(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(答案解析)

一、选择题
1．已知(
)
2
2log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,4
B ．[)0,4
C ．()0,2
D ．[)0,2
2．若实数x ，y 满足1,,1,x y y x y +≤⎧⎪
≤⎨⎪≥-⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．3-
B ．0
C ．1
D ．3
3．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为
（ ） A ．32-
B ．28-
C ．2
D ．3
4．已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≤⎩
，则32z x y =-的最小值是 （ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
5．当02x π
<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x
f x x
++=的最小值为（ ）
A ．2
B
．C ．4
D
．6．已知变量,x y 满足约束条件50
21010x y x y x +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-≥⎩
，则目标函数=21z x y =+-的最大值为
（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
7．已知实数x ，y 满足222y x x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
，3z x y =-，则z 的最小值是（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
8．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（ ） A ．
275
B ．
245
C ．5
D ．6
9．对于任意实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．
11a b
< B ．a 2＞b 2 C ．a 3＞b 3 D ．
a b b a
>
10．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）
A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅
B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+
C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦
D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
11．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．m ≤0 B ．0≤m <
5
7
C ．m <0或0<m <
57
D ．m <
57
12．如果0a b >>，0t >，设b M a =，b t N a t
+=+，那么（ ） A ．M N < B ．M N >
C ．M
N
D ．M 与N 的大小关系和t 有关
二、填空题
13．已知正数a ，b 满足30a b ab +-+=，则ab 的最小值是________．
14．设点(),P x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪
-+≤⎨⎪≤⎩
，所表示的区域内（含边界），则目
标函数4z x y =-的最大值是_________.
15．已知变量x ，y 满足430
401
x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则点(),x y 对应的区域的222x y xy +的最大值为
______．
16．已知1,1,1,x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
当z x y =+取到最小值时，xy 的最大值为________.
17．非负实数x ，y ，满足360x y +-≥，则521z x y =+-的最小值为__________． 18．已知0a >，0b >，若a ，1，b 依次成等差数列，则
41
a b
+的最小值为________． 19．已知ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =，AF x AB y AC =+，则xy 的最大值为________. 20．已知x ，y 是正数，
121x y +=，则21
x y xy ++的最小值为________. 三、解答题
21．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米. 求：（1）写出x 与y 的关系式；
（2）求出仓库面积S 的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
22．用铁皮做一个体积为350cm ，高为2cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少cm 时，用料最省？
23．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)＞2x ＋5.
24．已知函数2()3f x x ax a =-++. （1）当7a =时，解不等式()0f x >；
（2）当x ∈R 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 25．（1）已知()2f
x kx =+，不等式()3f x <的解集为
()1,5-，不等式()1x
f x ≥的解
集为A .求集合A ；
（2）解关于x 的不等式()2
220ax a x +--≥. 26．已知圆22:4210C x y x y +---=． （1）求y 轴被圆C 所截得的线段的长；
（2）过圆C 圆心的直线与两坐标轴在第一象限内围成的三角形面积为S ，求S 的最小值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
由对数函数的单调性可得210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠求解. 【详解】
()2
2log 31ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立，
即232ax ax ++>，即210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立， 当0a =时，10>恒成立，满足题意，
当0a ≠时，则2
40a a a >⎧⎨∆=-<⎩
，解得04a <<， 综上，a 的取值范围为[)0,4. 故选：B. 【点睛】
本题考查一元二次不等式的恒成立问题，解题的关键是得出210ax ax ++>对于任意的
x ∈R 恒成立. 2．D
解析：D 【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可求出结果. 【详解】
由x ，y 满足条件1,,1,x y y x y +≤⎧⎪
≤⎨⎪≥-⎩
作出可行域，如图.
则()()1,1,2,1B C ---，由1x y y x
+=⎧⎨
=⎩得1
1,22A ⎛⎫
⎪⎝⎭
目标函数2z x y =+，化为2y x z =-+ 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.
