上海市2020-2021年高一下学期数学期末考试卷

高一下期末考试卷
一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分） 1．方程组{
2x +y −1=0
3x −2y =0
对应的增广矩阵为 ．
2．若在行列式|3a 5
0−41−213
|中，元素a 的代数余子式的值是 ．
3．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝ ． 4．函数f （x ）＝2cos （x +π
3）﹣1的对称轴为 ，最小值为 ． 5．方程3sin x ＝1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为 ． 6．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π
4，
5π6
]的值域为 ．
7．用数学归纳法证明（n +1）（n +2）…（n +n ）＝2n •1•3…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从“n ＝k ”到“n ＝k +1”的证明，左边需增添的代数式是 ． 8．若无穷等比数列{a n }的各项和等于a 12，则a 1的取值范围是 ．
9．已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝2a n +1+3•2n +1，数列{a
n
2n }的前n 项和
为 ．
10．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n ＝2011，则n ＝ ．
11．对于数列{a n }，定义H n =
a 1+2a 2+⋯+2n−1a n
n
为{a n }的“优值”，现在已知某数列
{a n }的“优值”H n ＝2n +1，记数列{a n ﹣kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n （n ∈N *）恒成立，则实数k 的取值范围为 ．
12．数列{a n }满足a n +1+（﹣1）n a n ＝2n ﹣1，则{a n }的前60项和为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）
13．将函数y ＝sin （x −π
3）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标
不变），再将所得的图象向左平移π
3
个单位，得到的图象对应的解析式是（）
A．y=sin1
2x B．y=sin(1
2
x−π
2
)
C．y=sin(1
2x−π
6
)D．y=sin(2x−π
6
)
14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
15．若S n＝sinπ
7+sin2π
7
+⋯+sin nπ
7
（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的
个数是（）
A．16B．72C．86D．100
16．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，a99−1
a100−1
＜0．给出下列结论：
①0＜q＜1；
②a99•a101﹣1＞0；
③T100的值是T n中最大的；
④使T n＞1成立的最大自然数n等于198
其中正确的结论是（）
A．①③B．①④C．②③D．②④
三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．已知：f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）
（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期
（2）若f（x）在[−π
6，π
4
]上最大值与最小值之和为3，求a的值．
18．如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？
19．已知集合C＝{（x，y）|xy﹣3x+y+1＝0}，数列{a n}的首项a1＝3，且当n≥2时，点（a n﹣1，a n）∈C，数列{b n}满足b n=1
1−a n
．
（1）试判断数列{b n}是否是等差数列，并说明理由；
（2）若lim
n→∞(s
a n
+t
b n
)=1（s，t∈R），求s t的值．
20．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．
（Ⅰ）求证：数列{√b n}是等差数列；
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅰ）设S n=1
a1+1
a2
+⋯+1
a n
，如果对任意正整数n，不等式2aS n＜2−b n
a n
恒
成立，求实数a的取值范围．
21．定义：如果数列{a n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n}为三角形”数列对于“三角形”数列{a n}，如果函数y＝f（x）使得b n＝f（a n）仍为一个三角形”数列，则称y＝f（x）是数列{a n}的“保三角形函数，”（n∈N*）（1）已知{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（k）＝k2，（k＞1）是数列{a n}的保三角形函数”，求k的取值范围；
（2）已知数列{c n}的首项为2019，S n是数列{c n}的前n项和，且满足4S n﹣3S n ﹣1
＝8076，证明{c n}是“三角形”数列
（3）求证：函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）
的“保三角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√5
5
．
一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分）
1．[211
3−20
]．
2．2．
3．15√3
4
4．x=kπ−π
3
(k∈Z)；﹣3．
5．π
6或5π
6
．
6．[−π
3，π
4
]．
7．2（2k+1）．
8．(1
2
，1)∪(1，+∞)．9．3n2﹣2n．10．1028
11．7
3≤k≤12
5
．
12．∵a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，
故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．
