高数 厦门理工高数作业答案线面积分

厦门理工高等数学练习题 第十章 曲线积分与曲面积分
系 专业 班 姓名 陈 跃 强 学号 0806012243
第一节 对弧长的曲线积分
一．选择题
1．设L 是连接)0,1(-A ，)1,0(B ，)0,1(C 的折线，则
()L
x y ds +=⎰
[ B ]
（A ）0 （B ）2 （C ）22 （D ）2
2．设L 为椭圆13
422=+y x ，并且其周长为S ，则22
(3412)L x y ds ++⎰ = [ D ] （A ）S （B ）6S （C ）12S （D ）24S
二．填空题
1．设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则曲线积分
22()L
x y ds +=⎰
2．设L 是由点O(0,0)经过点A(1,0) 到点B(0,1)的折线，则曲线积分()L
x y ds +=⎰
三．计算题 1．
22()n L
x y ds +⎰
，其中L 为圆周t a x cos =，t a y sin =（π20≤≤t ）.
解：原式1220
1220
2222)()(++⋅=='+'=⎰⎰
n n n a dt a dt y x a ππ
π
2．L
⎰
，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个
边界.
解：设圆周与x 轴和直线x y =的交点分别为A 和B ，于是原式{}
=++⎰
⎰⎰
OA
AB
BO
在
直线OA 上
dx ds y ==,0得
10
2
2-==⎰⎰+a a
x OA
y x e dx e ds e
；在圆周AB 上令
4
0,s i n ,c o s π
θθθ≤
≤==a y a x 得πθπ
4
)()(40
2
2
2
2a
a
AB
y x e a d y x e
ds e
⋅='+'=⎰⎰
+
在直线BO 上dx ds x y 2,==得
122
20
22
2-==⎰
⎰+a a x
BO
y x e dx e
ds e
所以原式
2)4
2(-+
=a e a
π 3．
2L
y ds ⎰
，其中L 为摆线的一拱)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=（π20≤≤t ）.
解
：
原
式
2
2
21(cos )a
t π
=-⎰
53
2
21(c o s
t d π
=-
⎰ 325615
a =
高等数学练习题 第十章 曲线积分与曲面积分
系 专业 班 姓名 学号
第二节 对坐标的曲线积分
一．选择题
1．设L 以)1,1(，)1,1(-，)1,1(--，)1,1(-为顶点的正方形周边，为逆时针方向，则
22L
x dy y dx +=⎰
[ D ]
（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）0 2．设L 是抛物线)11(2≤≤-=x x y ,x 增加的方向为正向，则L
xds ⎰
和L
xdy ydx -=⎰[ A ]
（A ）32,
0 （B ）0,0 （C ）32,85 （D ）0,8
5 二．填空题
1．设设L 是由原点O 沿2x y =到点A )1,1(，则曲线积分
()L
x y dy -=⎰
2．设L 是由点)1,1(-A 到)1,1(B 的线段，则22(2)(2)L
x xy dx y xy dy -+-⎰
= 三．计算题
1．设L 为取正向圆周222a y x =+，求曲线积分
2(22)(4)L
xy y dx x x dy -+-⎰
.
解：将圆周写成参数形式)20(,sin ,cos πθθθ≤≤==a y a x ，
于是原式
θθθθθθθθπ
d a a a a a a }cos )cos 4cos ()sin ()sin 2sin cos 2{(20
222⎰⋅-+-⋅-=
2322233220
224a a a a d π
θθθθθθ=
-++-⎰
{(cos sin sin )(cos cos )}
π22a -=
2．设L 是由原点O 沿2
x y =到点A )1,1(，再由点A 沿直线x y =到原点的闭曲线，求
arctan
L
y
dy dx x
-⎰
解：11021OA y
I dy dx x x dx x
=
-=-⎰⎰arctan (arctan ) 210[arctan arctan ]22
x x x x x π
=-+-=
-
4
1)11(arctan arctan 0
1
2π
-
=-=
-=⎰
⎰dx dx dy x
y
I AO
所以原式122112
4
4
I I π
π
π
=+=
-+-
=
-
3．计算
()()L
x y dx y x dy ++-⎰
，其中L 是：
（1）抛物线x y =2上从点（1，1）到点（4，2）的一段弧；
（2）从点（1，1）到点（4，2）的直线段； （3）先沿直线从点（1，1）到点（1，2），然后再沿直线到点（4，2）的折线. 解：（1）原式2
221
2{()()}y y y y y dy =+⋅+-⎰
2321
2()y y y dy =++⎰
34
3
=
（2）过（1，1），（4，2）的直线方程为dy dx y x 3,23=-=
所以 原式2
1
34222{()()}y y dy =-+-⎰
2
1
104()y dy =
-⎰
11=
（3）过（1，1），（1，2）的直线方程为21,0,1≤≤==y dx x
所以 2
1
)1(2
1
1=
-=
⎰
dy y I （3）过（1，2），（4，2）的直线方程为41,0,2≤≤==x dy y
所以 2
27
)2(4
1
2=
+=
⎰
dx x I 于是 原式1421=+=I I 4．求222()2,L
y z dx yzdy x dz -+-⎰
其中L 为曲线)10(,,32≤≤===t t z t y t x 按参数增加的方向
进行.
解：由题意，原式1
4
664043{()}t
t t t dt =-+-⎰
1
640
32()t
t dt =-⎰
1
35
=
高等数学练习题 第十章 曲线积分与曲面积分
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第三节 格林公式及其应用
一．选择题 1．设曲线积分
4124(4)(65)p p L
x xy dx x y y dy -++-⎰
与路径无关，则=p [ C ]
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．已知
2
)
()(y x ydy
dx ay x +++为某函数的全微分，则=a [ D ] （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2
3．设L 为从)21,1(A 沿曲线2
2x y =到点)2,2(B 的弧段，则曲线积分222L x x dx dy y y
-⎰= [ D ]
（A ）3- （B ）2
3
（C ）3 （D ）0 二．填空题
1． 设L 是由点)0,0(O 到点)1,1(A 的任意一段 光滑曲线，则曲线积分
⎰
=+---L
dy y x dx y xy 22)()21(
2． 设曲线L 为圆周92
2
=+y x ，顺时针方向，则2(22)(4)L
xy y dx x x dy -+-=⎰
三．计算题 1． 3222(2cos )(12sin 3)L
I xy y x dx y x x y dy =-+-+⎰
，
其中L 为在抛物线2
2π=x y 上从点)0,0(到)1,2
(
π
的一段弧。

