2016-2017年天津市开发区一中高一(下)期中数学试卷和答案

2016-2017学年天津市开发区一中高一（下）期中数学试卷
一．选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）数列0，，，，，…的通项公式为（）A．B．
C．D．
2．（3分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题一定成立的是（）A．a2＜b2B．C．a3b2＜a2b3D．ac2＜bc2 3．（3分）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小为（）A．B．C．D．
4．（3分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）
A．15B．7C．8D．16
5．（3分）在等比数列﹛a n﹜中，对任意的n∈N+，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2为（）
A．（4n﹣1）B．（2n﹣1）C．（2n﹣1）2D．4n﹣1
6．（3分）不等式的解集是（）
A．{x|﹣3≤x≤3}B．{x|﹣3≤x≤2或x≥3}
C．{x|﹣3≤x＜2或x≥3}D．{x|x≤﹣3或2＜x≤3}
7．（3分）若f（x）=x2﹣ax+1的函数值能取到负值，则a的取值范围是（）A．a≠±2B．﹣2＜a＜2C．a＞2或a＜﹣2D．1＜a＜3 8．（3分）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=（n∈N*），则a20=（）A．0B．C．D．
9．（3分）数列{a n}中，a1=，前n项和S n=n2a n，求a n=（）A．B．
C．D．
10．（3分）正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在a m，a n，使得a m•a n=16a12，则的最小值为（）
A．2B．16C．D．
二．填空题；（每小题3分，共18分）
11．（3分）对于两个等差数列{a n}和{b n}，有a1+b100=100，b1+a100=100，则数列{a n+b n}的前100项之和S100为．
12．（3分）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是．
13．（3分）已知数列{a n}，满足a1=2，a n=3a n﹣1+4（n≥2），则a n=．14．（3分）若﹣，则的取值范围是．15．（3分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为．
16．（3分）对于实数a，b，c，有下列命题：①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，则；
⑤若a＞b，，则a＞0，b＞0其中真命题为（填写序号）．
三．解答题：（17-20题每小题10分，21题12分，共52分）
17．（10分）设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求B的大小；
（2）若△ABC的面积等于，c=2，求a和b的值．
18．（10分）已知等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=2．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设T n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|，求T n．
19．（10分）解关于x的不等式（ax﹣1）（x﹣1）＞0（a∈R）．
20．（10分）已知数列{a n}的首项a1=1，且满足（a n+1﹣1）a n+a n+1=0（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和S n．
21．（12分）已知f（x）=3x2﹣2x，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
2016-2017学年天津市开发区一中高一（下）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一．选择题：（每小题3分，共30分）
1．（3分）数列0，，，，，…的通项公式为（）A．B．
C．D．
【解答】解：数列0，，，，，…即为，﹣，，﹣，，…，∴数列0，，，，，…的通项公式为a n=（﹣1）n﹣1•，
故选：C．
2．（3分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题一定成立的是（）A．a2＜b2B．C．a3b2＜a2b3D．ac2＜bc2
【解答】解：对于A，若a=﹣3，b=2，则不等式a2＜b2不成立；
对于B，若a=1，b=2，则不等式不成立；
对于C，a3b2﹣a2b3=a2b2（a﹣b）＜0，不等式成立；
对于D，若c=0，则不等式ac2＜bc2不成立．
故选：C．
3．（3分）在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小为（）A．B．C．D．