由图可知，当直线2y x z =-+过点C 时，z 有最大值. 所以z 的最大值为：2213z =⨯-= 故选：D
【点睛】
方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;
二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;
三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
3．D
解析：D 【分析】
作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形
结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】
作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
，表示的可行域如图中阴影部分所示，
由z ＝3x -4y 得344z
y x =
-，它表示斜率为34纵截距为4
z
-的一系列直线， 当直线经过点A 时，直线的纵截距4
z
-
最小，z 最大.
由0
3
x y m x +-=⎧⎨
=⎩，解得A (3，m －3)，
故()max 33439z m =⨯--=，解得3m =. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1）根据题意，设出变量,x y ； （2）列出线性约束条件；
（3）确定线性目标函数(,)z f x y =；
（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）； （5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z =为参数).
4．C
【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案.
【详解】
由实数x，y满足
24
24
x y
x y
y
-≥
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪≤
⎩
得到可行域如图：z＝3x﹣2y变形为y＝
3
2
x﹣
2
z
，
由
24
y
x y
=
⎧
⎨
-=
⎩
，解得B（2，0）
当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，z最小，
所以z的最小值为3×2﹣2×0＝6；
故选C．
【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
5．C
解析：C
【解析】
0,tan0
2
x x
π
<∴，
()2
1cos28sin
sin2
x x
f x
x
++
=
222
2cos8sin28tan11
4tan4tan4 2sin cos2tan tan tan
x x x
x x
x x x x x
++
===+≥⨯=，当且仅当
1
tan
2
x=时取等号，函数()2
1cos28sin
sin2
x x
f x
x
++
=的最小值为4，选C.
6．C
解析：C
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【详解】
由约束条件
50
210
10
x y
x y
x
+-≤
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪-≥
⎩
作出可行域如图，
联立
1
50
x
x y
=
⎧
⎨
+-=
⎩
，解得A（1，4），
化目标函数z＝x+2y﹣1为y
1 22
2
x z
=-++，
由图可知，当直线y
1
222
x z
=-++过A时，z有最大值为8．
故选C．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
7．D
解析：D
【分析】
根据约束条件画出可行域，将问题转化为
1
33
z
y x
=-在y轴截距最大值的求解问题，利用数形结合的方式可求得结果.
【详解】
由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：
由3z x y =-得：133z y x =-， ∴当z 取最小值时，133
z
y x =-在y 轴截距最大；
由图象可知，当133
z
y x =
-过点A 时，在y 轴截距最大， 由2
22x x y =-⎧⎨+=⎩得：()2,2A -，min 2328z ∴=--⨯=-. 故选：D . 【点睛】
本题考查线性规划中的最值问题的求解，关键是能够将所求最值转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题，属于常考题型.
8．A
解析：A 【解析】
正数x ，y 满足35x y xy +=,则
13
155y x
+=，()13493627
43433325555255x y x y x y y x y x
⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
故答案为A.
点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．
9．C
解析：C 【解析】
根据题意，依次分析选项：对于A ，当2a =，2b =-时，11
a b
>
，故A 错误；对于B ，
当1a =，2b =-时，22a b <，故B 错误；对于C ，由不等式的性质可得C 正确；对于D ，当1a =，1b =-时， a b
b a
=
，故D 错误；故选C. 10．B
解析：B 【分析】
将函数()3x
f x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断
C ；由基本不等式可判断
D ；即可得解. 【详解】
对于A ，1212)
(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；
对于B ，()12
123
x x f x x -=⋅，1
212()()3
3x x f x f x --++=，
()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；
对于C ，因为()3x
f x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；
对于D ，因为12x x <，
所以1212()()2233x x f x f x --++=>=12
122
32x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭
=，
故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.
