整式经典例题分析

类型一：用字母表示数量关系
1．填空题：
(1)香蕉每千克售价3元，m千克售价____________元。

(2)温度由5℃上升t℃后是__________℃。

(3)每台电脑售价x元，降价10％后每台售价为____________元。

(4)某人完成一项工程需要a天，此人的工作效率为__________。

举一反三：
[变式] 某校学生给“希望小学”邮寄每册元的图书240册，若每册图书的邮费为书价的5％，则共需邮费______________元。

类型二：整式的概念
2．指出下列各式中哪些是整式，哪些不是。

(1)x＋1；(2)a＝2；(3)π；(4)S＝πR2；(5)；
(6)
举一反三：
[变式]把下列式子按单项式、多项式、整式进行归类。

x2y，a－b，x＋y2－5，，－29，2ax＋9b－5，600xz，axy，xyz－1，。

答案：单项式有：x2y，－，－29,600xz，axy
多项式有：a－b，x＋y2－5,2ax＋9b－5，xyz－1
整式有：x2y，a－b，x＋y2－5，－，－29，2ax＋9b－5,600xz，axy，xyz－1。

类型三：同类项
3．若与是同类项，那么a,b的值分别是（）
（A）a=2, b=－1。

（B）a=2, b=1。

（C）a=－2, b=－1。

（D）a=－2, b=1。

举一反三：
[变式]在下面的语句中，正确的有()
①－a2b3与a3b2是同类项；②x2yz与－zx2y是同类项；③－1与是同类项；
④字母相同的项是同类项。

A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
选B。

类型四：整式的加减
4．化简m－n－（m+n）的结果是（）
（A）0。

（B）2m。

（C）－2n。

（D）2m－2n。

思路点拨：按去括号的法则进行计算，括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都改变符号。

解析：原式=m－n－m－n=－2n，故选（C）。

举一反三：
[变式] 计算：2xy+3xy=_________。

分析：按合并同类项的法则进行计算，把系数相加所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

注意不要出现5x2y2的错误。

答案：5xy。

5．（化简代入求值法）已知x＝－，y＝－,求代数式(5x2y－2xy2－3xy)－(2xy＋5x2y－2xy2) 思路点拨：此题直接把x、y的值代入比较麻烦，应先化简再代入求值。

解析：原式＝5x2y－2xy2－3xy－2xy－5x2y＋2xy2＝－5xy
当x＝－，y＝－时，原式＝－5×。

总结升华：求代数式的值的第一步是“代入”，即用数值替代整式里的字母；第二步是“求值”，即按照整式中指明的运算，计算出结果。

应注意的问题是：当整式中有同类项时，应先合并同类项化简原式，再代入求值。

举一反三：[变式1] 当x＝0，x＝，x＝-2时，分别求代数式的2x2－x＋1的值。

解：当x＝0时，2x2－x＋1＝2×02－0＋1＝1；
当x＝时，2x2－x＋1＝2×；
当x＝-2时，2x2－x＋1＝2×（-2）2－（-2）＋1＝2×4+2＋1＝11。

总结升华：一个整式的值，是由整式中的字母所取的值确定的，字母取值不同，一般整式的值也不同；当整式中没有同类项时，直接代入计算，原式中的系数、指数及运算符号都不改变。

但应注意，当字母的取值是分数或负数时，代入时，应将分数或负数添上括号。

[变式2] 先化简，再求值。

3(2x2y－3xy2)－(xy2－3x2y)，其中x＝，y＝－1。

解：3(2x2y－3xy2)－(xy2－3x2y)＝(6x2y－9xy2)－xy2＋3x2y
＝6x2y－9xy2－xy2＋3x2y＝9x2y－10xy2。

∴当x＝，y＝－1时，原式＝9××(－1)－10××(－1)2＝－。

[变式3] 求下列各式的值。

(1)(2x2－x－1)－，其中x＝
(2)2[mn＋(－3m)]－3(2n－mn)，其中m＋n＝2，mn＝－3。

解析：(1) (2x2－x－1)－
＝2x2－x－1－x2＋x＋＋3x2－3＝4x2－4
当x＝时，原式＝4×－4＝9－4＝5。

(2) 2[mn＋(－3m)]－3(2n－mn)
＝2mn－6m－6n＋3mn
＝5mn－6(m＋n)
当m＋n＝2，mn＝－3时
原式＝5×(－3)－6×2＝－27。

