200-证明命题的一般步骤：

P
C N
B
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段的垂直平分线上.
27 回顾与思考

三角形的外心
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并 且这一点到三个顶点的距离相等.
a A c b P C
如图,在△ABC中, ∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线( B 已知), ∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角 形三条边的垂直平分线相交于一点,并 且这一点到三个顶点的距离相等).

22 回顾与思考
命题与逆命题 定理与逆定理

在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称 为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆 命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那 么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其 中一个定理称另一个定理的逆定理.
名题探究：
例2:如图,Δ ABC,Δ CDE是等边三角形 (1)求点N, 求证:CM=CN
(3)连结MN,猜想MN与BE的位置关系. 并加以证明 M N
思路探究:通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等,这是 一种常见的证明方法.本题我们应注意用到等边三角形的性质以 及平行法的判定方法.当图形较复杂时,注意分清条件与图形中的 对应关系
28 回顾与思考

角平分线的性质
A D
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上 任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 O 分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角 的两边距离相等).

1 2
E
P
C
B
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上.
13 回顾与思考

等腰三角形性质
等腰三角形两底角的平分线相等. 等腰三角形两腰上的中线相等. 等腰三角形两腰上的高相等.
A E
●
D
●●
B
1
2
C
14 回顾与思考

等腰三角形的判定
定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） .
A
B
C
在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）.
15 回顾与思考

反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果， 从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为 反证法(reduction to absurdity)
用反证法证明的一般步骤: 1.假设:先假设命题的结论不成立; 2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方 法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件 相矛盾的结果; 3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而 肯定命题的结论正确. 反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某 些问题时常常会有出人意料的作用.
30 回顾与思考

三角形的内心
A ND B P M F
定理:三角形的三条角平分线相交于一点 ,并且这一点到三边的距离相等.
如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且 PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知), ∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角 形的三条角平分线相交于一点,并且这一点 到三边的距离相等).
B
D
C
轮换条件∠1=∠2, BD=CD,AD⊥BC可得三 线合一的三种不同形 式的运用.
12 回顾与思考

等腰三角形性质
A
等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600.
B
C
如图,在△ABC中, ∵AB=AC=BC(已知). ∴∠A=∠B=∠C=600（等边三角形的三个角都相 等并且每个角都等于600）.
a b
c
勾
弦
股 在△ABC中 ∵∠ACB=900(已知), ∴ a2+b2=c2(直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方).
21 回顾与思考

勾股定理的逆定理

定理 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么 B 这个三角形是直角三角形.
a c
C A 在△ABC中 b (1) ∵AC2+BC2=AB2(已知), ∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平 方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角 三角形).
C

定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜 边的一半,那么它所对的锐角等于300.
20 回顾与思考

勾股定理
定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜 边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中 又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.


切记!!!命题:两边及其中一边的对角对应相等
的两个三角形不一定全等.
即(SSA)是一个假冒产品!!!
25 回顾与思考

线段垂直平分线的性质
M
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相 等.
如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任 意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上 A 的点到这条线段两个端点距 离相等).
E
C
31 回顾与思考

尺规作图

尺规作图的基本作图: 作一条线段等于已知线段; 作一个角等于已知角; 作线段的垂直平分线(或中点); 作已知角的平分线; 已知三边,两边夹角,两角夹边,斜边直角边作三 角形.
尺规作图的解题格式(六步骤): 已知,求作,分析,作法,证明,讨论.
(6)检查表达过程是否正确,完善.
10 回顾与思考
等腰三角形性质
A
定理: 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等角对等边).
B
C
11 回顾与思考

等腰三角形性质
A
1 2
推论: 等腰三角形顶角的平分线,底边 上的中线,底边上的高互相重合 (三线合一).
练习1:在Δ ABC中,∠C=900,∠B=300,AD是∠BAC的 平分线,已知 AB 4 3 ,求AD的长.
解:∵ ∠C=900,∠B=300,
∴ AC ∠CAB=600
A
1 1 AB 4 3 2 3 2 2
∵AD是角平分线
∴∠CAD=300
∴
C
D
B
设CD=x,那么AD=2x，在RtΔ ACD中，AD2=CD2+AC2
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求 证); (2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求 证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导 “果”,执“果”索“因”.);
(5)依据思路,运用数学符号和数学语 言条理清晰地写出证明过程;
(2x)2 x2 (2 3)2
解得x=2 ∴AD=4 思路探究：本题综合运用了勾股定理，含300角的直角三角 形性质.它们都与直角有关,所以当问题中出现直角条件时,要 善于联想到这些性质.
通过本节课的学习，你有哪些收获？
作业：38页复习题
16 回顾与思考

等边三角形的判定
A A
600
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
B
600
C
B
600
600
C

定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
18 回顾与思考
特殊的直角三角形的 性质
B A
300

定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300, 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
24 回顾与思考

直角三角形全等的判定方 法 : 直角三角形全等的判定方法
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜 边,直角边或HL). 公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）. 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （AAS）. 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为 : 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等;
如图,在△ABC中, ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知). ∴BD=CD,AD⊥BC（三线合一）. 如图,在△ABC中, ∵AB=AC, BD=CD (已知). ∴∠1=∠2,AD⊥BC（三线合一）. 如图,在△ABC中, ∵AB=AC, AD⊥BC(已知). ∴BD=CD, ∠1=∠2 （三线合一）