11．D
解析：D 【分析】
将()4f x m <-+恒成立转化为g (x ) = mx 2－mx ＋m －5 < 0恒成立，分类讨论m 并利用一元二次不等式的解法，求m 的范围 【详解】
若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立 即可知：mx 2－mx ＋m －5 < 0在x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}上恒成立 令g (x )＝mx 2－mx ＋m －5，对称轴为12
x = 当m ＝0时，－5 < 0恒成立
当m < 0时，有g (x )开口向下且在[1,3]上单调递减
∴在[1,3]上max ()(1)50g x g m ==-<，得m < 5，故有m < 0 当m >0时，有g (x ) 开口向上且在[1,3]上单调递增 ∴在[1,3]上max ()(3)750g x g m ==-<，得507
m <<
综上，实数m 的取值范围为57
m < 故选：D 【点睛】
本题考查了一元二次不等式的应用，将不等式恒成立等价转化为一元二次不等式在某一区间内恒成立问题，结合一元二次不等式解法，应用分类讨论的思想求参数范围
12．A
解析：A 【分析】
对M 与N 作差，根据差值的正负即可比较大小. 【详解】
()()()()()
b a t a b t t b a b b t M N a a t a a t a a t +-+-+-=-==+++，因为0a b >>，所以0b a -<， 又0t >，所以0a t +>，所以()
()
0t b a a a t -<+，即0M N -<，所以M N <.
故选：A 【点睛】
本题主要考查作差法比较大小，考查学生的化简分析能力，属于常规题型.
二、填空题
13．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解【详解】为正实数当且仅当时取等号即解得：或（舍去）当且仅当时取等号即的最小值是9故答案为：9【点睛】关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值解题的关键
解析：9 【分析】
由已知结合基本不等式a b +≥，即可直接求解． 【详解】
30a b ab +-+=，3a b ab ∴+=-
,a b 为正实数，a b ∴+≥a b =时取等号，
3ab ∴-≥30ab ∴-≥，即
)
3
10≥
3≥1≤-（舍去），
9ab ∴≥，当且仅当3a b ==时取等号，即ab 的最小值是9．
故答案为：9 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是利用基本不等式将已
的一元二次不等式，进而解不等式得解，考查学生的转化思想与运
算能力，属于基础题．
14．【分析】根据线性约束条件画出可行域将目标函数化为直线方程通过平移即可求得目标函数的最大值【详解】由题意作出可行域如图目标函数可化为上下平移直线数形结合可得当直线过点A 时z 取最大值由可得所以故答案为： 解析：163
【分析】
根据线性约束条件，画出可行域，将目标函数化为直线方程，通过平移即可求得目标函数的最大值.
【详解】
由题意作出可行域，如图，
目标函数4z x y =-可化为4y x z =-，
上下平移直线4y x z =-，数形结合可得，当直线过点A 时，z 取最大值，
由2103x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以54164333
max z =⨯-=. 故答案为：163
. 【点睛】
方法点睛：求线性目标函数的在约束条件下的最值问题的求解步骤是：①作图，画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ； ②平移，将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；③求值，解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.
15．【分析】作出可行域令所以利用函数的单调性即可求最值【详解】由解得：所以由解得：所以表示可行域内的点与原点连线的斜率所以令所以在单调递减在单调递增当时当时所以的最大值为故答案为：【点睛】思路点睛：非线
解析：53
【分析】
作出可行域，令y
t
x
=，
OA OB
y
k k
x
≤≤，所以
7
,3
13
t
⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
，22111
222
x y x y
t
xy y x t
⎛⎫
+⎛⎫
=+=+
⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
，利用函数的单调性即可求最值.【详解】
由
430
40
x y
x y
-+=
⎧
⎨
+-=
⎩
解得：
13
5
7
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，所以
137
,
55
A
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
由
1
40
x
x y
=
⎧
⎨
+-=
⎩
解得：
1
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，所以()
1,3
B，
y
x
表示可行域内的点与原点连线的斜率，所以
OA OB
y
k k
x
≤≤,
7
07
5
1313
5
OA
k
-
==
-
，
30
3
10
OB
k
-
==
-
，令
7
,3
13
y
t
x
⎡⎤
=∈⎢⎥
⎣⎦
，
所以
22111
222
x y x y
t
xy y x t
⎛⎫
+⎛⎫
=+=+
⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
，
1
y t
t
=+在
7
,1
13
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
单调递减，在[]
1,3单调递增，
当3
t=时，
1713109
213791
y
⎛⎫
=+=
⎪
⎝⎭
，
当7
5
t=时，
115
3
233
y
⎛⎫
=+=
⎪
⎝⎭
，
所以
22
2
x y
xy
+
的最大值为
5
3
，
故答案为：53. 【点睛】 思路点睛： 非线性目标函数的常见类型及解题思路： 1.