类型五：整体思想的应用
6．已知x2＋x＋3的值为7，求2x2＋2x－3的值。

思路点拨：该题解答的技巧在于先求x2＋x的值，再整体代入求解，体现了数学中的整体思想。

解析：由题意得x2＋x＋3＝7，所以x2＋x＝4，所以2(x2＋x)＝8，即2x2＋2x＝8，所以2x2＋2x－3＝8－3＝5。

总结升华：整体思想就是在考虑问题时，不着眼于它的局部特征，而是将具有共同特征的某一项或某一类看成一个整体的数学思想方法。

运用这种方法应从宏观上进行分析，抓住问题的整体结构和本质特征，全面关注条件和结论，加以研究、解决，使问题简单化。

在中考中该思想方法比较常见，尤其在化简题中经常用到。

举一反三：
[变式1] 已知x2＋x－1＝0，求代数式x3＋2x2－7的值。

分析：此题由已知条件无法求出x的值，故考虑整体代入。

解析：∵x2＋x－1＝0，∴x2＝1－x，
∴x3＋2x2－7＝x(1－x)＋2(1－x)－7＝x－x2＋2－2x－7
＝-x2-x-5＝（-x2-x+1）-6 =－6。

[变式2] 当x＝1时，代数式px3＋qx＋1的值为2003，则当x＝－1时，代数式px3＋qx＋1的值为( )
A、－2001
B、－2002
C、－2003
D、2001
分析：这是一道求值的选择题，显然p，q的值都不知道，仔细观察题目，不难发现所求的值与已知值之间的关系。

解析：当x＝1时，px3＋qx＋1＝p＋q＋1＝2003，而当x＝－1时，px3＋qx＋1＝－p－q＋1，可以把p＋q看做一个整体，由p＋q＋1＝2003得p＋q＝2002，于是－p－q＝－(p＋q)＝－2002，所以原式＝－2002＋1＝－2001。

故选A。

[变式3] 已知A＝3x3－2x＋1，B＝3x2－2x＋1，C＝2x2＋1，则下列代数式中化简结果为3x3－7x2－2的是( )
A、A＋B＋2C
B、A＋B－2C
C、A－B－2C
D、A－B＋2C
分析：将A，B，C的式子分别代入A，B，C，D四个选项中检验，如：A－B－2C＝3x3－2x＋1－(3x2
－2x＋1)－2(2x2＋1)＝3x3－2x＋1－3x2＋2x－1－4x2－2＝3x3－7x2－2。

故选C。

答案：C
[变式4] 化简求值。

(1)3(a＋b－c)＋8(a－b－c)－7(a＋b－c)－4(a－b－c)，其中b＝2
(2)已知a－b＝2，求2(a－b)－a＋b＋9的值。

分析：(1)常规解法是先去括号，然后再合并同类项，但此题可将a＋b－c，a－b－c分别视为一个“整体”，这样化简较为简便；(2)若想先求出a，b的值，再代入求值，显然行不通，应视a－b为一个“整体”。

解析：(1)原式＝3(a＋b－c)－7(a＋b－c)＋8(a－b－c)－4(a－b－c)
＝－4(a＋b－c)＋4(a－b－c)
＝－4a－4b＋4c＋4a－4b－4c＝－8b。

因为b＝2，所以原式＝－8×2＝－16。

(2)原式＝2(a－b)－(a－b)＋9
＝(a－b)＋9
因为a－b＝2，所以原式＝2＋9＝11。

类型六：综合应用
7．已知多项式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值与x无关，试求5a2－2(a2－3a＋4)的值。

思路点拨：要使某个单项式在整个式子中不起作用，一般是使此单项式的系数为0即可.
解析：3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7＝(3a－9)x2＋4。

因为原式的值与x无关，故3a－9＝0，所以a＝3。

又因为5a2－2(a2－3a＋4)＝5a2－2a2＋6a－8＝3a2＋6a－8，
所以当a＝3时，原式＝3×32＋6×3－8＝37。

总结升华：解答此类题目一定要弄清题意，明确题目的条件和所求，当题目中的条件或所求发生了变化时，解题的方法也会有相应的变化。

举一反三：
[变式1]当a(x≠0)为何值时，多项式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值恒等为4。

解析：3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7＝(3a－9)x2＋4。

因为(3a－9)x2＋4＝4，所以(3a－9)x2＝0。

又因为x≠0，故有3a－9＝0。

即a＝3，
所以当a＝3时，多项式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值恒等于4。

[变式2]当a＝3时，多项式3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)的值为多少？
解析：3(ax2＋2x－1)－(9x2＋6x－7)＝3ax2＋6x－3－9x2－6x＋7
＝(3a－9)x2＋4，当a＝3时，原式＝(3×3－9)x2＋4＝4。

8．已知关于x的多项式(a－1)x5＋x|b＋2|－2x＋b是二次三项式，则a＝____，b＝____。

分析：由题意可知a－1＝0，即a＝1，|b＋2|＝2，即b＝－4或0，但当b＝0时，不符合题意，所以b＝－4。

答案：1，－4
举一反三：
[变式]若关于的多项式：，化简后是四次三项式，求m，n的值
答案：m=5，n=-1。