3263-2020闵行二模

n
上海市闵行区 2020 届高三二模数学试卷
2020.5
一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 设集合 A = {1,3,5,7} ， B = {x | 4 ≤ x ≤ 7} ，则 A B =
2. 已知复数 z 满足i ⋅ z = 1+ i （ i 为虚数单位），则Im z =
3. 若直线ax + by +1 = 0 的方向向量为(1,1) ，则此直线的倾斜角为
4. 记 S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和，若S 3 = 2S 1 + S 2 ， a 1 = 2 ，则 a 5 =
5. 已知圆锥的母线长为 10，母线与轴的夹角为 30°，则该圆锥的侧面积为
6. 在( 3 x - 1
)8 的二项展开式中，常数项的值为
x
7. 若 x 、 y 满足| x |≤ y +1，且 y ≤ 1 ，则 x + 3y 的最大值为
8. 从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取 3 个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概率为
（结果用最简分数表示）
9. 已知直线l 1 : y = x ，斜率为q （ 0 < q < 1）的直线l 2 与
x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B 0 (0, a ) ，过 B 0 作 x 轴的平
行线，交l 1 于点 A 1 ，过 A 1 作 y 轴的平行线，交l 2 于点 B 1 ， 再过 B 1 作 x 轴的平行线交l 1 于点 A 2 ， ⋅⋅⋅，这样依次得线段
B 0 A 1 、 A 1B 1 、 B 1 A 2 、 A 2 B 2 、⋅⋅⋅、 B n -1 A n 、 A n B n ，
记 x 为点 B 的横坐标，则lim x =
n →∞
10. 已知 f (x + 2) 是定义在R 上的偶函数，当 x 1 , x 2 ∈[2, +∞) ，且 x 1 ≠ x 2 ，总有
x 1 - x 2
f (x 1 ) - f (x 2 )
< 0 ，则不等式 f (-3x +1 +1) < f (12) 的解集为
11. 已知 A 、 B 、C 是边长为 1 的正方形边上的任意三点，则 AB ⋅ AC 的取值范围为
12. 已知函数 f (x ) =| sin x | + | cos x | -4sin x c os x - k ，若函数 y = f (x ) 在区间(0,π ) 内恰好有奇数个零点，则实数k 的所有取值之和为
二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13. 在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
14. 某县共有 300 个村，现采用系统抽样方法，抽取 15 个村作为样本，调查农民的生活和
3 A 生产状况，将 300 个村编上 1 到 300 的号码，求得间隔数k =
300
= 20 ，即每 20 个村抽取
15
一个村，在 1 到 20 中随机抽取一个数，如果抽到的是 7，则从 41 到 60 这 20 个数中应取的
号码数是（ ）
A. 45
B. 46
C. 47
D. 48
15. 已知抛物线的方程为 y 2 = 4x ，过其焦点 F 的直线交此抛物线于 M 、 N 两点，交 y 轴 于点 E ，若 EM = λ1 MF ， EN = λ2 NF ，则λ1 + λ2 = （ ）
A. -2
B. -
1
2
C. 1
D. -1
16. 关于 x 的实系数方程 x 2 - 4x + 5 = 0 和 x 2 + 2mx + m = 0 有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ）
A. {5}
B. {-1}
C. (0,1)
D. (0,1)
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
17. 在直三棱柱
ABC - A 1B 1C 1 中，AB ⊥ BC ，AB = BC = 2 ，AA 1 = 2 上一点，设 MC = h .
（1） 若h =
，求多面体
ABM - A 1B 1C 1 的体积； （2） 若异面直线 BM 与 A 1C 1 所成的角为 60°，求h 的值.
，M 是侧棱C 1C
18. 已知函数 f (x ) = 3cos 2 ωx + 3sin ωx cos ωx （ω > 0 ）.
（1） 当 f (x ) 的最小正周期为2π 时，求ω 的值；
（2） 当ω = 1时，设△ ABC 的内角 A 、 B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，
已知 f ( ) = 3 ，且 a = 2 7 ， b = 6 ，求△ ABC 的面积.
2
{-1}
3
y 19. 如图， A 、B 两地相距 100 公里，两地政府为提升城市的抗疫能力，决定在 A 、B 之间选址 P 点建造储备仓库，共享民生物资，当点 P 在线段 AB 的中点C 时，建造费用为 2000 万元，若点 P 在线段 AC 上（不含点 A ），则建造费用与 P 、A 之间的距离成反比，若点P 在线段CB 上（不含点 B ），则建造费用与 P 、B 之间的距离成反比，现假设 P 、A 之间的距离为 x 千米（ 0 < x < 100 ）， A 地所需该物资每年的运输费用为2.5x 万元， B 地所需该物资每年的运输费用为0.5(100 - x ) 万元， f (x ) 表示建造仓库费用， g (x ) 表示两地物资每 年的运输总费用（单位：万元）.
（1） 求函数 f (x ) 的解析式；
（2） 若规划仓库使用的年限为n （ n ∈ N *
）， H (x ) = f (x ) + ng (x ) ，求 H (x ) 的最小值，
并解释其实际意义.
20. 在平面直角坐标系中， A 、 B 分别为椭圆Γ : x 2 + 2
2
= 1 的上、下顶点，若动直线l 过
点 P (0,b ) （ b > 1 ），且与椭圆Γ 相交于C 、 D 两个不同点（直线l 与 y 轴不重合，且C 、
D 两点在 y 轴右侧， C 在 D 的上方），直线 AD 与 BC 相交于点Q .
（1） 设Γ 的两焦点为 F 1 、 F 2 ，求∠F 1 AF 2 的值；
（2） 若b = 3 ，且 PD =
3
PC ，求点Q 的横坐标； 2
（3） 是否存在这样的点 P ，使得点Q 的纵坐标恒为1
？
3
若存在，求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由.
21. 已知数列{x }，若对任意n ∈ N * ，都有
x n + x n +2
> x
成立，
n
则称数列{x n }为“差增数列”.
2
n +1
（1） 试判断数列a n = n （ n ∈ N ）是否为“差增数列”，并说明理由； 2 *
（2） 若数列{a } 为“差增数列”，且a ∈ N *
， a = a = 1，对于给定的正整数m ，
n
n
1
2
当 a k = m ，项数k 的最大值为 20 时，求m 的所有可能取值的集合； （3）若数列{lg x n } 为“差增数列”，（ n ∈ N *
， n ≤ 2020 ）， 且lg x 1 + lg x 2 + ⋅⋅⋅ + lg x 2020 = 0 ，证明： x 1010 x 1011 < 1 .
参考答案
一. 填空题 1. {5, 7} 2. -1
π
3.
4. 6 4
5. 50π
6. 28
7. 5
8. 1
21
a
9.
1- q
10. (1, +∞)
11.
[- 1 , 2] 4
12. 2
+1（1、
- 2 、
+ 2 之和）
二. 选择题 13. B
14. C
15. D
16. D
三. 解答题 17.（1）
10 3 ；（2）2
3
18.（1） f (x ) = 3 sin(2ωx + π ) + 3 ， ω = 1
；
3 2 2
π
（2） A = ， c = 2 或 4，面积为3 3
或6 3 .
19.（1）当0 < x ≤ 50 ， f (x ) = 100000
；当50 < x < 100 ， f (x ) =
100000
；
x （2） 50n + 400 100 - x
20.（1） π
；（2） AD : y = -x +1， BC : y = 2x -1 ， x = 2
；（3）
P (0,3) 2
Q
3
21.（1）是；（2）{m | m ∈ N * ,172 ≤ m ≤ 190}；（3）略.
2 2 2
3 5n。