2020版高考数学一轮复习加练半小时资料：专题5平面向量、复数第38练平面向量的数量积理(含解析)

第38练 平面向量的数量积
[基础保分练]
1．(2019·苏州模拟)已知点A (－1,0)，B (1,3)，向量a ＝(2k －1,2)，若AB →
⊥a ，则实数k 的值为________．
2．已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且(4a －b )·(a ＋3b )＝2，则向量a ，b 的夹角θ为_______．
3．已知正三角形ABC 的边长为23，重心为G ，P 是线段AC 上一点，则GP →·AP →
的最小值为________．
4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且向量a ，b 的夹角为π
4，若a －λb 与b 垂直，则
实数λ的值为________．
5．(2019·苏州模拟)平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，AB →·AD →＝－6，DM →＝13DC →，则MA →·MB
→
的值为________．
6.如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝23，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点(靠近点
C )，则A
D →·BC →
的取值范围为________．
7．如图，A ，B 是函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫π4
x －π2的图象上两点，则(OA →
＋OB →)·AB →＝________.
8．(2019·扬州调研)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值与最小值的和为________．
9．(2019·连云港模拟)已知平面向量a ，b (a ≠0，b ≠a )满足|b |＝1，且a 与b －a 的夹角为150°，则|a |的取值范围是________．
10．已知a ＝(－1,1)，b ＝(2m ，m ＋3)，当a 与b 的夹角为锐角时，则实数m 的取值范围是
________．
[能力提升练]
1．设向量e 1，e 2满足：|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角是90°，若2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，则t 的取值范围是________．
2．在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，则AP →·AB →
的最大值为________．
3．已知在△OAB 中，OA ＝OB ＝2，AB ＝23，动点P 位于线段AB 上，则PA →·PO →
的最小值是________．
4．已知a ，b 是不共线的两个向量，a ·b 的最小值为43，若对任意m ，n ∈R ，|a ＋m b |的最小值为1，|b ＋n a |的最小值为2，则|b |的最小值为________．
5．已知△ABC ，AB ＝43，AC ＝23，AD 是BC 边上的中线，且∠BAD ＝30°，则AD 的长为________．
6．已知正方形ABCD 的边长为1，P 为平面ABCD 内一点，则(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →
)的最小值为__________．
答案精析
基础保分练
1．－1 2.2π3 3.－34 4.2
4 5.16
6．(5,9) 7.6 8.4 9.(0,2] 10．(－∞，－1)∪(－1,3) 解析 ∵向量a 与b 的夹角为锐角， ∴a ·b ＝－2m ＋m ＋3＝－m ＋3>0， 解得m <3. 设a ＝λb (λ>0)，
即(－1,1)＝λ(2m ，m ＋3)，
则⎩
⎪⎨⎪⎧
2m λ＝－1，
λm ＋＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝12，
m ＝－1，
即当m ＝－1时，向量a 与b 同向共线，不合题意． ∴实数m 的取值范围是 (－∞，－1)∪(－1,3)． 能力提升练 1.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－
142∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫－142，0 2．1＋255 3.－3
4 4.4 5.3
6．－1
解析 如图，以B 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A (0,1)，B (0,0)，
C (1,0)，
D (1,1)．
设P (x ，y )，
则PA →＝(－x,1－y )，PB →＝(－x ，－y )，PC →
＝(1－x ，－y )， PD →
＝(1－x,1－y )，
∴(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →)
＝(－2x,1－2y )·(2(1－x )，1－2y ) ＝(1－2y )2
－4(1－x )x ＝(1－2y )2
＋(2x －1)2
－1， ∴当x ＝12，y ＝1
2
时，
(PA →＋PB →)·(PC →＋PD →
)有最小值，且最小值为－1.。