山西省曲沃中学2014-2015学年高一数学上学期期中试题

曲沃中学高一年级第一学期期中考试数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分） 第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的). 1.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N
x x =≤≤，则M
N =（）
A ．(0,4]
B ．[0,4)
C ．[1,0)-
D ．(1,0]- 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A.1=y ，x
x
y = B.x y =,33x y = C.11+⨯-=
x x y ,12-=
x y D.x y =,()2
x y =
3．已知常数0a >且1a ≠，则函数1()1x f x a -=-恒过定点（） A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(1,1)-D ．(1,1)
4．函数()x
f x x =-３２的零点所在的一个区间是（） A ．(0,1) B ．（1，2） C ．(2,3) D ．(3,4) 5.设}3 2, ,21
,31 ,1{-∈α，若函数αx y =是定义域为R 的奇函数，则α的值（）
A ．3 ,31
B ．3 ,31 ,1-
C ．3 ,1-
D ．3
1 ,1-
6.
函数()f x =
A ．1(0,)2
B ．(2,)+∞
C ．1(0,)(2,)2+∞
D ．1
(0,][2,)2
+∞
7.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（）
A ．()12
f x x =B ．()3
f x x =C ．()12x
f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
D ．()3x
f x =
8.函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋2x －3，x ≤0
－2＋ln x ，x ＞0的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 9.函数2
2
1ln )(x x x f -
=的图象大致是（）
10.已知
13
2
a -
=，21
2
11log ,log 3
3
b c ==，则（）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．c b a >> 11.已知函数31()|log (1)|13x
f x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
有2个不同的零点1x ,2x ，则（）
A ．121,x x ⋅<
B ．1212x x x x ⋅=+
C ．1212,x x x x ⋅>+
D ．1212,x x x x ⋅<+
12．已知函数)3(log 22
1a ax x y +-=在区间) ,2[∞+上是减函数，则a 的取值范围是（）
A ．)4 ,(-∞
B ．]4 ,4[-
C ．]4 ,4(-
D ．]4 ,(-∞
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13. 函数()()212
log 4f x x =-的单调递增区间是_________.
14.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范 围是_________ 15.函数
)
2(log log )(2x x x f ⋅=的最小值为_________.
16．已知函数()x f 的定义域是}0|{≠∈=x R x D ，对任意D x x ∈21 ,都： =⋅)(21x x f )()(21x f x f +，且当1>x 时，()0>x f ．给出结论：
①()x f 是偶函数；②()x f 在()∞+ ,0上是减函数．则正确结论的序号是_________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分) 化简求值：（Ⅰ）00
2
1
)51(1
212
)4(2
---+
-+
-；
（Ⅱ）12
111
(lg 32log 166lg )lg 5
525-+-
18. (本小题满分10分) 已知函数
()f x 在R 上为增函数，且过
)1,3(--和)2,1(两点，集合{}|()1()2A x f x f x =<->或，关
于的不等式21
()2()2
x a x a -->∈R 的解集为B ，求使A B B =的实数a 的取值范围．
19. (本小题满分12分) （Ⅰ）设， , 求)3log 1(2+f 的值；
（Ⅱ）已知]1)1()1ln[()(22+---=x m x m x g 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．
20. (本小题满分12分) 设函数()212x x
a
f x =+
-（a 为实数）
． （Ⅰ）当a ＝0时，求方程1
()2
f x =
的根； （Ⅱ）当1a =-时，若对于任意(1,4]t ∈,不等式22(2)(2)0f t t f t k --->恒成立,求k 的范围.
⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛<+=)
4( 21 )
4( )2()(x x x f x f x
21. (本小题满分12分)定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log
2
3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(Ⅰ)求证f(x)为奇函数；
(Ⅱ)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
22. (本小题满分14分)
定义在[－1，1]上的奇函数()
f x ，当2
10,().
41
x
x
x f x
-≤<=-
+
时
（Ⅰ）求()
f x在[－1，1]上解析式；
（Ⅱ）判断()
f x在（0，1）上的单调性，并给予证明；
（Ⅲ）当(0,1]
x∈时，关于x的方程
2
20
()
x
x
f x
λ
-+=有解，试求实数的取值范围．
18解：由{1()()2}A x f x f x =->>或得(3)()()(1)f f x f x f ->>或 解得31x x <->或，于是(,3)
(1,)A =-∞-+∞
又22111
()2()()2222x a x x a x x a x x a --+>⇔>⇔<+⇔<，
所以(,)B a =-∞
因为,A
B B B A =⊆所以，所以3a ≤-， 即a 的取值范围是(,3]-∞-．
解（Ⅰ）24
13181281212121)3log 3()3log 1(31
2log 3
2log 3
3
2log 322=⨯=⨯=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎭
⎫
⎝⎛=+=++f f ； （Ⅱ）由题设得：01)1()1(22>+---x m x m （*）在R x ∈时恒成立，
若1012±=⇒=-m m ，当1=m 时，（*）为：01>恒成立，当1-=m 时，（*）为：
012>+-x 不恒成立，∴1=m ；
若012
≠-m ，则1 351 351 10)1(42)1( 0122>-<⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧>-<>-<⇒⎪⎩⎪⎨⎧<---=∆>-m m m m m m m m m 或或或 综上，实数m 的取值范围是实数1 3
5
≥-<m m 或．
20.（Ⅰ）当a ＝0时，()21x f x =-， 由题意得1212
x -=， 所以1212x -=
或1
212x -=-，……………………2分 解得23log 2
x =或1x =-.……………………4分 （Ⅱ）当1a =-时，1
()212x x
f x =-
-，该函数在R 上单调递增。

……………………5分
（ⅰ）不等式22(2)(2)0f t t f t k --->恒成立,
即22(2)(2)f t t f t k ->-恒成立，即2222t t t k ->-，……………………7分 从而2max (2)k t t >+，……………………8分 又当(1,4]t ∈时，2max (2)24t t +=，所以24k >.
21.(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R )----①令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，∴f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)= log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k ·3x
)＜-f (3x
-9x
-2)=f(-3x
+9x
+2)， k ·3x
＜-3x
+9x
+2， 3
2x
-(1+k)·3x +2＞0对任意x ∈R 成立．令t=3x ＞0，即t 2
-(1+k)t+2＞0对任意t ＞0恒
成立．
221()(1)2,2
101(0)20,20,
100,()02
(1)80
1令其对称轴当
即时，符合题意；1+k 当时2
对任意恒成立解得-1k
f t t k t x k
k f k
t f t k k +=-++=+<<-=>≥+⎧≥⎪
>>⇔⎨⎪∆=+-<⎩≤<-+故。