从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a9+a11＝2，a12+a10＝40，a13+a11＝2，a16+a14＝56，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
{a n}的前60项和为15×2+（15×8+15×14
2
×16）＝1830
二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）
13．C
14．B
15．C
16．B
三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）
=√3sin2x+cos2x+1+a
＝2sin（2x+π
6
）+1+a，
（1）∴f（x）的最小正周期T=2π
ω=2π
2
=π；
（2）∵x∈[−π
6，π
4
]，∴2x+π
6
∈[−π
6
，2π
3
]；
当2x+π
6=−π
6
时，即x=−π
6
，f（x）取得最小值为2sin（−π
6
）+1+a＝a
当2x+π
6=π
2
时，即x=π
6
，f（x）取得最大值为2sin（π
2
）+1+a＝a+3
∵最大值与最小值之和为3，∴a+3＝3，∴a＝0故a的值为0．
18．在△ABC中，BC＝30，B＝30°，
∠ACB＝180°﹣45°＝135°，
∴A＝15°，
由正弦定理知：BC
sinA =AC
sinB
，
∴30
sin15°=AC
sin30°
，
∴AC=30sin30°
sin15°
=60cos15°=15√6+15√2，…（6分）
∴A到B B C所在直线的距离为AC⋅sin45°=(15√6+15√2)⋅√2
2
=15(√3+ 1)≈40.98＞38（海里），
∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．…
19．（1）∵当n≥2时，点（a n﹣1，a n）恒在曲线C上，
∴a n﹣1a n﹣3a n﹣1+a n+1＝0 （1分）
由b n=1
1−a n
得
当n≥2时，b n﹣b n﹣1=1
1−a n −1
1−a n−1
=a n−a n−1
1−a n−a n−1+a n a n−1
=a n−a n−1
−2a n+2a n−1
=−1
2
∴数列{b n }是公差为−1
2的等差数列． （2）∵a 1＝3，∴b 1=
11−a 1
=−1
2，
∴b n =−12
+（n ﹣1）•（−12
）=−12
n ，（6分） ∴−12n =11−a n
，则a n ＝1+2
n
∴s a n
+t
b n
=
−s 2n+t−(1+2n
)−1
2
n(1+2n
)=
−
sn 2
2+tn+2t −1
2
n 2−n ，
由lim n→∞(
s
a n
+t b n
)=1（s ，t ∈R ），
可得s ＝1，s t ＝1．
20．（Ⅰ）由已知，得2b n ＝a n +a n +1①，a n +12＝b n •b n +1②．由②得a n+1=√b n b n+1
③．
将③代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2b n =√b n−1b n +√b n b n+1． 即2√n =√b n−1+√b n+1． ∴{√b n }是等差数列．
（Ⅰ）设数列{√b n }的公差为d ， 由a 1＝10，a 2＝15．经计算，得b 1=
252
，b 2=18．
∴√b 1=5
2√2，d =√b 2−√b 1=3√2−5
2√2=√2
2
． ∴√b n =5
2√2+(n −1)⋅√22=
√22
(n +4)．
∴b n =
(n+4)2
2，a n =
(n+3)(n+4)
2．（9分） （Ⅰ）由（1）得
1a n =2(n+3)(n+4)=2(
1n+3
−
1
n+4
)．∴S n =2[(14
−15
)+(15
−1
6
)+
+(1
n+3−1
n+4)]=2(1
4−1
n+4)．
不等式2aS n ＜2−b n a n
化为4a(14−1n+4)＜2−n+4
n+3．
即（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8＜0．
设f （n ）＝（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8，则f （n ）＜0对任意正整数n 恒成立． 当a ﹣1＞0，即a ＞1时，不满足条件；
当a ﹣1＝0，即a ＝1时，满足条件；
当a ﹣1＜0，即a ＜1时，f （n ）的对称轴为x =−3(a−2)
2(a−1)＜0，f （n ）关于n 递减，
因此，只需f （1）＝4a ﹣15＜0．解得a ＜15
4，∴a ＜1． 综上，a ≤1．
21．（1）显然a n ＝n +1，a n +a n +1＞a n +2对任意正整数都成立，即{a n }是三角形数列．（2分）
因为k ＞1，显然有f （a n ）＜f （a n +1）＜f （a n +2）， 由f （a n ）+f （a n +1）＞f （a n +2）得k n +k n +1＞k n +2，解得k ＜1+√52
．
所以当k ∈（1，
1+√52
）时，f （x ）＝k x 是数列{a n }的“保三角形函数”．
（2）由4S n +1﹣3S n ＝8076，①
当n ≥2时，4S n ﹣3S n ﹣1＝8076，②，①﹣②得4c n +1﹣3c n ＝0，则 所以
c n+1c n
=3
4
当n ＝1时，即4（a 1+a 2）﹣3a 1＝8076，解得：a 2=
60574
，所以a 2a 1
=3
4
所以数列{c n }是以2019为首项，以3
4为公比的等比数列， 所以，c n ＝2019（3
4）n ﹣1，（7分）
显然c n ＞c n +1＞c n +2，因为c n +1+c n +2＝2019 （34）n +2019（34）n +1=2116•2019（ 3
4）
n ﹣1
＞c n ，
所以{c n }是“三角形”数列．
（3）证明：函数h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是数列1，1+d ，1+2d （d ＞0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：
①1，1+d ，1+2d （d ＞0）是三角形数列，所以1+1+d ＞1+2d ，即0＜d ＜1． ②数列中的各项必须在定义域内，即1+2d ≤A ． ③h （1），h （1+d ），h （1+2d ）是三角形数列．
由于h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是单调递减函数，所以h （1+d ）+h （1+2d ）＞h （1），解得0＜d ＜
√5
5
．
所以函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三
．
角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√5
5。