎛⎫= ⎪⎝⎭
2
e ln 11ln202t t -+=-+>,即ln21t >-.
(2)证明不妨设12x x <,则由(1)题可知2
12e 02
x x <<<,
且112
2222020x lnx t e x lnx t e ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,
两式相减可得
21
221
ln ln 2x x e x x -=
-. 欲证
212114e x x +>,即证12
11
x x +>
()21212ln ln x x x x --. 设
2
1(1)x t t x =>,则即证12ln (1)t t t t ->>.构造函数()12ln (1)f t t t t t
=-->, 则()222
12(1)10t f t t t t
-=+-=>',()f t ∴在()1,+∞上单调递增,故()f t >()10f =.1
2ln (1)t t t t
∴->>,原不等式得证.
【例4】设函数()()22f x x a x =+--()ln a x a R ∈,若2a >且方程(),f x b b =∈R ,在()1,+∞上有两个不相等的实数根1x ,2x ,求证:12a x x <+.
【解析】证明方程()f x b =即()22x a x +--ln a x b =,在()1,+∞上有两个不等实根1x 和2x . 不妨设121x x <<,
则()21112ln x a x a x b +--=,①
()22222ln x a x a x b +--=,②
①-②得22
1122
1122
22ln ln x x x x a x x x x +--=+--,
欲证12a x x <+,
只需证
22
1122
121122
22ln ln x x x x x x x x x x +--<++--.12x x <,1122ln ln x x x x ∴+<+,
则1122ln ln 0x x x x +--<,
即需证:()22
112
21222x x x x x x +-->+⋅()1122ln ln x x x x +--, 整理得()1212122ln ln x x x x x x --<+,即证12112221ln 1
x x x x x x ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭<+.令()120,1x t x =∈,设()()21ln 1t h t t t -=-+,则()2
2(1)0(1)t h t t t '-=
>+,显然()h t 在()0,1上半调递增.()()10h t h ∴<=,故原命题得证. 同构函数单调性证明
同构函数:变量分离后若结构相同,则可将相同的结构构造一个函数,进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式.
【例1】已知函数()()21h x x a x =-++()()()()()112212ln ,,,,x A x h x B x h x x x ≠是函数()h x 图像
上任意两点,且满足
()()1212
1h x h x x x ->-,求实数a 的取值范围.
【解析】()()21ln h x x a x x =-++,对于任意的()12,0,x x ∈+∞,取12x x <,则120x x -<,
则由
()()1212
1h x h x x x ->-可得()1h x -()212h x x x <-,
变形得()()1122h x x h x x -<-恒成立,令()()()22ln F x h x x x a x x =-=-++ 则()()22ln F x x a x x =-++在()0,+∞上单调递增. 故()()1
220F x x a x
=-++
'在()0,+∞上恒成立.
122x a x ∴+
+在()0,+∞上恒成立.1222x x
+
,当且仅当x =时,等 号成立,222a ∴-.
【例2】已知函数()211ln 2f x x a x x a ⎛⎫=
-++ ⎪⎝⎭,若10,2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,证明:对任意12,x x ∈()()()121
2221211,1,22f x f x x x x x -⎡⎤
≠<⎢⎥-⎣⎦
恒成立. 【解析】证明因102a <<
,()f x ∴在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是构函数.12x x ≠, 不妨设
12112
x x <,则22
12x x <. 于是
()()
1222
12
12
f x f x x x -<-, 等价于()()22
12121122
f x f x x x ->
-, 即()()22
11221122
f x x f x x ->-.
令()()211ln 2g x f x x x a a ⎛
⎫=-
=-+ ⎪⎝
⎭.(0)x x >. ()11g x a x a ⎛⎫=
-+ ⎪⎝'⎭在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是减函数, ()11122202g x g a a a a ⎛⎫⎛
⎫∴=-+-⋅= ⎝
''⎪ ⎪⎝⎭⎭,
从而()g x 在1,12⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上是减函数.∴对任意
12112x x <,有()()12g x g x >,即()()22
11221122
f x x f x x ->-.
∴当10,2a ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时,对任意()()()12121222
12
11,,1,22f x f x x x x x x x -⎡⎤∈≠<⎢⎥-⎣⎦恒成立.。