【解答】解：在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC=5：7：8，
∴a：b：c=5：7：8．
不妨设a=5t，b=7t，c=8t，
由余弦定理可得：49t2=25t2+64t2﹣2×5t×8tcosB，
∴cosB=．
∴B=．
故选：B．
4．（3分）等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）
A．15B．7C．8D．16
【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，
∴4a1+a3=2×2a2，
即4+q2﹣4q=0，
即q2﹣4q+4=0，
（q﹣2）2=0，
解得q=2，
∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，
∴S4=1+2+4+8=15．
故选：A．
5．（3分）在等比数列﹛a n﹜中，对任意的n∈N+，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2为（）
A．（4n﹣1）B．（2n﹣1）C．（2n﹣1）2D．4n﹣1
【解答】解：∵在等比数列﹛a n﹜中，对任意的n∈N+，a1+a2+…+a n=2n﹣1，
∴当n≥2时，a1+a2+…+a n
=2n﹣1﹣1，
﹣1
∴a n=2n﹣1．
当n=1时，a1=2﹣1=1，上式也适合．
∴等比数列﹛a n﹜的首项为1，公比q=2．
∴当n≥2时，==4．
∴a12+a22+…+a n2==．
故选：A．
6．（3分）不等式的解集是（）
A．{x|﹣3≤x≤3}B．{x|﹣3≤x≤2或x≥3}
C．{x|﹣3≤x＜2或x≥3}D．{x|x≤﹣3或2＜x≤3}
【解答】解：不等式，
即为或，
即有或，
即为x≥3或﹣3≤x＜2，
可得解集为{x|x≥3或﹣3≤x＜2}，
故选：C．
7．（3分）若f（x）=x2﹣ax+1的函数值能取到负值，则a的取值范围是（）A．a≠±2B．﹣2＜a＜2C．a＞2或a＜﹣2D．1＜a＜3
【解答】解：f（x）有负值，
则必须满足f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，
其充要条件是：△=（﹣a）2﹣4＞0，a2＞4
即a＞2或a＜﹣2．
故选：C．
8．（3分）已知数列{a n}满足a1=0，a n+1=（n∈N*），则a20=（）A．0B．C．D．
【解答】解；由题意知：
∵
∴…
故此数列的周期为3．
所以a 20=．
故选B
9．（3分）数列{a n}中，a1=，前n项和S n=n2a n，求a n=（）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵S n=n2a n，∴S n﹣1=（n﹣1）2a n﹣1，（n≥2）
两式相减得：a n=n2a n﹣（n﹣1）2a n﹣1，
∴（n2﹣1）a n=（n﹣1）2a n﹣1，即（n+1）a n=（n﹣1）a n﹣1，
∴=，
∴=••…•=•••…=，
∴a n=a1=．
当n=1时，上式也成立．
故a n=．
故选：B．
10．（3分）正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在a m，a n，使得a m•a n=16a12，则的最小值为（）
A．2B．16C．D．
【解答】解：∵正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，
∴a1q2=a1q+2a1，
即：q2=q+2，解得q=﹣1（舍），或q=2，
∵存在a m，a n，使得a m a n=16a12，
∴a12•2m+n﹣2=16a12，
∴m+n=6，
∴=（m+n）（）=（10++）≥（10+2）=
∴的最小值为．
故选：C．
二．填空题；（每小题3分，共18分）
11．（3分）对于两个等差数列{a n}和{b n}，有a1+b100=100，b1+a100=100，则数列{a n+b n}的前100项之和S100为10000．
【解答】解：∵两个等差数列{a n}和{b n}，有a1+b100=100，b1+a100=100，
则数列{a n+b n}的前100项之和：
S100=
=50（a1+b100+b1+a100）
=50（100+100）
=10000．
故答案为：10000．
12．（3分）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是6．
【解答】解：∵a+b=2
∴3a+3b≥2=2=6
当且仅当a=b=1时等号成立
故答案为：6
13．（3分）已知数列{a n}，满足a1=2，a n=3a n﹣1+4（n≥2），则a n=4×3n﹣1﹣2．【解答】解：a n=3a n﹣1+4（n≥2），变形为：a n+2=3（a n﹣1+2），
∴数列{a n+2}是等比数列，首项为4，公比为3．
∴a n+2=4×3n﹣1，可得：a n=4×3n﹣1﹣2，（n=1时也成立）．
故答案为：4×3n﹣1﹣2．
14．（3分）若﹣，则的取值范围是（﹣π，0）．
【解答】解：∵﹣，则⇒，
故答案为：（﹣π，0）．
15．（3分）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，则不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为（﹣1，﹣）．
