北师大版八年级数学上册同步练习 勾股定理求最短路径长度问题

专题02 勾股定理求最短路径长度问题
【专题说明】
求最短距离的问题,第一种是通过计算比较解最短问题；第二种是平面图形,将分散的条件通过几何变换(平移或轴对称)进行集中,然后借助勾股定理解决；第三种是立体图形,将立体图形展开为平面图形,在平面图形中将路程转化为两点间的距离,然后借助直角三角形利用勾股定理求出最短路程(距离)． 一、通过计算比较解最短问题
1、如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人从A 走到B,为了避免拐角C 走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m),却踩伤了花草．
(第1题)
【答案】4[来
2、小明听说“武黄城际列车”已经开通,便设计了如下问题：如图,以往从黄石A 坐客车到武昌客运站B,现在可以在黄石A 坐“武黄城际列车”到武汉青山站C,再从青山站C 坐市内公共汽车到武昌客运站B.设AB ＝80 km,BC ＝20 km,∠ABC ＝120°.请你帮助小明解决以下问题：
(1)求A,C 之间的距离．(参考数据：21≈4.6)
(2)若客车的平均速度是60 km/h,市内的公共汽车的平均速度为40 km/h,“武黄城际列车”的平均速度为180 km/h,为了在最短时间内到达武昌客运站,小明应选择哪种乘车方案？请说明理由．(不计候车时间)
解：(1)如图,过点C 作AB 的垂线,交AB 的延长线于点E.
∵∠ABC ＝120°,∴∠BCE ＝30°. 在Rt △CBE 中,∵BC ＝20 km, ∴BE ＝10 km.
由勾股定理可得CE ＝10 3 km.
在Rt △ACE 中,∵AC 2
＝AE 2
＋CE 2
＝(AB ＋BE)2
＋CE 2
＝8 100＋300＝8 400, ∴AC ＝2021≈20×4.6＝92(km)．
(2)选择乘“武黄城际列车”．理由如下：乘客车所需时间为8060＝11
3
(h),乘“武黄城际列车”所需时间
约为92
180＋
20
40
＝1
1
90
(h)．∵1
1
3
>1
1
90
,
∴选择乘“武黄城际列车”．
二、用平移法求平面中最短问题
1、如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别是50 cm,30 cm,10 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只壁虎,它想到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只壁虎从A点出发,沿着台阶面爬到B点,至少需爬( )
A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm
【答案】C
点拨：将台阶面展开,连接AB,如图,线段AB即为壁虎所爬的最短路线．因为BC＝30×3＋10×3＝120(cm),AC＝50 cm,在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AB2＝AC2＋BC2＝16 900,所以AB＝130 cm.所以壁虎至少爬行130 cm.
2、如图,已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°,且AB＝CD＝3,BC＝4,DE＝EF＝2,则AF的长是________．
(第4题)
【答案】10
三、用对称法求平面中最短问题
1、如图,正方形ABCD的边长为8,点M在DC上且DM＝2,N是AC上的一动点,求DN＋MN的最小值．
解：如图所示,
∵正方形是轴对称图形,点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点,
∴连接BN,BD,则直线AC即为BD的垂直平分线,∴BN＝ND.
∴DN＋MN＝BN＋MN.
连接BM交AC于点P,
∵点N为AC上的动点,
∴由三角形两边之和大于第三边,
知当点N运动到点P时,
DN＋MN＝BP＋PM＝BM,DN＋MN的最小值为BM的长度．
∵四边形ABCD为正方形,
∴BC＝CD＝8,CM＝8－2＝6,
∠BCM＝90°,
BM＝BC2＋CM2＝82＋62＝10.
即DN＋MN的最小值为10.
2、高速公路的同一侧有A,B两城镇,如图,它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km,BB′＝4 km,A′B′＝8 km.要在高速公路上A′,B′之间建一个出口P,使A,B两城镇到P的距离之和最小．求这个最短距离．
(第6题)
解：如图,作点B关于直线MN的对称点C,连接AC交MN于点P,则点P即为所建的出口．此时A,B两城镇到出口P的距离之和最小,最短距离为AC的长．作AD⊥BB′于点D,在Rt△ADC中,AD＝A′B′＝8 km,DC ＝6 km.
∴AC＝AD2＋DC2＝10 km,
∴这个最短距离为10 km.
四、用展开法求立体图形中最短问题
类型一、圆柱中的最短问题
如图,已知圆柱体底面圆的半径为2
π
,高为2,AB,CD分别是两底面的直径．若一只小虫从A点出发,沿圆柱侧面爬行到C点,则小虫爬行的最短路线的长度是________(结果保留根号)．
(第7题)
【答案】2 2
点拨：将圆柱体的侧面沿AD剪开并铺平得长方形AA′D′D,连接AC,如图．线段AC就是小虫爬行的最短
路线．根据题意得AB＝2
π×2π×
1
2
＝2.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2＝AB2＋BC2＝22＋22＝8,∴AC＝8
＝2 2.
类型二、圆锥中的最短问题
已知：如图,观察图形回答下面的问题：
(1)此图形的名称为________．
(2)请你与同伴一起做一个这样的物体,并把它沿AS剪开,铺在桌面上,则它的侧面展开图是一个________．
(3)如果点C是SA的中点,在A处有一只蜗牛,在C处恰好有蜗牛想吃的食品,但它又不能直接沿AC爬到C处,只能沿此立体图形的表面爬行,你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗？
(4)SA的长为10,侧面展开图的圆心角为90°,请你求出蜗牛爬行的最短路程．
解：(1)圆锥(2)扇形
(3)把此立体图形的侧面展开,如图所示,AC为蜗牛爬行的最短路线．
(4)在Rt△ASC中,由勾股定理,得AC2＝102＋52＝125,
∴AC＝125＝5 5.
故蜗牛爬行的最短路程为5 5.
类型三、正方体中的最短问题
如图,一个正方体木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．
(1)请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
(2)当正方体木柜的棱长为4时,求蚂蚁爬过的最短路径的长．
解：(1)蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的AC′1和AC1.
(2)如图,AC ′1＝AC 1＝（4＋4）2
＋42
＝4 5.所以蚂蚁爬过的最短路径的长是4 5. 类型四、 长方体中的最短问题
如图,长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm,8 cm,30 cm,在AB 的中点C 处有一滴蜜糖,一只小虫从E 处沿盒子表面爬到C 处去吃,求小虫爬行的最短路程．
解：分为三种情况：
(1)如图①,连接EC,
在Rt △EBC 中,EB ＝12＋8＝20(cm),BC ＝1
2×30＝15(cm)．
由勾股定理,得EC ＝202
＋152
＝25(cm)． (2)如图②,连接EC.
根据勾股定理同理可求CE ＝673 cm>25 cm. (3)如图③,连接EC.
根据勾股定理同理可求CE ＝122
＋（30＋8＋15）2
＝ 2 953(cm)>25 cm. 综上可知,小虫爬行的最短路程是25 cm.。