解：设,cos 2),(23x y xy y x P -= ,3s i n 21),(22y x x y y x Q +-=
因为
x y xy x
Q
y P cos 262-=∂∂=∂∂，所以曲线积分与路径无关。

于是 1032222
20002
2123(,)(,)(,)
(,)[
](cos )(sin )I xy y x dx y x x y dy π
π
π
=+-+-+⎰
⎰
2
1
20
1234
()=-+⋅
⋅⎰y y dy π
24
=π
2． 证明
(3,4)2322(1,2)
(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-⎰
与路径无关并计算其积分值
证明：设,6),(32y xy y x P -= ,36),(22xy y x y x Q -= 因为
2123P Q xy y y x
∂∂=-=∂∂，并且连续，所以该积分与路径无关。

分别记 )2,1(，)2,3(， )4,3(为C B A ,,
因为积分与路径无关，所以原积分等于沿AB 线段的积分加沿BC 线段的积分。

即，
原式32232212663xy y dx x y xy dy =
-+-⎰
(,)
(,)
()()34232232663xy y dx x y xy dy +-+-⎰
(,)
(,)
()()
3
4
212
8319
6()()x dx y y dy =-+-⎰
⎰。

236=
3．设)(u f 是u 的连续可微函数，且40
()0f u du A =≠⎰
，L 为半圆周22x x y -=，起点为原点，
终点为)0,2(，求
22()()L
f x y xdx ydy ++⎰
解：设22P x y x f x y =⋅+(,)(), 22Q x y y f x y =⋅+(,)(), 因为
222P Q
xyf x y y x
∂∂'=+=∂∂()，所以该积分与路径无关。

若记)0,2(),0,0(分别为A O , 则原积分 =
⎰
++OA ydy xdx y x f ))((22
2
20
40122
f x x d x
f u d u A ==
=⎰⎰()()。

(令2
u x =)。