甘肃省2020学年高二数学上学期期末考试试题理

高二数学上学期期末考试试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“对任意的x ∈R ，x 3
－x 2
＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，x 3
－x 2
＋1≤0 B．存在x ∈R ，x 3
－x 2
＋1≤0 C ．存在x ∈R ，x 3
－x 2
＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，x 3
－x 2
＋1>0 2．抛物线x 2
＝12y 的焦点到准线的距离是( )
A ．2
B ．1
C ．1
2
D ．14
3．设曲线y ＝
x ＋1
x －1
在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则实数a 等于( ) A ．2 B ．12 C ．－1
2
D ．－2
4．“x >0”是“3x 2
>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件
D ．充要条件
5.如图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为
2
2
，E 为侧棱
PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为( )
A ．π6
B ．π
4
C ．π3
D ．π2
6．若命题“∃x 0∈R ，使得x 2
0＋mx 0＋2m －3<0”为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2,6] B ．[－6，－2] C ．(2,6) D ．(－6，－2)
7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BB 1中点，G 是DD 1中点，F 是BC 上一点且FB ＝1
4
BC ，则
GB 与EF 所成的角为( )
A ．30° B．120° C．60°
D ．90°
8．已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1的一个焦点与抛物线y 2
＝410x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于
10
3
，则该双曲线的方程为( ) A ．x 2
－y 29＝1 B ．x 2
9－y 2＝1 C ．x 2－y 2
＝1 D ．x 29－y 2
9
＝1
9．若双曲线x 26－y 2
3＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2
(r >0)相切，则r ＝( )
A. 3 B ．2 C ．3 D ．6
10．函数y ＝x e x
的单调递增区间是( )
A ．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C ．[1，＋∞) D ．(－∞，1]
11．已知抛物线y 2
＝2px (p >0)与椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x
轴，则双曲线的离心率为( ) A ．
5＋1
2
B ．2－1
C ．3＋1
D ．22＋12
12．已知f (x )＝ln(x 2
＋1)，g (x )＝(12)x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，
则实数m 的取值范围是( )
A ．[14，＋∞) B．(－∞，14] C ．[12，＋∞) D ．(－∞，－12]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分． 13．“tan θ≠1”是“θ≠
π
4
”的________条件． 14．已知曲线y ＝－13x 3＋2与曲线y ＝4x 2
－1在x ＝x 0处的切线互相垂直，则x 0的值为________．
15．已知正方形ABCD ，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的离心率为________．
16．已知以y ＝±3x 为渐近线的双曲线D ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
若P 为双曲线D 右支上任意一点，则|PF 1|－|PF 2|
|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．(本小题满分10分)
已知命题p ：方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线2215y x
m
-=的
离心率(1,2)e ∈，若p q ∨是真命题，求实数m 的取值范围．
18．(本小题满分12分)
已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)讨论轨迹C 的形状．
19．(本小题满分12分)
如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，O 为
AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．
(1)证明：PB ∥平面ACM ； (2)证明：AD ⊥平面PAC ；
(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．
20．(本小题满分12分)
已知在△ABC 中，点A ，B 的坐标分别为(－2，0)，B (2，0)，点C 在x 轴上方． (1)若点C 坐标为(2，1)，求以A ，B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程；
(2)过点P (m,0)作倾斜角为3
4
π的直线l 交(1)中曲线于M ，N 两点，若点Q (1,0)恰在以线段
MN 为直径的圆上，求实数m 的值．
21．(本小题满分12分)
如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长是2，侧棱长是3，D 是AC 的中点． (1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ；
(2)求二面角A 1－BD －A 的大小；
(3)在线段AA 1上是否存在一点E ，使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD ？若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由．
22．(本题满分12分) 已知函数f (x )＝12
x 2
－m ln x ．
(1)若函数f (x )在(1
2，＋∞)上是单调递增的，求实数m 的取值范围；
(2)当m ＝2时，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13．充分不必要 14．12 15．2－1 16．⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12
三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．(本小题满分10分)
已知命题p ：方程22121x y m m -=-表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：双曲线221
5y x
m
-=的离心率(1,2)e ∈，若p q ∨是真命题，求实数m 的取值范围．
解：将方程22121x y m m -=-改写为22
1
21x y m m
+=-，只有当120m m ->>，即103m <<时，方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，所以命题p 等价于1
03
m <<
； 因为双曲线22
15y x m
-=的离心率(1,2)e ∈，所以0m >，且5145m +<<，解得015m <<，所以命题q 等价于015m <<．
p 或q 为真，则015m <<．
18．(本小题满分12分)
已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)讨论轨迹C 的形状．
答案 (1)x 2
－y 2
λ
＝1(λ≠0，x ≠±1) (2)略
解析 (1)由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·y
x －1
＝λ. 整理，得x 2－y 2
λ
＝1(λ≠0，x ≠±1)．
(2)①当λ>0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线(除去顶点)； ②当－1<λ<0时，轨迹C 为中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点)； ③当λ＝－1时，轨迹C 为以原点为圆心，1为半径的圆除去点(－1,0)，(1,0)； ④当λ<－1时，轨迹C 为中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)． 19．(本小题满分12分)
如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠ADC ＝45°，AD ＝AC ＝1，
O 为AC 的中点，PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，M 为PD 的中点．
(1)证明：PB ∥平面ACM ； (2)证明：AD ⊥平面PAC ；
(3)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值．
答案 (1)略 (2)略 (3)45
5
解析 (1)连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点．又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂
平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .
(2)因为∠ADC ＝45°，且
AD ＝AC ＝1，
所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD ，
AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD .而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面PAC .
(3)取DO 中点N ，连接MN ，AN .因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝1
2PO ＝1.由PO ⊥
平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ，所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角．在Rt △DAO 中，
AD ＝1，AO ＝12
，所以DO ＝
52.从而AN ＝12DO ＝54.在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝15
4
＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为45
5
.
20．(本小题满分12分)
已知在△ABC 中，点A ，B 的坐标分别为(－2，0)，B (2，0)，点C 在x 轴上方． (1)若点C 坐标为(2，1)，求以A ，B 为焦点且经过点C 的椭圆的方程；
(2)过点P (m,0)作倾斜角为3
4π的直线l 交(1)中曲线于M ，N 两点，若点Q (1,0)恰在以线
段MN 为直径的圆上，求实数m 的值．
答案 (1)x 24＋y 2
2＝1 (2)m ＝2±19
3
解析 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1，c ＝2，2a ＝|AC |＋|BC |＝4，b ＝2，所以椭圆方程
为x 24＋y 2
2
＝1. (2)直线l 的方程为y ＝－(x －m )，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程解得3x 2
－4mx ＋2m 2
－4＝0.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2
＝4m
3，x 1x 2
＝2m 2
－4
3
.若Q 恰在以MN 为直径的圆上，
则
y 1
x 1－1·
y 2
x 2－1
＝－1，即m 2＋1－(m ＋1)(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝0,3m 2
－4m －5＝0，解得m ＝
2±193
. 21．(本小题满分12分)如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长是2，侧棱长是3，
D 是AC 的中点．
(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ； (2)求二面角A 1－BD －A 的大小；
(3)在线段AA 1上是否存在一点E ，使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD ？若存在，求出AE 的长；若不存在，说明理由．
答案 (1)略 (2)π3 (3)存在且AE ＝3
3
解析 (1)如图①所示，连接AB 1交A 1B 于点M ，连接B 1C ，DM .
因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，所以四边形AA 1B 1B 是矩形，所以M 为AB 1的中点． 因为D 是AC 的中点，所以MD 是三角形AB 1C 的中位线，所以MD ∥B 1C . 因为MD ⊂平面A 1BD ，B 1C ⊄平面A 1BD ，所以B 1C ∥平面A 1BD .
(2)作CO ⊥AB 于点O ，所以CO ⊥平面ABB 1A 1，所以在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中建立如图②所示的空间直角坐标系O －xyz .
因为AB ＝2，AA 1＝3，D 是AC 的中点，所以A (1,0,0)，B (－1,0,0)，C (0,0，3)，A 1(1，
3，0)．
所以D (12，0，32)，BD →＝(32，0，3
2)，BA 1→＝(2，3，0)．
设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BD 的法向量， 所以⎩⎨⎧
n ·BD →＝0，n ·BA 1
→
＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
3
2x ＋32z ＝0，
2x ＋3y ＝0.
令x ＝－3，则y ＝2，z ＝3.
所以n ＝(－3，2,3)是平面A 1BD 的一个法向量． 由题意可知AA 1→
＝(0，3，0)是平面ABD 的一个法向量，
所以cos 〈n ，AA 1→〉＝2343＝12
.所以二面角A 1－BD －A 的大小为π
3.
(3)设E (1，y,0)，则C 1E →
＝(1，y －3，－3)，C 1B 1→
＝(－1,0，－3)．设平面B 1C 1E 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
所以⎩⎨⎧
n 1
·C 1E →
＝0，
n ·C 1B 1
→＝0，
即⎩⎨
⎧
x 1＋y －3y 1－3z 1＝0，
－x 1－3z 1＝0.
令z 1＝－3，则x 1＝3，y 1＝
63－y
，所以n 1＝(3，
63－y ，－3)．
又n 1·n ＝0，即－33＋
12
3－y
－33＝0，解得y ＝
33
. 所以存在点E ，使得平面B 1C 1E ⊥平面A 1BD 且AE ＝33
. 22．(本题满分12分) 已知函数f (x )＝12
x 2
－m ln x .
(1)若函数f (x )在(1
2，＋∞)上是单调递增的，求实数m 的取值范围；
(2)当m ＝2时，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值． 答案 (1)m ≤14 (2)最大值e 2
－4
2
，最小值1－ln2
解析 (1)若函数f (x )在(12，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0在(1
2
，＋∞)上恒成立．
而f ′(x )＝x －m x ，即m ≤x 2
在(12，＋∞)上恒成立，即m ≤14
.
(2)当m ＝2时，f ′(x )＝x －2x ＝x 2
－2
x
.
令f ′(x )＝0，得x ＝± 2.
当x ∈[1，2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，e)时，f ′(x )>0，故x ＝2是函数f (x )在[1，e]上唯一的极小值点，故f (x )min ＝f (2)＝1－ln2.又f (1)＝12，f (e)＝12e 2－2＝e 2
－42>12，故
f (x )max ＝e 2
－4
2.。