斜率型：()0b
y ay b a a z ac d cx d c x c
+
+==⋅≠++表示的是可行域内的点(),x y 与点,d b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
连线所在直线的斜率的a c 倍； 2.距离型：（1）()()22
z x a y b =-+-表示的是可行域内的点(),x y 与(),a b 之间距离的平方；
（2）2222Ax By C
z Ax By C A B A B ++=++=+⋅+表示的是可行域内的点(),x y 到直线
0Ax By C ++=的距离的22A B +倍.
16．【分析】根据约束条件作出可行域将目标函数变形为通过平移可知当直线与直线重合时取得最小值再利用基本不等式求解即可【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域如图所示：将目标函数变形为由图可知当直线与直线重
解析：14
【分析】
根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为y x z =-+，通过平移可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时，z 取得最小值，再利用基本不等式求解即可.
【详解】
作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：
将目标函数z x y =+变形为y x z =-+，
由图可知当直线y x z =-+与直线1x y +=重合时，z 取得最小值，此时1x y +=，
所以21()24x y xy +≤=，当且仅当x y =且1x y +=，即12
x y ==时等号成立. 所以xy 的最大值为
14. 故答案为：
14
【点睛】 本题主要考查简单线性规划问题中的目标函数最值问题及基本不等式，解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解目标函数的几何意义.
17．3【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义即可得到结论【详解】解：解：不等式组为对应的平面区域为如图阴影所示由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时最小代入目标函数得即 解析：3
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．
【详解】
解：解：不等式组为00360x y x y ⎧⎪⎨⎪+-≥⎩
，对应的平面区域为如图阴影所示，
由521z x y =+-得5122z y x +=-
+，平移直线5122z y x +=-+， 由图象可知当直线5122z y x +=-
+经过点()0,2时， 直线5122
z y x +=-+的截距最小，此时z 最小． 代入目标函数521z x y =+-得02213z =+⨯-=．
即目标函数521z x y =+-的最小值为3．
故答案为：3
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于中档题．
18．【分析】由a1b 依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b 依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定 解析：92
【分析】
由a ，1，b 依次成等差数列，可得2a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算，即可求得答案．
【详解】
0a >，0b >，且a ，1，b 依次成等差数列，
∴2a b +=， ∴()411411414941(52)2222
b a b a a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当
4b a a b =，即43a =，23b =，取等号， 故14a b +的最小值为92
． 故答案为：
92
． 【点睛】
本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
19．【分析】首先根据平面向量的线性运算表示出再根据向量相等得到最后利用基本不等式计算可得；【详解】解：因为DE 分别为ABAC 的中点所以又所以由所以当且仅当时取等号；故答案为：【点睛】本题考查平面向量基本 解析：116
【分析】 首先根据平面向量的线性运算表示出()11122AF t AB AC =
-+，再根据向量相等得到12
x y +=，最后利用基本不等式计算可得； 【详解】
解：因为D 、E 分别为AB 、AC 的中点，DF tDE =， 所以()
12AF AD DF AD tDE AB t AE AD =+=+=+- ()1111112222
2AB t AC AB t AB AC ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭ 又AF x AB y AC =+，所以()11212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由12x y += 所以21216x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当14x y ==时取等号； 故答案为：
116
【点睛】
本题考查平面向量基本定理的应用，以及基本不等式的应用，属于中档题. 20．【分析】首先将题中已知条件转化可得利用基本不等式可求得之后应用不等式的性质求得结果【详解】由可得即所以由得当且仅当时取等号所以有所以所以的最小值为当且仅当时取等号故答案为：【点睛】该题考查的是有关求 解析：89
【分析】
首先将题中已知条件转化，可得2x y xy +=，利用基本不等式可求得8xy ≥，之后应用不等式的性质求得结果.
