湖北省荆州市实验高级中学2019年高一数学理月考试卷含解析

湖北省荆州市实验高级中学2019年高一数学理月考试
卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 化简cos（2π﹣θ）cos2θ+sinθsin（π+2θ）所得的结果是（）
A．cosθB．﹣cosθC．cos3θD．﹣cos3θ
参考答案：
C
【考点】运用诱导公式化简求值；两角和与差的余弦函数．
【分析】利用诱导公式化简后，利用两角和的余弦函数化简求解即可．
【解答】解：∵诱导公式：cos（α+2kπ）=cosα，k∈Z；
cos（﹣α）=cosα，sin（π+α）=﹣sinα；
余弦的两角和公式：cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ
cos（2π﹣θ）cos2θ+sinθsin（π+2θ）
=cos（﹣θ）cos2θ+sinθ（﹣sin2θ）
=cosθcos2θ﹣sinθsin2θ
=cos（θ+2θ）
=cos3θ
故选：C．
2. 下列图形中可以是某个函数的图象的是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
D
【考点】31：函数的概念及其构成要素．
【分析】由函数的概念，A、B、C中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数的定义．【解答】解：由函数的概念，A、B、C中有的x，存在两个y与x对应，
不符合函数的定义，
而D符合．
故选：D．
3. 设函数（，为自然对数的底数），若存在实数,使
成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C. D ．
参考答案：
B
试题分析：由题设可得,而函数与互为反函数,因此问题转化为函数与在区间上有解.即
,也即区间上有解,令函数,则
,即函数在区间单调递增,所以,即,故应选B.
考点：互为反函数的图象和性质及函数方程思想的综合运用.
【易错点晴】解答本题的关键是对条件存在实数,使成立的理解和运
用.这里要充分借助互为反函数的图象之间的关系建立符合题设条件的方程
.求解时,不难运用所学知识将其进行转换为区间上有解,令函数,则,即函数在区间单调递增,所以,即的取值范围是,使得问题获解.
4. 非空集合A中的元素个数用（A）表示，定义（A﹣B）=，若
A={﹣1，0}，B={x||x2﹣2x﹣3|=a}，且（A﹣B）≤1，则a的所有可能值为（）A．{a|a≥4}B．{a|a＞4或a=0} C．{a|0≤a≤4}D．{a|a≥4或a=0}
参考答案：
C
【考点】分段函数的应用．
【分析】根据已知条件容易判断出a＞0，所以由集合B得到两个方程，x2+2x﹣3﹣a=0，或x2+2x﹣3+a=0．容易判断出方程x2+2x﹣3﹣a=0有两个不等实数跟，所以根据已知条件即知方程x2+2x﹣3+a=0有两个不相等实数根，所以判别式△=4﹣4（a﹣3）≥0，这样即可求出a的值．
【解答】解：（1）若a=0，得到x2﹣2x﹣3=0，解得x=﹣1或3，即B={﹣1，3}，
∴集合B有2个元素，则（A﹣B）=0，符合条件（A﹣B）≤1，
（2）a＞0时，得到x2﹣2x﹣3=±a，即x2﹣2x﹣3﹣a=0或x2﹣2x﹣3+a=0；
对于方程x2﹣2x﹣3﹣a=0，△=4+4（3+a）＞0，该方程有两个不同实数根，
则（A﹣B）=0，符合条件（A﹣B）≤1，
对于方程x2﹣2x﹣3+a=0，△=4+4（3﹣a）≥0，
0＜a≤4时，该方程有两个不同实数根，符合条件（A﹣B）≤1，
综上所述a的范围为0≤a≤4，
故选：C
【点评】考查对新定义（A﹣B）的理解及运用情况，以及描述法表示集合，一元二次方程解的情况和判别式△的关系．
5. 若x0是方程的解，则x0属于区间（）
A．（，1）B．（，）C．（，）D．（0，）
参考答案：
C
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】压轴题．
【分析】由题意x0是方程的解，根据指数函数和幂数函数的增减性进行做题．
【解答】解：∵，，
∴x0属于区间（，）．
故选C．
【点评】此题主要考查函数的零点与方程根的关系，利用指数函数的增减性来做题，是一道好题．
6. （5分）若将函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数f（x）=sin（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）
A． 1 B． 2 C．D．
参考答案：
D
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，结合正弦函数的图象特征，可得ω的最小值．
解答：将函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，得到函数y=sin（ωx﹣+）的图象．
根据所得函数的图象与函数f（x）=sin（ωx+）的图象重合，可得﹣
+=2kπ+，k∈z，
即ω=﹣6k+，故ω的最小值为，
故选：D．
点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化的数学思想，属于基础题．
7. 对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图，根据标准，产品长度在区间[20,25)上为一等品，在区间[15,20)和[25,30)上为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上为三等品，用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）
A．0.09 B．0.20
C．0.25 D．0.45
参考答案：
D
由题意得，产品长度在区间[25,30)上的频率为
，
所以，从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的频率为，
即所求概率为0.45．
故选D．
8. 当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，半径为的圆的方程为( )
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
参考答案：
C
9. 已知函数，其中表示不超过的最大整数，如，
，则的值域是
（）
A．（0，1）B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
参考答案：
C
10. 函数若是的最小值，则的范
围（）
A.[－2,2]
B. [－3, －2]
C. (－∞, －2]∪[2,+ ∞)
D. (－∞, －1]
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. ，，，则的值等于___________.
参考答案：
试题分析：首先，由，可知：，又，得或①，同理，由，可知：，，得②，由①②，得（舍去），或
，故.
考点：三角恒等变换中的求值.
12. 若函数与函数图象有且只有两个交点，则实数的取值范围
是。

