2021-2022年高三数学下学期开学考试试题 理(III)

2021-2022年高三数学下学期开学考试试题 理(III)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，且有4个子集，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2．复数等于（ ）
A. B. C. D.0 3. 函数)4
sin
2cos 4
cos
2(sin log 2
1π
π
x x y -=的单调递减区间是（ ）
A. B. C.Z k k k ∈+
-
),8
3,8
(π
ππ
π D. 4．等比数列中，，前3项和为，则公比的值是（ ）
A. 1
B.－
C. 1或－
D. -1或－
5. 已知关于的二项式展开式的二项式系数之和 为32，常数项为80，则的值为（ ） A ．1 B ． C ．2 D ．
6. 若两个正实数满足，且不等式 有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D.
7. 执行如图所示的程序框图，若输入的值为8，则输出的 值为（ ）
A. 4
B. 8
C. 10
D. 12
8．若为不等式组0,0,2x y y x ≤⎧⎪
≥⎨⎪-≤⎩
表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部
分区域的面积为 ( )
A ．1
B ．
C ．
D ．
9. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为，一个内角为
的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（ ） A. B. C. D.
10. 已知为正三角形内一点，且满足，若的面积与 的面积比值为3，则的值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
11. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点,为原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
12．定义在上的单调函数()[]2(),0,,()log 3f x x f f x x ∀∈+∞-=，则方程的解所在区间是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13. 已知等差数列中，,那么 .
14. 5位同学排队，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在排头，
则排法种数为 .
15. 已知球的直径，是球球面上的三点, 30=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ ， 是正三角形，则三棱锥
的体积为 .
16. 给出下列四个结论：
（1）如图中，2,90,30.AC B C =∠=︒∠=︒
是斜边上的点，. 以为起点任作一条射线交于点，则
点落在线段上的概率是；
（2）设某大学的女生体重与身高具有线性相关关系，根据一组样本数据，用最小二乘法建立
的线性回归方程为，则若该大学某女生身高增加，则其体重约增加；
（3）若是定义在上的奇函数，且满足,则函数的图像关于对称; （4）已知随机变量服从正态分布()()21,,40.79,N P σξ≤=则.
其中正确结论的序号为
三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为）．当返回舱距地面1万米的点时（假定以后垂直下落，并在点着陆），救援中心测得飞船位于其南偏东方向，仰角为，救援中心测得飞船位于其南偏西方向，仰角为．救援中心测得着陆点位于其正东方向． （1）求两救援中心间的距离； （2）救援中心与着陆点间的距离．
A
B
C
D
E
北 A
P
东
B
C
D
18．(本小题满分12分)
我国新修订的《环境空气质量标准》指出空
气质量指数在为优秀，各类人群可正常活动.市环
保局对我市xx 年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分
组区间为，，，，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求的值；
(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；
(3) 如果空气质量指数不超过，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据
中随机抽取天的数值，其中达到“特优等级”的天数为，求的分布列和数学期望.
空气质量指数
0.0320.01
O 5 15 25 35 45
19. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，在锐角中，并且，.
（1）点是上的一点，证明：平面平面；
（2）若与平面成角，当面平面时，
求点到平面的距离．
20.（本小题满分12分）
已知椭圆的左，右顶点分别为，圆上有一动点,点在轴的上方，，直线交椭圆于点，连接.
(1)若,求△的面积;
(2)设直线的斜率存在且分别为,若,求的取值范围.
21. (本小题满分12分)
设函数()ln(1),()ln(1)1x f x a x g x x bx x
=-+=+-+.
（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；
（2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存
在，说明理由；
②证明：不等式()21
1
1ln 1,2,1
2
n
k k
n n k =-<-≤
=⋅⋅⋅+∑
考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，已知点在⊙直径的延长线上，切⊙于点，
是的平分线，交于点，交于点．
（Ⅰ）求的度数；
（Ⅱ）若，求．
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线与曲线
交于两点.
（1）求的长；
（2）在以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点的极坐标为，求点到线段中点的距离．
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知实数满足，且. （Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：c
b a
c b a 111++≤
++.