【详解】
由121x y +=可得21x y xy
+=，即2x y xy +=， 所以211111x y xy xy xy xy
+==+++，
由121x y =+≥ 得8xy ≥，当且仅当24x y ==时取等号， 所以有1108xy <≤，19118xy <+≤，18191xy
≥+， 所以21811191x y xy xy xy xy
+==≥+++， 所以21x y xy ++的最小值为89
，当且仅当24x y ==时取等号， 故答案为：
89
. 【点睛】
该题考查的是有关求最值的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，利用不等式的性质求最值，属于中档题. 三、解答题
21．（1）()320408029
x y x x -=
<<+；（2）面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米.
【分析】
（1）由已知条件得出4090203200x y xy ++=，即可得出x 与y 的关系式； （2）化简得出()16991782929S x x ⨯⎡⎤=-++
⎢⎥+⎣⎦，利用基本不等式可求得S 的最大值，利用等号成立的条件可求得x 的值.
【详解】
（1）由于铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，由题意可得40245203200x y xy +⨯+=， 即492320x y xy ++=，解得320429
x y x -=+， 由于0x >且0y >，可得080x <<，
所以，x 与y 的关系式为()320408029
x y x x -=<<+；
（2）
()33822932043383382229292929x x x S xy x x x x x x x x -+-⎛⎫==⋅
=⋅=⋅-=- ⎪++++⎝⎭
()()169291699169916992169217829292929
x x x x x x x +-⨯⨯⨯=-=--=-+-+++()
16991782917810029x x ⨯⎡⎤=-++≤-=⎢⎥+⎣⎦， 当且仅当16992929x x ⨯+=+时，即当15203x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
时，等号成立， 因此，仓库面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面铁棚应设计为15米.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，建立函数解析式是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 22．铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.
【分析】
法一：因为体积为350cm 高为2cm ，所以底面积是定值25，设长为xcm ，则宽为25x ，列出表面积结合基本不等式即可；
法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最值. 【详解】
解法1：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x ，则.. 表面积251002544425S x x x x
=++⨯=++
.. 2565≥=.. 当且仅当25x x
=
，即5x =时，表面积有最小值65. 所以这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.
解法2：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x ，表面积为2ycm ，则. ()2510025444250y x x x x x
=++⨯=++> 22210041004x y x x
-'=-=.. 令2241000x y x
-'==得，5x =.
当()0,5x ∈时，0y '<，函数224100x y x
-'=为减函数； 当()5,+∈∞x 时，0y '>，函数224100x y x
-'=为增函数； 所以当5x =时，y 有最小值65.
答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.
23．(1)2()1f x x x =-+;(2)()
(),14,-∞-+∞
【分析】
(1) 设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，利用待定系数法即可求出f （x ）；
(2) 利用一元二次不等式的解法即可得出．
【详解】
(1).设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，
∵函数f （x ）满足f （x+1）﹣f （x ）＝2x ， ∴ f(x ＋1)－f(x)=()()211a x b x c ++++-()
2ax bx c ++=2ax+a+b=2x ∴ 220a a b =⎧⎨+=⎩ ，解得11
a b =⎧⎨=-⎩．且f （0）＝1．∴ c=1 ∴f （x ）＝x 2﹣x+1．
(2) 不等式f （x ）＞2x+5，即x 2﹣x+1＞2x+5，化为x 2﹣3x ﹣4＞0．
化为（x ﹣4）（x+1）＞0，解得x ＞4或x ＜﹣1．
∴原不等式的解集为()(),14,-∞-⋃+∞
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法，熟练掌握其方法是解题的关键，属于中档题.