参考答案：
13. 若,，且与的夹角为，则．
参考答案：
14. 若直线（a+1）x+ay=0与直线ax+2y=1垂直，则实数a= ．
参考答案：
0或﹣3
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】对a分类讨论，利用两条直线相互垂直的条件即可得出．
【解答】解：当a=0时，两条直线方程分别化为：x=0，2y=1，此时两条直线垂直，因此a=0满足条件．
当a≠0时，两条直线的斜率分别为﹣，﹣，而﹣?（﹣）=﹣1，此时a=﹣3．
综上可得：a=0或﹣3．
故答案为：0或﹣3．
15. （5分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球O的体积为4π，则球心0到正方体的一个面ABCD的距离为．
参考答案：
1
考点：球内接多面体．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据球的体积公式算出球的半径R=，从而得到正方体的对角线长为2 ，可得正方体的棱长为2．再由球心O是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中心，得到点O到正方体的一个面的距离等于正方体棱长的一半，从而算出答案．
解答：解设球O的半径为R，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，
∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，
∴正方体的对角线长等于球O的直径，可得2R=a．
又∵球O的体积为4π，
∴V=?R3=4π，解得R=，
由此可得a=2R=2，解得a=2．
∵球O是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，
∴点O是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中心，
可得点O到正方体的一个面的距离等于正方体棱长的一半，即d=a=1．
因此，球心O到正方体的一个面ABCD的距离等于1．
故答案为：1．
点评：本题给出正方体的外接球的体积，求球心到正方体一个面的距离．着重考查了正方体的性质、球的体积公式与球内接多面体等知识，属于基础题．
16. 函数f（x）=sin（πx）﹣，x∈[﹣4，2]的所有零点之和为．
参考答案：
﹣4
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由题意函数y=sin（πx）﹣，x∈[﹣4，2]的零点，即sin（πx）=的根；作出函数y=sin（πx）与y=的图象结合函数的对称性，可得答案．
【解答】解：函数y=sin（πx）﹣，x∈[﹣4，2]的零点，即sin（πx）=的根；
作出函数y=2sin（πx）与y=在x∈[﹣4，2]上的图象，如下图所示：
由图可得：两个函数的图象有4个不同的交点，
且两两关于点（﹣1，0）对称，
故四个点横坐标之和为﹣4，
即函数f（x）=sin（πx）﹣，x∈[﹣4，2]的所有零点之和为﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．
17. 定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为．参考答案：
5
【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．
【分析】画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象，即可得出结论．
【解答】解：画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象如图实数：
由图可知，在一个周期内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在（π，2π]上有1个交点，
所以函数y=2sinx与y=cosx在区间[0，5π]上图象共有5个交点．
故答案为：5．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分8分）若函数为奇函数，当时，（如图）．（1）求函数的表达式，并补齐函数的图象；
（2）用定义证明：函数在区间上单调递增．
参考答案：
（Ⅰ）任取，则由为奇函数，
则………1分
综上所述，…………………………………………2分
补齐图象。

（略）…………………………………………4分
（Ⅱ）任取，且，…………………………………5分则………………………………6分
…………………………………7分
∵∴
又由，且，所以，∴
∴，∴，即
∴函数在区间上单调递增。

…………………………8分
19. 规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1(g(x))．
(1)若x＝，分别求f1(x)和f2(x)；
(2)若f1(x)＝1，f2(x)＝3同时满足，求x的取值范围．
参考答案：
(1)当x＝时，4x＝，
∴f1(x)＝＝1，g(x)＝－＝，
∴f2(x)＝f1[g(x)]＝f1＝[3]＝3.
(2)由f1(x)＝[4x]＝1，得g(x)＝4x－1，
于是f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3.
∴
∴≤x<．
20. 已知是的三个内角,其对边分别为且
（I）求的值；（II）若角A为锐角，求角和边的值.
参考答案：
解：（I）由题意知：
（II）由题意知：
略
21. 已知数列{a n}满足：，，数列{b n}满足：
（）．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列{b n}的前n项和S n，并比较S n与2的大小.
参考答案：
（1）见证明；（2）见解析
【分析】
(1)将原式变形为，进而得到结果；（2）根据第一问得到，错位相减得到结果.
【详解】（1）由条件得，易知，两边同除以得，又，
故数列是等比数列，其公比为.
（2）由（1）知，则
……①
……②
两式相减得
即.
【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

22. （Ⅰ）已知，求；
（Ⅱ）已知，求.
参考答案：
（I）；（II）．
考点：三角函数的化简求值．。