【解答】解：关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，
由题意得：a＜0，且﹣=1+2=3，=1×2=2，
即b=﹣3a，c=2a，
故不等式cx2﹣bx+a＞0可化为：2x2+3x+1＜0，
化简得（2x+1）（x+1）＜0，
解得：﹣1＜x＜﹣．
∴所求不等式的解集为（﹣1，﹣），
故答案为：（﹣1，﹣）．
16．（3分）对于实数a，b，c，有下列命题：①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；④若c＞a＞b＞0，则；
⑤若a＞b，，则a＞0，b＞0其中真命题为（填写序号）②③④．【解答】解：对于①，若a＞b，则ac与bc大小关系不定，故①是假命题；
对于②，若ac2＞bc2，则a＞b，故②是真命题；
对于③，若a＜b＜0，则a2＞ab，ab＞b2，则a2＞ab＞b2，故③是真命题；
对于④，若c＞a＞b＞0，则0＜c﹣a＜c﹣b，⇒⇒则，故④是真命题；
对于⑤，若a＞b，，则a＞0，b＜0，故⑤是假命题；
故答案为：②③④
三．解答题：（17-20题每小题10分，21题12分，共52分）
17．（10分）设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）求B的大小；
（2）若△ABC的面积等于，c=2，求a和b的值．
【解答】解：（1）∵．
由正弦定理，可得：sinA=2sinBsinA，
∵0＜A＜，sinA≠0．
∴=2sinB．
∵0＜B＜，
∴B=．
（2）△ABC的面积等于，即S=acsinB=，
∵c=2，B=．
∴a=2．
由余弦定理，cosB=，
可得：4=8﹣c2．
∴c=2．
18．（10分）已知等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=2．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设T n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|，求T n．
【解答】解：（Ⅰ）∵等差数列{a n}中，a1+a5=8，a4=2，
∴，解得a1=8，d=﹣2，
∴a n=8+（n﹣1）×（﹣2）=10﹣2n．
（Ⅱ）由a n=10﹣2n≥0，得n≤5，
a5=0，a6=﹣2＜0，
∵T n=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|，
∴当n≤5时，T n=8n+=9n﹣n2．
当n＞5时，T n=﹣[8n+]+2（9×5﹣52）=n2﹣9n+40．
∴．
19．（10分）解关于x的不等式（ax﹣1）（x﹣1）＞0（a∈R）．
【解答】解：当a=0时，不等式为x﹣1＜0，解得x＜1；
当a≠0时，不等式化为a（x﹣）（x﹣1 ）＞0，
若a＜0，则不等式化为（x﹣）（x﹣1 ）＜0，且＜1，解得＜x＜1；
若a＞0，则不等式化为（x﹣）（x﹣1 ）＞0；
当a=1时，=1，不等式化为（x﹣1）2＞0，解得x≠﹣1；
当0＜a＜1时，＞1，解不等式得x＜1，或x＞；
当a＞1时，＜1，解不等式得x＜，或x＞1；
综上，a＜0时，不等式的解集是（，1）；
a=0时，不等式的解集是（﹣∞，1）；
0＜a≤1时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（，+∞）；
a＞1时，不等式的解集是（﹣∞，）∪（1，+∞）．
20．（10分）已知数列{a n}的首项a1=1，且满足（a n+1﹣1）a n+a n+1=0（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和S n．
【解答】解：（1）由满足（a n
+1﹣1）a n+a n
+1
=0（n∈N*）．
整理得﹣=1，
∴数列是等差数列，首项与公差都为1．
∴=1+（n﹣1）=n，
∴a n=．
（2）由（1）知：c n==n•3n，
∴数列{c n}的前n项和S n=3+2×32+3×33+…+n•3n，
∴3S n=32+2×33+…+（n﹣1）•3n+n•3n+1，
∴﹣2S n=3+32+…+3n﹣n•3n+1=﹣n•3n+1=×3n+1﹣，
∴S n=×3n+1+．
21．（12分）已知f（x）=3x2﹣2x，数列{a n}的前n项和为S n，点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m．
【解答】解：（1）∵f（x）=3x2﹣2x，数列{a n}的前n项和为S n，
点（n，S n）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，
∴，
当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（3n2﹣2n）﹣[3（n﹣1）2﹣2（n﹣1）]=6n﹣5，
当n=1时，a1=S1=3﹣2=1，满足上式，
∴a n=6n﹣5，n∈N*．
（2）由（1）得==，
∴T n=
=，
∴使得T n＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m必须且仅须满足，即m≥10，∴满足要求的最小整数m=10．。