哈尔滨市第六中学xx 届高三第三次模拟考试
数学试卷（理工类）答案
一．选择题
1.B
2.D
3.B
4.C
5.C
6.B
7.B
8.D
9.D 10.A 11.A 12.C 二．填空题
13. 14. 15.40 16.②③④ 三．解答题
17. 解：（1）由题意知，则均为直角三角形………………1分
在中，，解得…………………………2分 在中，，解得…………………………3分 又，330
22=+=BC AC BC 万米. …………………………5分 （2）10
3sin sin =
∠=∠ACB ACD ，，…………………………7分
又，所以10
2133)30sin(sin -=∠+︒=∠ACD ADC .…………………………9分
在中，由正弦定理，…………………………10分
13
3
9sin sin +=
∠∠⋅=
ADC ACD AC AD 万米…………………………12分 18.(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=， ……………1分 解得. ……………2分 （2）解：个样本中空气质量指数的平均值为
0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………3分 由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为. …………4分
（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在内为“特优等级”， 且指数达到“特优等级”的概率为，则. ………5分 的取值为， ………6分 ()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2
131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3
331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴的分布列为：
……11分
∴6448121301231251251251255E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=. ………12分 （或者）
19.解法一（1）因为，，由勾股定理得
，因为平面平面，平面平面
=，面，所以平面
面，所以平面平面 ………6分
（2）如图，因为平面，所以平面平面，
所以，做于，所以面， 1 2
z
M
，设面面=，面平面所
以面面，所以，取中点，得为平行四边形，由平面
边长得为中点，所以 ………12分
解法二（1）同一
（2）在平面过做垂线为轴，由（1），以为原点，
为轴建立空间直角坐标系,设平面法向量为
，设，锐角所以，由
，解得，，
23
44|,cos |2=+=><a a
，解得或（舍） 设，解得)3232,4,42(λλλ--M
因为面平面，，所以面法向量为，所以，解得，所以到平面的距离为竖坐标．
………12分
20.（1）依题意，.设，则.
由得, ,
()()12
4
1121212
1
1121
-=-+-=-⋅+∴x x x x x y , 解得
, . …………5分
(2)设, 动点在圆上, .
又, 1212222-⋅=+-x y x y λ, 即=()()4
1122222
x x x --+- =()()()222244112x x x --+-==.
又由题意可知,且,
则问题可转化为求函数()()()1,2,22114≠-∈⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=x x x x f 且的值域. 由导数可知函数在其定义域内为减函数,
函数的值域为 从而的取值范围为……12分
21.（1）由已知得：，且函数在处有极值
∴()21(0)010
10a f '=-=++，即 ∴ ∴()()2211()111x f x x x x -'=-
=+++ 当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
∴函数的最大值为
（2）①由已知得：
(i)若，则时，
∴在上为减函数，
∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+-<=在上恒成立；
(ii)若，则时，
∴在上为增函数，
∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，不能使在上恒成立；
(iii)若，则时，，
当时，，∴在上为增函数，
此时()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=， ∴不能使在上恒成立； 综上所述，的取值范围是 …………8分 ②由以上得：
ln(1)(0)1x x x x x <+<>+ 取得： 令， 则，()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n
-⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭. 因此.
又()1
21
1ln ln ln 1ln1ln 1n n k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑ 故1122211111ln 1ln 1111n n n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ ()()11122111111111111n n n k k k k k k k k n k k ---===⎛⎫>-=-≥=-+>- ⎪+++⎝⎭∑∑∑ ……12分
22．（1）因为为⊙的切线，所以…………1分
因为是的平分线，所以…………2分
所以ACD EAC DCB B ∠+∠=∠+∠，即，…………3分
又因为为⊙的直径，所以…………4分. 所以︒=∠-︒=∠45)180(2
1DAE ADF .…………5分
（2）因为，所以，所以∽，
所以，………7分
在中，又因为，所以，………8分 中，3330tan tan =︒===B AB AE BC AC ………10分 23.解:（1）直线的参数方程化为标准型⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 232212（为参数） …… 2分
代入曲线方程得
设对应的参数分别为，则，，
所以 …… 5分
（2）由极坐标与直角坐标互化公式得直角坐标， …… 6分 所以点在直线， 中点对应参数为，
由参数几何意义，所以点到线段中点的距离 ……10分 24.(1) c c b b a a 21,21,21≥+≥+≥+，相乘得证——————5分
（2） ，a c b a ac ab 222=≥+，c c ab ac bc 222=≥+ 相加得证——————10分;22874 595A 奚j21450 53CA 及^ 33143 8177 腷|140203 9D0B 鴋 w?%21896 5588 喈。