24．（1）(,2)(5,)-∞⋃+∞；（2）[2,6]-.
【分析】
（1）当7a =是，解一元二次不等式求得不等式()0f x >的解集.
（2）利用判别式列不等式，解不等式求得a 的取值范围.
【详解】
（1）当7a =时，不等式为27100x x -+>，即(2)(5)0x x -->，
∴该不等式解集为(,2)(5,)-∞⋃+∞ .
（2）由已知得，若x ∈R 时，230+++≥x ax a 恒成立，
24(3)0a a ∴∆=-+≤，
即(2)(6)0a a +-≤，∴a 的取值范围为[2,6]-.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题. 25．（1）[)1,2；（2）见解析
【分析】
（1）由题意得，23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩
，由此可求得()2f x x =-+，代入后转化为一元二次不等式即可求出答案；
（2）分类讨论法解不等式即可．
【详解】
解：（1）∵()2f x kx =+，不等式()3f x <的解集为()1,5-，
∴方程23kx +=的解集为1,5， ∴23523k k ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩
，解得1k =-， ∴()2f x x =-+，
∴()112x x f x x ≥⇔≥-+()2102x x -⇔≤-()()12020x x x ⎧--≤⇔⎨-≠⎩
， 解得12x ≤<，
∴[)1,2A =；
（2）∵()2
220ax a x +--≥， ①当0a =时，原不等式化为220x --≥，解得1x ≤-； 当()2010a a x x a ⎛
⎫≠∴-+≥ ⎪⎝⎭
， ②当0a >时，原不等式化为()210x x a ⎛⎫-
+≥ ⎪⎝⎭， 解得1x ≤-，或2x a
≥； ③当0a <时，原不等式化为()210x x a ⎛
⎫-
+≤ ⎪⎝⎭， 1︒当
21a =-即2a =-时，原不等式化为()210x +≤，解得1x =-； 2︒当21a
<-即20a -<<时，解得21x a ≤≤-； 3︒当21a >-即2a <-时，解得21x a
-≤≤； 综上：当2a <-时，原不等式的解集为21,x a
⎡
⎤∈-⎢⎥⎣⎦； 当2a =-时，原不等式的解集为{}1x ∈-；
当20a -<<时，原不等式的解集为2,1x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
； 当0a =时，原不等式的解集为(],1x ∈-∞-； 当0a >时，原不等式的解集为(]2,1,x a ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
． 【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查转化与化归思想，考查分类讨论法，属于中档题．
26．（1）2）4 【分析】
（1）将0x =代入22:4210C x y x y +---=可得2
210y y --=，将线段长为
12y y -=
和韦达定理相结合即可得出结果；
（2）设:
1(,0)x y
l a b a b +=>，由直线过圆心可得211a b
=+，利用基本不等式可得8ab ≥，最后根据三角形面积公式即可得出结果. 【详解】
（1）设圆22:4210C x y x y +---=与y 轴的交点为()10y ,，()20,y ， 将0x =代入22:4210C x y x y +---=可得2
210y y --=， 即122y y +=，121y y ⋅=-，
所以y 轴被圆C 所截得的线段的长为12y y -==
（2）设:
1(,0)x y
l a b a b +=>，由于l 过(2,1)C ，∴211a b
=+，
利用基本不等式，得2118ab a b =+≥≥，∴142
S ab =≥， 即S 的最小值为4， 此时4,2a b ==，:142
x y
l +=，即:240l x y +-= 【点睛】
本题主要考查了直线截圆所得弦长问题，直线截距式的应用，利用基本不等式求最值，属于中档题.。